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Résoudre une équation du second degré (pour des nombres réels)

Une équation du second degré est du type :

La résolution pour des nombres réels se fait en deux étapes :

• trouver les racines

• factoriser

Par la suite, on pourra aussi résoudre des inéquations en faisant un tableau de signes à partir de la factorisation.

Méthode par le calcul du discriminant \(\Delta\)

1. Détermination des racines

Tout d'abord, on calcule le discriminant \(\Delta\) :

$$\Delta = b^2 - 4ac $$

Une fois le discriminant calculé, deux cas peuvent se présenter :

• si \(\Delta > 0\) \(\Longrightarrow\) deux racines distinctes : \((X_1, X_2)\)

$$ X_1 = \frac{- b - \sqrt{\Delta}}{2a} $$

$$ X_2 = \frac{- b + \sqrt{\Delta}}{2a} $$

• si \(\Delta = 0\) \(\Longrightarrow\) une racine double : \(X_0\)

Dans ce cas, \((X_1 = X_2 )\) car \(\sqrt{\Delta} \) s'annule dans les deux cas. Alors, on a une racine double :

$$ X_0 = \frac{- b}{2a} $$

• si \(\Delta < 0\) \(\Longrightarrow\) pas de racine

2. Factorisation

On obtient alors une factorisation générale pour l'équation \((E)\) :

$$ a(X - X_1)(X - X_2) =0 \qquad (E')$$

Si le discriminant était nul, on a cette factorisation :

$$ a(X - X_0)^2 = 0 \qquad (E'')$$

Démonstration par le début d'un développement

1. Trouver le début d'un développement

En redémarrant de \((E)\) :

$$aX^2 + bX + c = 0 \qquad (E)$$

On factorise par \(a\) :

$$a \left( \textcolor{#54915C}{X^2 + \frac{bX}{a}} + \frac{c}{a}\right)= 0 \qquad (E^*) $$

On remarque que le début de la parenthèse est le début du développement de \(\left(X + \frac{b}{2a} \right)^2 \) car :

$$\left(X + \frac{b}{2a} \right)^2 = \textcolor{#54915C}{X^2 + \frac{bX}{a}} + \left(\frac{b}{2a} \right)^2 $$

$$\left(X + \frac{b}{2a} \right)^2 = \textcolor{#54915C}{X^2 + \frac{bX}{a}} + \frac{b^2}{4a^2} $$

On met la partie en verte de côté :

$$\textcolor{#54915C}{X^2 + \frac{bX}{a}} = \ \left(X + \frac{b}{2a} \right)^2 - \ \frac{b^2}{4a^2} \qquad (C)$$

2. Factorisation

Maintenant, on réinjecte la partie droite de \((C)\) dans \((E^*)\) :

$$a \left[ \left(X + \frac{b}{2a} \right)^2 - \ \frac{b^2}{4a^2} + \frac{c}{a}\right]= 0 \qquad (E^*) $$

Puis on met au même dénominateur :

$$a \left[ \left(X + \frac{b}{2a} \right)^2 - \ \frac{b^2}{4a^2} + \frac{c}{a}\textcolor{#6187B2}{\times \frac{4a}{4a}}\right]= 0 $$
$$a \left[ \left(X + \frac{b}{2a} \right)^2 - \ \frac{b^2}{4a^2} + \frac{4ac}{4a^2}\right]= 0$$
$$a \left[ \left(X + \frac{b}{2a} \right)^2 - \ \frac{(b^2 - 4 ac)}{4a^2} \right]= 0 $$

Soit,

$$a \left[ \left(X + \frac{b}{2a} \right)^2 - \ \left( \frac{\sqrt{b^2 - 4 ac}}{2a} \right)^2 \right]= 0 $$

Et enfin on factorise :

On factorise une différence de carré par :

$$A^2 - B^2 = (A+B)(A-B)$$
$$a \left[ \left(X + \frac{b}{2a} + \frac{\sqrt{b^2 - 4 ac}}{2a} \right)\left(X + \frac{b}{2a} - \frac{\sqrt{b^2 - 4 ac}}{2a} \right) \right]= 0 $$

En arrangeant :

$$a \left[ \left(X - \frac{-b - \sqrt{b^2 - 4 ac}}{2a} \right)\left(X - \frac{-b + \sqrt{b^2 - 4 ac}}{2a} \right) \right]= 0 $$

