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Règles générales de calcul élémentaire

À partir de ce niveau, pour exprimer un produit de deux nombres \((a,b)\), on écrira plutôt \(ab\) que \(a\times b\).

Grandes familles d'opérations

Par mesure de simplicité dans le calcul, on pourra considérer les quatre opérations de base comme deux sous-groupes.

1. Addition/soustraction : \(+ / -\)

On peut considérer une soustraction comme l'addition d'un nombre négatif :

$$ 1 - 3 = 1 + (-3)$$

Avec comme élément neutre commun le \(0\) :

$$\forall a \in \mathbb{R},$$

$$ a + 0 = a $$
$$ a - 0 = a $$

2. Multiplication/division : \(\times / \div\)

De même, on peut considérer une division par nombre comme la multiplication pour son inverse :

$$ 3 \div 4 = 3 \times \frac{1}{4}$$

Avec comme élément neutre commun le \(1\) :

$$\forall a \in \mathbb{R},$$

$$ a \times 1 = a $$
$$ a \div 1 = a $$

Priorités de calculs

1. Parenthèses : \( (... ) \)

2. Multiplication/division : \(\times / \div\)

3. Addition/soustraction : \(+ / -\)

Gestion des signes

1. Le signe d'un produit de deux facteurs

- Deux facteurs de même signe donnent \((+)\)

- Deux facteurs de signe différent donnent \((-)\)

Signe	$$(+)$$	$$(-)$$
$$(+)$$	$$ \textcolor{#54915C}{+} $$	$$ \textcolor{#B75F5F}{-} $$
$$(-)$$	$$ \textcolor{#B75F5F}{-} $$	$$ \textcolor{#54915C}{+} $$

2. Plusieurs facteurs à la suite

Si l'on a plusieurs facteurs à la suite, on compte le nombre de signes \((-)\) et :

• si ce nombre est impair, c'est \(\textcolor{#B75F5F}{(-)}\)

• si ce nombre est pair, c'est \(\textcolor{#54915C}{(+)}\)

On peut alors gérer les signes à part du résultat numérique du produit.




Exemple :

$$\left(-3\right) \times \left(-\frac{1}{5} \right) \times \left(-\frac{7}{2} \right) $$

Ce résultat sera négatif. Cela revient donc à calculer :

$$ - 3 \times \frac{1}{5} \times \frac{7}{2} $$

3. Retirer une parenthèse avec un signe \((-)\) devant

Quand on retire une parenthèse avec un signe \((-)\) devant, on enlève le signe \((-)\), les parenthèses, et on change tous les signes à l'intérieur de la parenthèse :

$$ A = a -(b + c -d) $$
$$ A = a -b -c + d $$



Exemple :

$$ A = 3 -(2 + 4 -6) $$
$$ A = 3 -(0) = 3 $$
$$ A = 3 -2-4 + 6 $$
$$A = 9 - 6 = 3$$

Développement/factorisation

Forme factorisée / forme développée

Une forme factorisée est une expression qui contient uniquement des facteurs.

Par opposition, une forme développée est une expression qui ne contient pas que des facteurs.

Exemple :

On peut (si le cas s'y prête) aller d'une forme à l'autre, soit en factorisant, soit en développant selon la forme initiale.

1. Développement

Il existe deux manières principales pour développer une expression :

1. Par une distributivité

C'est le pendant de la factorisation par un facteur commun.

$$ \textcolor{#54915C}{k}(a+b) = \textcolor{#54915C}{k} a + \textcolor{#54915C}{k} b $$

On peut éventuellement avoir une double distributivité :

$$ (a+b)(c+d) = ac + ad + bc + bd $$

2. Par une identité remarquable

On utilise souvent les deux premières identités remarquables, plutôt pour le développement car pour la factorisation elles sont plus difficiles à reconnaître.

La première :

$$ (a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2 \qquad (1^{ \textit{ère}} \ id.rem.)$$

$$ (fact.) \hspace{0.8em} \longleftrightarrow\hspace{0.8em} (d\textit{é}v.) $$



Exemple :

$$ (3+4x)^2 = \ 3^2 + \ 3 \times 4x + (4x)^2 $$
$$ (3+4x)^2 =\ 3^2 + \ 3 \times 4x + 16x^2 $$
$$ (3+4x)^2 = 9 + 12x + 16x^2 $$



