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Résoudre une équation du second degré (pour des nombres réels)

Une équation du second degré est du type :

La résolution pour des nombres réels se fait en deux étapes :

• trouver les racines

• factoriser

Par la suite, on pourra aussi résoudre des inéquations en faisant un tableau de signes à partir de la factorisation.

Méthode par le calcul du discriminant

1. Détermination des racines

Tout d'abord, on calcule le discriminant :

Une fois le discriminant calculé, deux cas peuvent se présenter :

• si deux racines distinctes :

• si une racine double :

Dans ce cas, car s'annule dans les deux cas. Alors, on a une racine double :

• si pas de racine

2. Factorisation

On obtient alors une factorisation générale pour l'équation :

Si le discriminant était nul, on a cette factorisation :

Démonstration par le début d'un développement

1. Trouver le début d'un développement

En redémarrant de :

On factorise par :

On remarque que le début de la parenthèse est le début du développement de car :

On met la partie en verte de côté :

2. Factorisation

Maintenant, on réinjecte la partie droite de dans :

Puis on met au même dénominateur :

Soit,

Et enfin on factorise :

On factorise une différence de carré par :

En arrangeant :

On pose :

Et on obtient une forme simplifiée de la factorisation de :

Exemples

1. En passant par le calcul de

1. Calcul de

Tout d'abord, on s'arrange pour avoir d'un côté de l'équation :

On calcule le discriminant :

2. Détermination des racines

, donc on a deux racines :

Alors, l'équation s'écrit maintenant :

2. En passant par le début d'un développement

À partir de :

On s'arrange pour que

Puis on cherche le début de :

On réinjecte dans l'équation réduite :

On peut maintenant factoriser :

3. Résolution par un tableau de signes

On peut maintenant faire un tableau de signes :




Soit comme solutions pour :