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Reconnaître un décalage de fonction

Il peut parfois s'avérer utile de reconnaître la forme d'une fonction usuelle décalée, ou à l'inverse anticiper son allure à partir de sa formule.

Dans les points qui vont suivre, on utilisera à chaque fois pour illustrer le propos la même fonction de référence; la fonction carrée.

la fonction carrée : \(f(x) = x^2\)

Décalage vers la droite : \(f(x) \longmapsto f(x-a)\)

Lorsqu'une fonction est décalée vers la droite (resp. vers la gauche) sur l'axe des abscisses, une fonction \(f(x)\) devient \(f(x-a)\) (resp. \(f(x+a)\)).

$$ f(x) \ d\textit{é}cal\textit{é}e \ de \ a \ vers \ la \ droite \Longleftrightarrow f(x) \textcolor{#D19F54}{\longmapsto} f(x - a)$$

$$ f(x) \ d\textit{é}cal\textit{é}e \ de \ a \ vers \ la \ gauche \Longleftrightarrow f(x) \longmapsto f(x+a)$$

exemple de la fonction carrée décalée de \(a\) : \(f(x) = (x-a)^2\)

Décalage vers le haut : \(f(x) \longmapsto f(x) + b\)

Lorsqu'une fonction est décalée vers le haut (resp. vers le bas) sur l'axe des abscisses, une fonction \(f(x)\) devient \(f(x) + b\) (resp. \(f(x) - b \)).

$$ f(x) \ d\textit{é}cal\textit{é}e \ de \ b \ vers \ le \ haut \Longleftrightarrow f(x) \textcolor{#AF71BF}{\longmapsto} f(x) + b $$

$$f(x) \ d\textit{é}cal\textit{é}e \ de \ b \ vers \ le \ bas \Longleftrightarrow f(x) \longmapsto f(x) - b$$

exemple de la fonction carrée décalée de \(b\) : \(f(x) = x^2 + b\)

Décalage à la fois vers la droite et vers le haut : \(f(x) \longmapsto f(x-a) + b \)

Dans ce dernier cas mixte, c'est simplement la combinaison des deux fonctions à la suite :

$$ f(x) \textcolor{#D19F54}{\longmapsto} f(x - a) \textcolor{#AF71BF}{\longmapsto} f(x - a) + b$$

$$ f(x) \ d\textit{é}cal\textit{é}e \ de \ a \ vers \ la \ droite, \ et \ de \ b \ vers \ le \ haut \Longleftrightarrow f(x) \textcolor{#7BAB6A}{\longmapsto} f(x-a) + b $$

exemple de la fonction carrée décalée de \(a\) et de \(b\) : \(f(x) = (x-a)^2 + b\)
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