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Méthode de calcul de la somme des termes d'une suite arithmétique ou géométrique

Pour calculer la somme des termes d'une suite d'une suite arithmétique ou géométrique, on pourra utiliser les deux méthodes suivantes au choix :

• la méthode directe

Dans ce cas, on utilisera directement la formule prenant en compte les termes de \((k = a)\) jusque \(n\)

• la méthode directe

Dans ce cas-ci, on calculera les termes de \((k = a)\) jusque \(n\), puis on retirera les termes en trop à partir de l'indice souhaité

Les suites arithmétiques : \(u_n = u_0 + nr\)

Soit une suite arithmétique \((u_n)_{n \hspace{0.05em} \in \mathbb{N} }\) :

Et on souhaite calculer la somme des termes cette suite de \((k = 7)\) jusque \((n = 16)\).

1. Méthode indirecte

La somme des premiers termes d'une suite arithmétique vaut :

$$ \forall n \in \mathbb{N}, $$

$$ \sum_{k = 0}^n (u_0 + kr) = \frac{\bigl(n+1\bigr)\bigl(u_0 + u_n \bigr)}{2}$$

$$ (avec \enspace u_n = u_0 + nr) $$

Avec cette formule, on calcule d'abord les premiers termes :

$$ \sum_{k = 0}^{16} u_n = \Bigl(16 + 1 \Bigr) \Biggl( \frac{2 + \bigl(3 \times 16 + 2 \bigr)}{2} \Biggr) $$
$$ \sum_{k = 0}^{16} u_n = 17 \times \Biggl( \frac{2 + 50}{2} \Biggr) $$
$$ \sum_{k = 0}^{16} u_n = 17 \times 26 $$
$$ \sum_{k = 0}^{16} u_n = 442 $$

Et on retire les termes en trop pour débuter à \((k = 7) \):

$$ \sum_{k = 0}^{6} u_n = \Bigl(6 + 1 \Bigr) \Biggl( \frac{2 + \bigl(3 \times 6 + 2 \bigr)}{2} \Biggr) $$
$$ \sum_{k = 0}^{6} u_n = 7 \times \frac{22}{2} $$
$$ \sum_{k = 0}^{6} u_n = 77 $$

Alors, on peut maintenant faire la différence des deux :

$$ \sum_{k = 7}^{16} u_n = \sum_{k = 0}^{16} u_n - \sum_{k = 0}^{6} u_n $$
$$ \sum_{k = 7}^{16} u_n = 442 - 77 $$
$$ \sum_{k = 7}^{16} u_n = 365 $$

2. Méthode directe

La somme des termes d'une suite arithmétique de \((k=a)\) jusque \((k=n)\) vaut :

$$ \forall (a,n) \in \hspace{0.05em} \mathbb{N}^2, $$

$$ \sum_{k =a}^n (u_0 + kr) = \Bigl(n + 1 - a\Bigr) \Biggl( \frac{u_0 + u_{n+a}}{2} \Biggr)$$

$$ (avec \enspace u_n = u_0 + nr) $$

On l'applique alors directement :

$$ \sum_{k = 7}^{16} u_n = \Bigl(16 + 1 - 7\Bigr) \Biggl( \frac{2 + \bigl(3\times(16+7) + 2 \bigr)}{2} \Biggr) $$
$$ \sum_{k = 7}^{16} u_n = 10 \times \frac{73}{2} $$
$$ \sum_{k = 7}^{16} u_n = 365 $$

Les suites géométriques : \(v_n = v_0 \ q^n\)

Soit une suite géométrique \((v_n)_{n \hspace{0.05em} \in \mathbb{N} }\) :

On va de même calculer la somme des termes cette suite de \((k = 7)\) jusque \((n = 16)\).

On va pouvoir appliquer les deux mêmes méthodes que précédemment.

1. Méthode indirecte

La somme des premiers termes d'une suite géométrique vaut :

$$ \forall n \in \mathbb{N}, \enspace \forall v_0 \in \hspace{0.05em} \mathbb{R}, \ \forall q \in \hspace{0.05em} \Bigl[ \mathbb{R} \ \backslash \bigl \{0,1 \bigr \} \Bigr] , $$

$$ \sum_{k = 0}^n (v_0.q^k ) = v_0.\frac{q^{n+1} - 1}{q-1} $$
$$ \sum_{k = 0}^{16} v_n = \frac{1}{2} \times \frac{3^{16+1} - 1}{3-1} $$
$$ \sum_{k = 0}^{16} v_n = \frac{1}{2} \times 64 \ 570 \ 081 $$
$$ \sum_{k = 0}^{16} v_n = 32 \ 285 \ 040.5 $$

Puis on calcule ce qu'il y a en trop :

$$ \sum_{k = 0}^{6} v_n = \frac{1}{2} \times \frac{3^{6+1} - 1}{3-1} $$
$$ \sum_{k = 0}^{6} v_n = \frac{1}{2} \times 1 \ 093 $$
$$ \sum_{k = 0}^{6} v_n = 546.5 $$

Enfin, la différence des deux vaut :

$$ \sum_{k = 7}^{16} v_n = \sum_{k = 0}^{16} v_n - \sum_{k = 6}^{16} v_n $$
$$ \sum_{k = 7}^{16} v_n = 32 \ 284 \ 494 $$

2. Méthode directe

La somme des termes d'une suite géométrique de \((k=a)\) jusque \((k=n)\) vaut :

$$ \forall (a,n) \in \hspace{0.05em} \mathbb{N}^2, \enspace \forall v_0 \in \hspace{0.05em} \mathbb{R}, \ \forall q \in \hspace{0.05em} \Bigl[ \mathbb{R} \ \backslash \bigl \{0,1 \bigr \} \Bigr] , $$

$$ \sum_{k =a}^{n} v_0.q^k = v_0.\frac{q^{n+1} - q^{a}}{q-1} $$

$$ \sum_{k = 7}^{16} v_n = \frac{1}{2} \times \frac{3^{16+1} - 3^{7}}{3-1} $$
$$ \sum_{k = 7}^{16} v_n = \frac{1}{2} \times 64 \ 568 \ 988 $$
$$ \sum_{k = 7}^{16} v_n = 32 \ 284 \ 494 $$