On pose :

$$ X_1 = \frac{- b - \sqrt{\Delta}}{2a} $$

$$ X_2 = \frac{- b + \sqrt{\Delta}}{2a} $$

$$(avec \ \Delta = b^2 - 4ac) $$

Et on obtient une forme simplifiée de la factorisation de \((E)\) :

$$ a(X - X_1)(X - X_2) =0 \qquad (E')$$

Exemples

1. En passant par le calcul de \(\Delta\)

1. Calcul de \(\Delta\)

$$3X^2 -2X + 4 \leqslant 6X + 7 $$

Tout d'abord, on s'arrange pour avoir \(0\) d'un côté de l'équation :

$$3X^2 -8X -3 \leqslant 0 \qquad (E) $$

On calcule le discriminant \(\Delta\) :

$$\Delta = (-8)^2 - 4\times 3 \times (-3) $$
$$\Delta = 64 + 36 = 100 $$

2. Détermination des racines

\(\Delta > 0\), donc on a deux racines :

$$ X_1 = \frac{8 - \sqrt{100}}{2 \times 3 } $$
$$ X_1 = \frac{8 - 10}{6 } $$
$$ X_1 = -\frac{1}{3 } $$
$$ X_2 = \frac{8 - \sqrt{100}}{2 \times 3 } $$
$$ X_2 = \frac{8 + 10}{6} $$
$$ X_2 = 3 $$

Alors, l'équation \((E)\) s'écrit maintenant \((E')\) :

$$3 \left(X+ \frac{1}{3}\right)\Bigl(X - 3 \Bigr) \leqslant 0 \qquad (E') $$

2. En passant par le début d'un développement

À partir de \((E)\) :

$$3X^2 -8X -3 \leqslant 0 \qquad (E) $$

On s'arrange pour que \((a = 1)\)

$$\textcolor{#54915C}{X^2 -\frac{8}{3}X} -1 \leqslant 0 \qquad (E_r) $$

Puis on cherche le début de \(X^2 -\frac{8}{3}X\) :

$$\left(X - \frac{4}{3}\right)^2 = \textcolor{#54915C}{X^2 -\frac{8}{3}X} + \frac{16}{9} $$
$$\left(X - \frac{4}{3}\right)^2 - \frac{16}{9} = \textcolor{#54915C}{X^2 -\frac{8}{3}X} $$

On réinjecte dans l'équation réduite \(E_r\) :

$$\left(X - \frac{4}{3}\right)^2 - \frac{16}{9} -1 \leqslant 0 $$
$$\left(X - \frac{4}{3}\right)^2 - \frac{16}{9} -1\textcolor{#6187B2}{\times \frac{9}{9}} \leqslant 0 $$
$$\left(X - \frac{4}{3}\right)^2 - \frac{25}{9} \leqslant 0 $$
$$\left(X - \frac{4}{3}\right)^2 - \left( \frac{5}{3} \right)^2 \leqslant 0 $$

On peut maintenant factoriser :

$$\left(X - \frac{4}{3} + \frac{5}{3} \right)\left(X - \frac{4}{3} - \frac{5}{3} \right) \leqslant 0 $$
$$\left(X + \frac{1}{3} \right)\left(X - \frac{9}{3} \right) \leqslant 0 $$

$$\left(X + \frac{1}{3} \right)\Bigl(X - 3 \Bigr) \leqslant 0 \qquad (E_r') $$

3. Résolution par un tableau de signes

On peut maintenant faire un tableau de signes :

$$ X $$	$$ -\infty $$	$$ \hspace{3em}$$	$$ -\frac{1}{3} $$	$$ \hspace{3em}$$	$$3$$	$$ \hspace{3em}$$	$$ +\infty $$
$$ X+ \frac{1}{3} $$	$$ \textcolor{#B75F5F}{-} $$	$$ \textcolor{#B75F5F}{-} $$	$$ 0 $$	$$ \textcolor{#54915C}{+} $$	$$ \textcolor{#54915C}{+} $$	$$ \textcolor{#54915C}{+} $$	$$ \textcolor{#54915C}{+} $$
$$ X-3$$	$$ \textcolor{#B75F5F}{-} $$	$$ \textcolor{#B75F5F}{-} $$	$$ \textcolor{#B75F5F}{-} $$	$$ \textcolor{#B75F5F}{-} $$	$$ 0 $$	$$ \textcolor{#54915C}{+} $$	$$ \textcolor{#54915C}{+} $$
$$ 3 \left(X+ \frac{1}{3}\right)(X-3) $$	$$ \textcolor{#54915C}{+} $$	$$ \textcolor{#54915C}{+} $$	$$0 $$	$$ \textcolor{#B75F5F}{-} $$	$$ 0 $$	$$ \textcolor{#54915C}{+} $$	$$ \textcolor{#54915C}{+} $$




Soit comme solutions pour \((E)\) :

$$ \mathcal{S} = \biggl[-\frac{1}{3} ; \ 3 \biggr] $$