La seconde identité remarquable est la même, avec un signe \((-)\) devant le double produit :

$$ (a \textcolor{#54915C}{-} b)^2 = a^2 \textcolor{#54915C}{-} 2ab + b^2 \qquad (2^{ \textit{ème}} \ id.rem.) $$

$$ (fact.) \hspace{0.8em} \longleftrightarrow\hspace{0.8em} (d\textit{é}v.) $$

2. Factorisation

1. En identifiant un facteur commun

$$ \textcolor{#54915C}{k} a + \textcolor{#54915C}{k} b = \textcolor{#54915C}{k}(a+b) $$

$$ (d\textit{é}v.) \hspace{0.8em} \longleftrightarrow\hspace{0.8em} (fact.) $$



Exemple :

$$ 3xy + 6y = 3y \times (x + 2) $$



Attention : s'il n'y a rien, il y a \(1\) (et non \(0\)). Par exemple, un prix taxé :

$$P_{TTC} = \ \underline{P_{HT}} \textcolor{#6187B2}{\times \ 1} + \ \underline{P_{HT}} \times \ t$$

On reconnaît \(P_{HT}\) comme facteur commun :

$$P_{TTC} = \ \underline{P_{HT}} \times \ (\textcolor{#6187B2}{1} + t)$$

(si jamais on mettait \(0\) à la place de \(\textcolor{#6187B2}{1}\), le prix hors taxe \(P_{HT}\) aurait disparu)

2. En identifiant une différence de carré

C'est la troisième identité remarquable.

$$ a^2 - b^2 = (a+b)(a-b) \qquad (3^{ \textit{ème}} \ id.rem.) $$

$$ (d\textit{é}v.) \hspace{0.8em} \longleftrightarrow\hspace{0.8em} (fact.) $$



Exemple :

$$ 81 - z^2 = (9-z)(9+z) $$

Fractions

Une fraction est composée d'un numérateur et d'un dénominateur :

1. Produit en croix (ou règle de trois)

$$ \frac{a}{b} = \frac{c}{d} \Longleftrightarrow ad = bc $$

$$\Bigl(avec \ (b, d) \neq 0 \Bigr) $$



Technique :Toutes les nombres peuvent circuler en diagonale (à condition qu'ils soient \(\neq 0\) s'ils sont au dénominateur).

$$ \frac{a}{b} = \frac{c}{d} $$

$$ \frac{a}{b} \nearrow \frac{c}{d} \Longleftrightarrow a = \frac{bc}{d}$$

$$ a \nwarrow \frac{bc}{d} \Longleftrightarrow ad = bc$$

Ou si on cherche une inconne \(X \) :

$$ \frac{X}{b} = \frac{c}{d} \Longleftrightarrow X = \frac{bc}{d} $$

2. Addition de fractions

On doit absolument mettre tous les termes au même dénominateur pour pouvoir additionner des fractions entres elles.

$$ A = \frac{a}{b} + \frac{c}{d} \hspace{5em} \Bigl(avec \ (b, d) \neq 0 \Bigr) $$
$$ A = \frac{a}{b} \textcolor{#54915C}{\times \frac{d}{d}} + \frac{c}{d} \textcolor{#54915C}{\times \frac{b}{b}} $$
$$ A = \frac{ad}{bd} + \frac{bc}{bd} $$
$$ A = \frac{ad + bc}{bd} \hspace{5em} (factorisation) $$



Exemple :

$$ A = \frac{1}{3} - \frac{3}{4} $$
$$ A = \frac{1}{3} \textcolor{#54915C}{\times \frac{4}{4}} - \frac{3}{4} \textcolor{#54915C}{\times \frac{3}{3}} $$
$$ A = \frac{4}{12} - \frac{9}{12} $$
$$ A = -\frac{5}{12} $$

3. Multiplication de fractions

On multiplie les éléments du haut entre eux, et on fait de même pour les éléments du bas.

$$ M = \frac{a}{b} \times \frac{c}{d} \hspace{5em} \Bigl(avec \ (b, d) \neq 0 \Bigr) $$
$$ M = \frac{a \times c}{b \times d} = \frac{a c}{bd} $$



Exemple :

$$ M = \frac{1}{7} \times \frac{3}{2} $$
$$ M = \frac{3}{14} $$

4. Division de fractions

$$ D = \frac{\frac{a}{b}}{\frac{c}{d}} \hspace{5em} \Bigl(avec \ (b, c, d) \neq 0 \Bigr) $$
$$ D = \frac{a}{b} \div \frac{c}{d} $$

Diviser par un nombre revient à multiplier par son inverse.

$$ D = \frac{a}{b} \times \frac{d}{c} $$



Exemple :

$$ D = \frac{4}{5} \div \frac{7}{6} $$
$$ D = \frac{4}{5} \times \frac{6}{7} $$
$$ D = \frac{24}{35} $$

5. Simplification de fractions

De manière générale, on cherche à obtenir une écriture linéaire avec que des produit de fractions :

$$ S = \frac{a}{b} \times \frac{c}{d} \times \frac{e}{f} \ ...etc. \hspace{5em} \Bigl(avec \ (b, d, f \ ...etc.) \neq 0 \Bigr) $$

pour pouvoir tout simplifier.




