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Méthodes de calcul d'une dérivée

Il peut exister plusieurs façons de calculer une dérivée, l'idéal est de combiner les différentes formules des dérivées fonctions usuelles avec celles des dérivées d'opérations sur les fonctions.

Dérivées des fonctions usuelles

Fonctions constantes

$$ (\lambda)' = 0$$

La dérivée étant par définition un taux de variation, une fonction qui n'admet pas de variation a sa dérivée nulle.

Fonctions affines

$$\forall x \in \mathbb{R}, $$

$$ (ax+b)' = a$$

Pour la même raison que précédemment, une fonction affine admet directement pour dérivée son taux de variation.

Fonctions puissances

$$\forall x \in \mathbb{R}, $$

$$ (x^2)' = 2x$$

$$\forall x \in \mathbb{R}, $$

$$ (x^3)' = 3 x^{2}$$

$$Et \ pour \ tout \ n \ (\textit{à} \ adapter \ selon \ les \ cas) \ : $$

$$ (x^n)' = n \ x^{n-1}$$

Cette formule est la plus puissante puisque l'on peut aussi calculer :

$$(\sqrt{x})' = \frac{1}{2 \sqrt{x}} $$

Démonstration :

$$(\sqrt{x})' = \left( x^{ \frac{1}{2}} \right)' $$

$$(\sqrt{x})' = \frac{1}{2}x^{\frac{1}{2} - 1} $$

$$(\sqrt{x})' = \frac{1}{2}x^{-\frac{1}{2}} $$

$$(\sqrt{x})' = \frac{1}{2} \times \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} $$

Et aussi, pour tout $n$ :

$$ \left(\sqrt[n]{x}\right)' \hspace{0.03em} = \frac{1}{n} \times x^{\frac{1}{n} - 1} $$

Mais aussi la fonction inverse :

$$\left(\frac{1}{x}\right)' = -\frac{1}{x^2} $$

Démonstration :

$$\left(\frac{1}{x}\right)' = \left( x^{-1} \right)' $$

$$\left(\frac{1}{x}\right)' = -x^{-1-1} $$

$$\left(\frac{1}{x}\right)' = -x^{-2} $$

$$\left(\frac{1}{x}\right)' = -\frac{1}{x^2}$$

Fonctions de type exponentielles

$$\forall x \in \mathbb{R}, $$

$$ (e^x)' = e^x$$

$$\forall x \in \mathbb{R}, \ \ \forall a \in \mathbb{R}^*_+,$$

$$ (a^x)' = ln(a)\ a^x$$

Fonctions de type logarithmiques

$$\forall x \in \mathbb{R}^*_+, $$

$$ \bigl(ln(x) \bigr)' = \frac{1}{x}$$

$$\forall x \in \mathbb{R}^*_+, \ \forall a \in \mathbb{R}^*_+, $$

$$ \bigl(log_a(x) \bigr)' = \frac{1}{x \ ln(a)}$$

Fonctions trigonométriques

$$\forall x \in \mathbb{R}, $$

$$ \bigl(sin(x) \bigr)' = cos(x)$$

$$\forall x \in \mathbb{R}, $$

$$ \bigl(cos(x) \bigr)' = -sin(x)$$

$$\forall k \in \mathbb{N}, \ \forall x \in \left[ \mathbb{R} \ \backslash \left \{ \frac{k\pi}{2} \right \} \right], $$

$$ \bigl(tan(x) \bigr)' = 1 + tan^2(x) = \frac{1}{cos^2(x)}$$

Formules d'opérations sur des fonctions

Soit $(f,g)$ deux fonctions.

Dérivée d'une fonction mulitpliée par une constante

Lorsqu'une constante est présente devant une fonction, on peut la laisser devant et calculer la dérivée à part.

$$(\lambda f)' = \lambda f'$$

Exemple :

$$(3x^2)' = 3 \times (x^2)'$$

$$(3x^2)' = 3 \times 2x = 6x$$

Dérivée d'une somme

La dérivée d'une somme est la somme des dérivées.

$$(f+g)' = f' + g'$$

$$(f-g)' = f' - g'$$

Exemple :

$$(-4x^2 + 3x - 5 )' = (-4x^2)' +( 3x)' -(5 )'$$

$$(-4x^2 + 3x - 5 )' = -4\times 2x + 3 $$

$$(-4x^2 + 3x - 5 )' = -8x + 3 $$

Dérivée d'un produit

$$(fg)' = f'g + fg'$$

Exemple :

$$(4x \times \sqrt{x})' = (4x)'\sqrt{x} + 4x(\sqrt{x} )'$$

$$(4x \times \sqrt{x})' = 4\sqrt{x} + 4x \times \frac{1}{2 \sqrt{x}}$$

Dérivée d'un quotient

$$\forall g \neq 0, $$

$$ \left(\frac{f}{g} \right)' = \frac{f'g - fg'}{g^2}$$

Exemple :

$$ \left( \frac{\sqrt{x}}{ln(x)} \times \sqrt{x} \right)' = \frac{(\sqrt{x})' ln(x) - \sqrt{x}(ln(x))'}{ln(x)^2} $$

$$ \left( \frac{\sqrt{x}}{ln(x)} \times \sqrt{x} \right)' = \frac{\frac{ln(x)}{2 \sqrt{x}} - \frac{\sqrt{x}}{x}}{ln(x)^2} $$

Dérivée d'une fonction composée

On note une fonction composée $\bigl(f \circ g\bigr)(x)$, c'est l'équivalent de $f \bigl(g(x) \bigr)$.

$$x \longmapsto g(x) \longmapsto f \bigl(g(x) \bigr)$$

Et sa dérivée vaut :

$$ \left(f \circ g \right)' = g' \times (f' \circ g)$$

Exemple :

$$ \left( (1+x)^2 \right)' = 1 \times 2(1+x) $$

$$ \Biggl \{ \begin{gather*} g(x) = (1+x) \\ f(X) = X^2 \end{gather*} $$

$$ \Biggl \{ \begin{gather*} g'(x) = 1 \\ f'(X) = 2X \end{gather*} $$

Calcul "à la main"

En revenant à la définition de la dérivée, à savoir :

$$ f'(x) = lim_{h \to 0} \enspace \frac{f(x+h) - f(x)}{h} \qquad (notation \ de \ Lagrange)$$

Exemple : la fonction carrée

$$ (x^2)' = lim_{h \to 0} \enspace \frac{(x+h)^2 - x^2}{h}$$

$$ (x^2)' = lim_{h \to 0} \enspace \frac{x^2 + 2xh + h^2 - x^2}{h}$$

Les deux termes $x^2$ s'annihilent :

$$ (x^2)' = lim_{h \to 0} \enspace \frac{2xh + h^2 }{h}$$

On factorise par $h$ :

$$ (x^2)' = lim_{h \to 0} \enspace h \times \frac{2x + h }{h}$$

Et on l'élimine :

$$ (x^2)' = lim_{h \to 0} \enspace \cancel{h} \times \frac{2x + h }{\cancel{h}}$$

$$ (x^2)' = lim_{h \to 0} \enspace (2x + h) $$

$$ (x^2)' = 2x $$