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Isoler une variable \(X\)

Pour isoler une variable, on suit le chemin inverse des priorités opératoires.

Les différentes opérations éventuelles avant d'arriver à isoler une variable \(X\) sont :

Se débarrasser d'un terme : \(+/-\)

  1. À la main

    2. On le fait passer de l'autre côté de l'équation en le changeant de signe.

    $$X + 4 = 0 $$
    $$\Longrightarrow X = -4$$

  2. Au pas à pas

    3. On retire (ou on ajoute) ce terme de chaque côté :

    $$X + 4 \textcolor{#54915C}{-4} = 0 \textcolor{#54915C}{-4}$$
    $$\Longrightarrow X = -4$$

Se débarrasser d'un facteur : \(\times/\div\)

  1. À la main

    2. On le fait circuler en diagonale de l'autre côté de l'équation (en conservant le signe).

    $$4X = A $$
    $$\Longrightarrow X = \frac{A}{4}$$

  2. Au pas à pas

    3. On fait en sorte de le faire disparaître en multipliant (ou divisant) de chaque côté.

    $$4X = A $$
    $$ \frac{4X}{\textcolor{#54915C}{4}} = \frac{A}{\textcolor{#54915C}{4}} $$
    $$\Longrightarrow X = \frac{A}{4}$$

Se débarrasser d'une puissance : \(X^n\)

On lui applique la racine \(n\)-ième pour la faire disparaître.

$$X^n = A $$
$$ \textcolor{#54915C}{\sqrt[n]{\textcolor{#979999}{X^n}}} = \textcolor{#54915C}{\sqrt[n]{\textcolor{#979999}{A}}} $$

$$\sqrt[n]{X^n} = X$$

$$X = \sqrt[n]{\textcolor{#979999}{A}}$$

Attention, si \(n\) est pair, il y aura deux solutions.

$$X = \sqrt[n]{A} \hspace{2em} \underline{ou} \hspace{2em} X = -\sqrt[n]{A}$$

Se débarrasser d'une racine \(n\)-ième : \(\sqrt[n]{X}\)

On lui applique la puissance \(n\) pour la faire disparaître.

$$\sqrt[n]{X} = A $$
$$ \textcolor{#54915C}{\biggl(} \sqrt[n]{X} \textcolor{#54915C}{\biggr)^n}= A \textcolor{#54915C}{^n}$$

$$\left( \sqrt[n]{X} \right)^n = X$$

$$X = A^n$$

Dans ce sens-ci, il n'y aura toujours qu'une seule solution.

Faire descendre une puissance : \(B^X\)

On lui applique la logarithme.

$$B^X = A $$
$$ \textcolor{#54915C}{ln \Bigl(} B^X \textcolor{#54915C}{\Bigr)} = \textcolor{#54915C}{ln (}A \textcolor{#54915C}{)}$$

$$ ln \left(B^X \right) = X \ ln(B)$$

La puissance va descendre en facteur :

$$X \ ln(B) = ln(A) $$

Et on fait circuler le facteur en trop :

$$X= \frac{ln(A)}{ln(B)} $$

Se débarrasser d'un logarithme : \(ln(X)\)

On lui applique la fonction exponentielle.

$$ln(X) = A $$
$$\textcolor{#54915C}{e} ^{ln(X)} \ = \ \textcolor{#54915C}{e}^A $$

$$ e^{ln(X)} = X$$

Le logarithme disparaît :

$$X = \ e^A $$

Pour passer d'un logarithme naturel à un logarithme de base \(a\), on fait la conversion suivante :

$$log_a(X) = \frac{ln(X)}{ln(a)}$$
$$(ou)$$
$$ln(X) = log_a(X) \ ln(a)$$
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