Exemple :

$$ S = \frac{64}{45} \times \frac{81}{16} \times \frac{24}{9} $$

Après décomposition, on a obtient :

$$ S = \frac{8 \times 8}{5 \times 9} \times \frac{9 \times 9}{4 \times 4} \times \frac{4 \times 6}{9} $$
$$ S = \frac{\cancel{4} \times 2 \times 8}{5 \times 9} \times \frac{\cancel{9} \times 9}{\cancel{4} \times \cancel{4}} \times \frac{\cancel{4} \times 6}{\cancel{9}} $$
$$ S = \frac{64}{45} $$

Aide :Toutes ces écritures sont équivalentes.

$$ S = \frac{a}{b} \times \frac{c}{d} \times \frac{e}{f} \hspace{5em} \Bigl(avec \ (b, d, f) \neq 0 \Bigr) $$

$$ S = \frac{a \times c \times e}{b \times d \times f}$$

$$ S = \frac{a}{d} \times \frac{c}{b} \times e \times \frac{1}{f}$$

La seule chose qui importante, c'est de conserver les éléments à leur place respective :

• au numérateur : \(a, c, e\)

• au dénominateur : \(b,d,f\)

Décomposition en facteurs premiers

Tout nombre entier \(N\) peut s'écrire sous la forme de facteurs premiers, potentiellement répétés.

$$ N = \ 2^a \times \ 3^b \times \ 5^c \times \ 7^d \times \ 11^e \times \ 13^f \times \ 17^g ...etc. $$

Exemple :

Tous les autres nombres premiers sont à la puissance \(0\).

Exemples

On gère d'abord les parenthèses.

Dans cette parenthèse, on gère d'abord le produit.

Le signe du produit est positif car il y a deux facteurs, donc on gère maintenant la valeur numérique.

Toujours dans la prenthèse, on doit maintenant gérer la soustraction; comme ce sont des fractions, on doit mettre au mêmé dénominateur.

Maintenant que les parenthèses sont gérées, on gère la division; on va multiplier par l'inverse.

Comme on n'a plus des additions/soustractions de fractions, on doit toutes les mettre au même dénominateur :

1. soit on donne à chacun ce qu'il n'a pas :

$$ \alpha = -\frac{10}{12} \textcolor{#54915C}{\times \frac{6 \times 7}{6 \times 7}} + \frac{5}{6} \textcolor{#54915C}{\times \frac{12 \times 7}{12 \times 7}} - \frac{6}{7} \textcolor{#54915C}{\times \frac{12 \times 6}{12 \times 6}}$$
$$ \alpha = -\frac{420}{504} + \frac{420}{504} - \frac{432}{504} $$
$$ \alpha = - \frac{432}{504} $$
$$ \alpha = - \frac{432}{504} $$

Puis on réduit :

$$ \alpha = - \frac{\cancel{2} \times 216}{\cancel{2} \times 252} $$
$$ \alpha = - \frac{\cancel{2} \times 108}{\cancel{2} \times 126} $$
$$ \alpha = - \frac{\cancel{2} \times 54}{\cancel{2} \times 63} $$
$$ \alpha = - \frac{\cancel{9} \times 6}{ \cancel{9} \times 7} $$

$$ \alpha = - \frac{6}{7} $$

2. soit on cherche un dénominateur commun le plus bas possible :

Ici, ne l'occurrence, \(84\).

$$ \alpha = -\frac{10}{12} \textcolor{#54915C}{\times \frac{7}{7}} + \frac{5}{6} \textcolor{#54915C}{\times \frac{14}{14}} - \frac{6}{7} \textcolor{#54915C}{\times \frac{12}{12}}$$
$$ \alpha = -\frac{70}{84} + \frac{70}{84} - \frac{72}{84} $$
$$ \alpha = - \frac{72}{84} $$

Puis on réduit :

$$ \alpha = - \frac{\cancel{2} \times \cancel{6} \times 6}{\cancel{2} \times \cancel{6} \times 7} $$

$$ \alpha = - \frac{6}{7} $$

Trouver un dénominateur commun permet de monter moins haut pour éviter de tout réduire après coup...