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Résoudre une inéquation

Une inéquation

Une inéquation est un type d'équation à laquelle on ajoute la notion de relation d'ordre (ou comparaison).

$$ \Biggl \{ \begin{gather*} ax \leqslant b \\ ax \geqslant b \end{gather*} \qquad(in\textit{é}quations) $$

Manipulation des inéquations

Les inéquations vont pouvoir suivre les mêmes règles que celles des équations, à la différence près que les signes \(\leqslant\) et \(\geqslant\) vont parfois s'inverser selon le contexte.

1. Quand converser ou inverser le signe de comparaison ?

Lorsque l'on applique des opérations à chacun des membres d'une inéquation, on leur applique une certaine fonction, ayant un sens de variation sur un intervalle donné :

- si la fonction est croissante \((\ \nearrow \ ) \) : on conserve l'ordre de l'inéquation

- si la fonction est décroissante \(( \ \searrow \ )\) : on change l'ordre de l'inéquation




Exemple 1 : conservation de l'ordre

En multipliant chaque côté par \(2\), les signes ne changent pas.

$$a < b $$
$$a \textcolor{#6187B2}{\times 2} < b \textcolor{#6187B2}{\times 2 } $$
$$2a < 2b $$

Car dans cet exemple, on lui a appliqué la fonction strictement croissante : \(f(x) = 2x\)



Alors sur l'intervalle des nombres réels \(\mathbb{R}\),

$$a < b \Longrightarrow f(a) < f(b) $$
$$(1 < 2 \Longrightarrow 2 < 4) $$

Et \(f(a)\) et \(f(b)\) restent dans le même ordre.




Exemple 2 : changement de l'ordre

En multipliant chaque côté par \((-2)\) cette fois, l'ordre va s'inverser après l'opération.

$$a < b $$
$$a \textcolor{#6187B2}{\times (-2)} < b \textcolor{#6187B2}{\times (-2) } $$
$$-2a > -2b $$

Car dans ce second cas, on lui a appliqué la fonction strictement décroissante : \(f(x) = -2x\)



$$a < b \Longrightarrow f(a) > f(b) $$
$$(1 < 2 \Longrightarrow -2 > -4) $$

Donc \(f(a)\) et \(f(b)\) voient leur ordre inversé.

Ce sera le cas pour les fonctions de type :

$$f(x) = ax + b \qquad (avec \ a \in \hspace{0.03em} \mathbb{R}^-)$$

$$f(x) = \frac{a}{x} \qquad (avec \ a \in \hspace{0.03em} \mathbb{R}^+) $$

$$f(x) = x^2 \qquad (avec \ x \in \hspace{0.03em} \mathbb{R}^-) $$

Astuce : On peut aussi inverser les nombres (après leur avoir appliqué la fonction), au lieu d'inverser l'ordre du comparateurs \((\leqslant / <) \) ou \((\geqslant / >)\).

$$(1 < 2 \Longrightarrow -4 < -2) $$

2. Quand utiliser le signe \( \leqslant \) ou \(<\) (respectivement \( \geqslant \) ou \(>\)) ?

Voyons ce qu'il se passe dans les quatre cas possibles :

Ordre de départ	$$ a < b $$	$$ a \leqslant b $$
Fonction strictement croissante	$$f(a) < f(b)$$	$$f(a) \leqslant f(b)$$
Fonction croissante	$$f(a) \leqslant f(b)$$	$$f(a) \leqslant f(b)$$

On peut alors tirer cette règle du tableau précédent :

"On conserve le caractère stricte d'une relation d'ordre, uniquement dans le cas où elle est présente à l'arrivée et au départ."

Ou on pourrait aussi le dire de cette façon :

"La caractère non-stricte d'une relation d'ordre l'emporte sur le caractère stricte."

Résoudre une inéquation

1. Du premier degré

Pour résoudre une inéquation du premier degré, on procédera dans cette ordre :

• ranger tous les nombres attachés à \(x\) d'un côté

• ranger tous les nombres seuls de l'autre

• additionner les éléments des différentes parties entres eux

• multiplier par l'inverse du nombre attaché à \(x\)




Exemple :

$$ x + 1 \geqslant 3x + 7 $$

On met tous les nombres attachés à gauche :

$$ x \textcolor{#6187B2}{- 3x} + 1 \geqslant 3x \textcolor{#6187B2}{- 3x} + 7 $$
$$ -2x + 1 \geqslant 7 $$

Et les nombres seuls à droite :

$$ -2x + 1 \textcolor{#6187B2}{-1} \geqslant 7 \textcolor{#6187B2}{-1} $$
$$ -2x \geqslant 6 $$

On peut maintenant se débarrasser du facteur attaché à \(x\) :

$$ \textcolor{#6187B2}{\frac{1}{2} \times } \ (-2x) \geqslant 6 \textcolor{#6187B2}{ \times \frac{1}{2} } $$

Tout disparaît à gauche :

$$ - \frac{\cancel{2} x}{\cancel{2}} \geqslant 3 $$
$$- x \geqslant \frac{6}{5} $$

Enfin, on se débarrasse du signe \((-)\) en multipliant par \((-1)\), ce qui change le sens de l'inéquation :

$$ \textcolor{#6187B2}{(-1) \times } \ (- x) \leqslant \frac{6}{5} \textcolor{#6187B2}{ \times (-1) } $$

$$ x \leqslant -\frac{6}{5} $$

2. Du second degré

Pour résoudre une inéquation du second degré, on procédera dans cette ordre :

• manipuler l'inéquation jusqu'à obtenir tous les éléments à gauche, et \(0\) tout seul à droite

• factoriser et trouver les racines

• dresser un tableau de signes




Exemple :

$$ x^2 \leqslant 100 \qquad (E)$$

On met tout d'un côté pour avoir \(0\) à droite :

$$ x^2 - 100 \leqslant 0 $$

On factorise :

$$ (x-10)(x+10) \leqslant 0 $$

Éventuellement, on donne un nom à cette expression factorisée :

$$ A(x) = (x-10)(x+10)$$

Le produit \((x-10)(x+10)\) vaut \(0\) si au moins un des deux facteurs vaut \(0\).

$$ x-10 = 0 $$
$$x = 10$$
$$ou$$
$$ x+10 = 0 $$
$$x = -10$$

$$ x $$	$$ -\infty $$	$$ \hspace{3em}$$	$$ - 10$$	$$ \hspace{3em}$$	$$ 10 $$	$$ \hspace{3em}$$	$$ +\infty $$
$$x + 10 $$	$$ \textcolor{#B75F5F}{-} $$		$$ 0$$	$$ \textcolor{#54915C}{+} $$	$$ \textcolor{#54915C}{+} $$	$$ \textcolor{#54915C}{+} $$
$$x-10 $$	$$ \textcolor{#B75F5F}{-} $$		$$ \textcolor{#B75F5F}{-} $$	$$ \textcolor{#B75F5F}{-} $$	$$0 $$	$$ \textcolor{#54915C}{+} $$
$$ A(x) = (x+10)(x-10) $$	$$ \textcolor{#54915C}{+} $$		$$ 0$$	$$ \textcolor{#B75F5F}{-} $$	$$ 0 $$	$$ \textcolor{#54915C}{+} $$

Alors, les solutions pour \((E)\) sont :

$$ A(x) \leqslant 0 \Longrightarrow x \in \bigl[-10; \ 10 \bigr] $$