Imprimer
Sun Arrows Moon
Actuelle
Arrows
Autre
Return Index

Isoler une variable \(X\)

Pour isoler une variable, on suit le chemin inverse des priorités opératoires.

Les différentes opérations éventuelles avant d'arriver à isoler une variable \(X\) sont :

Se débarrasser d'un terme : \(+/-\)

  1. À la main

    2. On le fait passer de l'autre côté de l'équation en le changeant de signe.

    $$X + 4 = 0 $$
    $$\Longrightarrow X = -4$$

  2. Au pas à pas

    3. On retire (ou on ajoute) ce terme de chaque côté :

    $$X + 4 \textcolor{#4A8051}{-4} = 0 \textcolor{#4A8051}{-4}$$
    $$\Longrightarrow X = -4$$

Se débarrasser d'un facteur : \(\times/\div\)

  1. À la main

    2. On le fait circuler en diagonale de l'autre côté de l'équation (en conservant le signe).

    $$4X = A $$
    $$\Longrightarrow X = \frac{A}{4}$$

  2. Au pas à pas

    3. On fait en sorte de le faire disparaître en multipliant (ou divisant) de chaque côté.

    $$4X = A $$
    $$ \frac{4X}{\textcolor{#4A8051}{4}} = \frac{A}{\textcolor{#4A8051}{4}} $$
    $$\Longrightarrow X = \frac{A}{4}$$

Se débarrasser d'une puissance : \(X^n\)

On lui applique la racine \(n\)-ième pour la faire disparaître.

$$X^n = A $$
$$ \textcolor{#4A8051}{\sqrt[n]{\textcolor{#979999}{X^n}}} = \textcolor{#4A8051}{\sqrt[n]{\textcolor{#979999}{A}}} $$
$$\sqrt[n]{X^n} = X$$
$$X = \sqrt[n]{\textcolor{#979999}{A}}$$

Attention, si \(n\) est pair, il y aura deux solutions.

$$X = \sqrt[n]{A} \hspace{2em} \underline{ou} \hspace{2em} X = -\sqrt[n]{A}$$

Se débarrasser d'une racine \(n\)-ième : \(\sqrt[n]{X}\)

On lui applique la puissance \(n\) pour la faire disparaître.

$$\sqrt[n]{X} = A $$
$$ \textcolor{#4A8051}{\biggl(} \sqrt[n]{X} \textcolor{#4A8051}{\biggr)^n}= A \textcolor{#4A8051}{^n}$$
$$\left( \sqrt[n]{X} \right)^n = X$$
$$X = A^n$$

Dans ce sens-ci, il n'y aura toujours qu'une seule solution.

Faire descendre une puissance : \(B^X\)

On lui applique la logarithme.

$$B^X = A $$
$$ \textcolor{#4A8051}{ln \Bigl(} B^X \textcolor{#4A8051}{\Bigr)} = \textcolor{#4A8051}{ln (}A \textcolor{#4A8051}{)}$$
$$ ln \left(B^X \right) = X \ ln(B)$$

La puissance va descendre en facteur :

$$X \ ln(B) = ln(A) $$

Et on fait circuler le facteur en trop :

$$X= \frac{ln(A)}{ln(B)} $$

Se débarrasser d'un logarithme : \(ln(X)\)

On lui applique la fonction exponentielle.

$$ln(X) = A $$
$$\textcolor{#4A8051}{e} ^{ln(X)} \ = \ \textcolor{#4A8051}{e}^A $$
$$ e^{ln(X)} = X$$

Le logarithme disparaît :

$$X = \ e^A $$

Pour passer d'un logarithme naturel à un logarithme de base \(a\), on fait la conversion suivante :

$$log_a(X) = \frac{ln(X)}{ln(a)}$$
$$(ou)$$
$$ln(X) = log_a(X) \ ln(a)$$
Home Démonstrations des formules Mentions légales