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Soit \(f\) une fonction et \((x = a)\) un point ou une extrémité de l'axe des abscisses.
La limite d'une fonction
On note la limite d'une fonction \(f\) quand \(x\) tend vers \(a\) par :
$$ lim_{x \to a} \hspace{0.5em} f(x)$$
Et cette limite vaut :
si la fonction admet une image en ce point (continuité) :
Alors, la limite est l'image de la fonction en ce point.
si la fonction n'est pas définie en ce point :
Alors, la limite répond au théorème correspondant selon les cas (voir plus bas).
Exemple :
Voici les limites de la fonction inverse, en un point continu, en zéro et aux extrémités :
$$ \Biggl \{ \begin{gather*} lim_{x \to -\infty} \hspace{0.5em} f(x) = 0^- \\ lim_{x \to +\infty} \hspace{0.5em} f(x) = 0^+ \end{gather*} $$
$$ \Biggl \{ \begin{gather*} lim_{x \to 0^-} \hspace{0.5em} f(x) = -\infty \\ lim_{x \to 0^+} \hspace{0.5em} f(x) = +\infty \end{gather*} $$
De manière générale, les opérations élémentaires se marient bien avec les limites.
Soit \((f,g)\) deux fonctions, \(\alpha \in \hspace{0.03em} \mathbb{R}\) un réel et \((x = a)\) un point ou une extrémité de l'axe des abscisses, alors :
Soit \((f,g)\) deux fonctions et \((l, l') \in \hspace{0.03em} \mathbb{R}^2\) deux réels.
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Additions
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|---|---|---|---|---|---|
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$$lim_{x \to a} \hspace{0.5em} f(x)$$
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$$l$$
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$$l$$
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$$ + \infty$$
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$$ - \infty$$
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$$ + \infty$$
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$$lim_{x \to a} \hspace{0.5em} g(x)$$
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$$l'$$
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$$ \pm \infty$$
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$$ + \infty$$
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$$ - \infty$$
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$$ - \infty$$
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$$lim_{x \to a} \hspace{0.5em} \Bigl[f(x) + g(x)\Bigr]$$
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$$l+l'$$
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$$ \pm \infty$$
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$$ + \infty$$
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$$ - \infty$$
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$$F.I.$$
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Exemple :
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Multiplications
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|---|---|---|---|---|---|---|---|
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$$lim_{x \to a} \hspace{0.5em} f(x)$$
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$$l$$
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$$ l > 0$$
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$$ l < 0 $$
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$$ l = 0 $$
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$$ + \infty$$
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$$ + \infty$$
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$$ - \infty$$
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$$lim_{x \to a} \hspace{0.5em} g(x)$$
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$$l'$$
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$$ \pm \infty$$
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$$ \pm \infty$$
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$$ \pm \infty$$
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$$ + \infty$$
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$$ - \infty$$
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$$ - \infty$$
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$$lim_{x \to a} \hspace{0.5em} f(x) g(x)$$
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$$ll'$$
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$$ \pm \infty$$
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$$ \mp \infty$$
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$$F.I.$$
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$$ + \infty$$
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$$ - \infty$$
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$$ + \infty$$
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Exemple :
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Quotients
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|---|---|---|---|---|---|
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$$lim_{x \to a} \hspace{0.5em} f(x)$$
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$$l$$
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$$ l > 0$$
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$$ l < 0 $$
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$$ \pm \infty$$
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$$ l = 0 $$
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$$lim_{x \to a} \hspace{0.5em} g(x)$$
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$$l' \neq 0$$
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$$ \pm \infty$$
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$$ \pm \infty$$
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$$ \pm \infty$$
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$$ l = 0$$
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$$lim_{x \to a} \hspace{0.5em} \frac{f(x)}{g(x)} $$
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$$\frac{l}{l'}$$
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$$0^{\pm}$$
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$$0^{\mp}$$
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$$F.I.$$
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$$F.I.$$
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Exemple :
On peut éventuellement décomposer une fonction, pour voir plus facilement sa limite, et utiliser le théorème suivant :
On récupère le résultat d'une première limite, que l'on injecte dans la suivante.
Exemple : \(lim_{x \to + \infty} \hspace{0.5em} e^{-x}\)
On sait que :
Alors, on peut décomposer cette fonction de la sorte :
On a alors :
On peut à présent calculer la limite par composition :
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Fonctions
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Limites en
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|---|---|---|---|---|
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$$- \infty$$
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$$ 0^- $$
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$$ 0^+ $$
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$$ +\infty$$
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$$ x^n $$
$$(avec \ n > 0)$$
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$$ \Biggl \{ \begin{gather*}
n \ impair : - \infty \\
n \ pair : + \infty
\end{gather*} $$
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$$ 0$$
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$$0$$
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$$ \Biggl \{ \begin{gather*}
n \ impair : + \infty \\
n \ pair : + \infty
\end{gather*} $$
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$$ \frac{1}{x} $$
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$$ 0^- $$
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$$ - \infty$$
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$$ +\infty$$
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$$ 0^+ $$
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$$ \sqrt{x} $$
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$$N.D.$$
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$$N.D.$$
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$$0$$
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$$ + \infty $$
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$$e^x $$
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$$0^+$$
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$$1$$
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$$1$$
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$$ + \infty $$
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$$ ln(x)$$
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$$N.D.$$
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$$N.D.$$
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$$- \infty$$
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$$ + \infty $$
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La limite d'un polynôme est la limite de son terme de plus haut degré.
Exemple :
La limite d'une fraction rationnelle est la limite du quotient entre les termes de plus haut degré respectif.
Exemple :
Jusqu'en terminale, on voit principalement quatre formes indéterminées :
Forme indéterminée \( \Bigl[ + \infty - \infty \Bigr ] \)
On peut multiplier l'expression par le conjugué, au numérateur et au dénominateur.
Exemple :
On a maintenant une autre forme indéterminée de type \( \left[ \frac{\pm \infty}{\pm \infty} \right ]\) que l'on va pouvoir lever par la suite.
Forme indéterminée \( \Bigl[ 0 \times (\pm \infty) \Bigr] \)
On peut transformer le facteur qui tend vers \(0\) en inverse, et à ce moment-là changer le tout en quotient :
Exemple :
On a maintenant une autre forme indéterminée de type \( \left[ \frac{\pm \infty}{\pm \infty} \right ]\) que l'on va pouvoir lever par la suite.
Formes indéterminées \( \left[ \frac{0}{0} \right ]\) et \( \left[ \frac{\pm \infty}{\pm \infty} \right ]\)
On peut utiliser la règle de l'Hôpital, qui consiste à dire que s'il se présente une forme indéterminée de type \( \left[ \frac{0}{0} \right ]\) ou \( \left[ \frac{\pm \infty}{\pm \infty} \right ]\), alors la limite recherchée est la même que si l'on dérive individuellement numérateur et dénominateur.
Si après une dérivation, on est toujours sur une forme indéterminée, on re-dérive jusqu'à obtenir une forme sans indétermination.
Exemple 1 :
Les deux premières formes trouvées précédemment peuvent se lever avec cette règle.
Exemple 2 :
Pour ce dernier exemple, on peut éventuellement reconnaître la limite d'un taux de variation, ce qui est la définition de la dérivée.