Reconnaître un téléscopage de termes

Soit une suite quelconque $(a_n)_{n \hspace{0.05em} \in \mathbb{N} }$, et une suite exprimée en fonction de la précédente $(u_n)_{n \hspace{0.05em} \in \mathbb{N} }$ telle que :

Pour calculer la somme des termes de cette suite, on pourra effectuer un téléscopage de termes, tel qu'à la fin il ne reste plus que le premier et le dernier terme de cette somme :

Le téléscopage

On souhaite calculer la série $ \sum \bigl [a_{k+1} - a_k \bigr] $ de $ k = 0 $ jusque $ n $.

On aura,

$$ \sum_{k=n_0}^n \Bigl [a_{k+1} - a_k \Bigr] = a_{1} - a_{0} + a_{2} - a_{1} \hspace{0.2em} + \hspace{0.2em} ... \hspace{0.2em} + \hspace{0.2em} a_{n_{k}} - a_{n_{k-1}} + a_{n_{k+1}} - a_{n_{k}} $$

En arrageant l'expression, les termes vont s'annihiler un à un.

$$ \sum_{k=n_0}^n \Bigl [a_{k+1} - a_k \Bigr] = a_{k+1} + \underbrace{a_{k} - a_{k}} _\text{ $= 0$} + \underbrace{ a_{k-1} - a_{k-1}} _\text{ $= 0$} \hspace{0.2em} + \hspace{0.2em} ... \hspace{0.2em} + \underbrace{a_2 - a_2} _\text{ $= 0$} + \underbrace{a_1 - a_1} _\text{ $= 0$} - a_0 $$

Il ne restera plus que le le dernier moins le premier de la série. Soit finalement,

$$ \sum_{k=0}^n \Bigl [a_{k+1} - a_k \Bigr] = a_{n+1} - a_{0} $$