Isoler une variable \(X\)
Pour isoler une variable, on suit le chemin inverse des priorités opératoires.
Les différentes opérations éventuelles avant d'arriver à isoler une variable \(X\) sont :
Se débarrasser d'un terme : \(+/-\)
-
À la main
On le fait passer de l'autre côté de l'équation en le changeant de signe.
$$ X + 4 = 0 $$
$$ \Longrightarrow X = -4 $$
-
Au pas à pas
On retire (ou on ajoute) ce terme de chaque côté :
$$ X + 4 \textcolor{#4A8051}{-4} = 0 \textcolor{#4A8051}{-4} $$
$$ \Longrightarrow X = -4 $$
Se débarrasser d'un facteur : \(\times/\div\)
-
À la main
On le fait circuler en diagonale de l'autre côté de l'équation (en conservant le signe).
$$ 4X = A $$
$$ \Longrightarrow X = \frac{A}{4} $$
-
Au pas à pas
On fait en sorte de le faire disparaître en multipliant (ou divisant) de chaque côté.
$$ 4X = A $$
$$ \frac{4X}{\textcolor{#4A8051}{4}} = \frac{A}{\textcolor{#4A8051}{4}} $$
$$ \Longrightarrow X = \frac{A}{4} $$
Se débarrasser d'une puissance : \(X^n\)
On lui applique la racine \(n\)-ième pour la faire disparaître.
$$ X^n = A $$
$$ \textcolor{#4A8051}{\sqrt[n]{\textcolor{#979999}{X^n}}} = \textcolor{#4A8051}{\sqrt[n]{\textcolor{#979999}{A}}} $$
$$\sqrt[n]{X^n} = X $$
$$ X = \sqrt[n]{\textcolor{#979999}{A}} $$
Attention, si \(n\) est pair, il y aura deux solutions.
$$X = \sqrt[n]{A} \hspace{2em} \underline{ou} \hspace{2em} X = -\sqrt[n]{A}$$
Se débarrasser d'une racine \(n\)-ième : \(\sqrt[n]{X}\)
On lui applique la puissance \(n\) pour la faire disparaître.
$$ \sqrt[n]{X} = A $$
$$ \textcolor{#4A8051}{\biggl(} \sqrt[n]{X} \textcolor{#4A8051}{\biggr)^n}= A \textcolor{#4A8051}{^n} $$
$$\left( \sqrt[n]{X} \right)^n = X $$
$$ X = A^n $$
Dans ce sens-ci, il n'y aura toujours qu'une seule solution.
Faire descendre une puissance : \(B^X\)
On lui applique la logarithme.
$$ B^X = A $$
$$ \textcolor{#4A8051}{ln \Bigl(} B^X \textcolor{#4A8051}{\Bigr)} = \textcolor{#4A8051}{ln (}A \textcolor{#4A8051}{)} $$
$$ ln \left(B^X \right) = X \ ln(B) $$
La puissance va descendre en facteur :
$$ X \ ln(B) = ln(A) $$
Et on fait circuler le facteur en trop :
$$ X= \frac{ln(A)}{ln(B)} $$
Se débarrasser d'un logarithme : \(ln(X)\)
On lui applique la fonction exponentielle.
$$ ln(X) = A $$
$$ \textcolor{#4A8051}{e} ^{ln(X)} \ = \ \textcolor{#4A8051}{e}^A $$
$$ e^{ln(X)} = X $$
Le logarithme disparaît :
$$ X = \ e^A $$
Pour passer d'un logarithme naturel à un logarithme de base \(a\), on fait la conversion suivante :
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