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Les puissances et l'écriture scientifique

Puissances de \(x\)

Soit deux nombres \((x, y)\) deux réels, et \((a, b)\) deux entiers naturels.

On définit une puissance de \(x\) par :

$$ x^a = \hspace{0.2em} \underbrace {x \times x \times x \times x \times x ...} _\text{ \(a\) facteurs } $$

1. Puissance de produit

$$ (xy)^a = \hspace{0.2em} \underbrace {xy \times xy \times xy \times xy \times xy ...} _\text{ \(a\) facteurs } $$

Le produit de nombres étant commutatif, on a :

$$ (xy)^a = \hspace{0.2em} \underbrace {x \times x \times x\times x \times x...} _\text{ \(a\) facteurs } \ \times \ \underbrace {y \times y \times y \times y \times y ...} _\text{ \(a\) facteurs } $$

Soit,

$$ (xy)^a = \hspace{0.2em} x^a \times y^a $$

2. Puissance de quotient

$$ \left(\frac{x}{y} \right)^a = \hspace{0.2em} \underbrace {\frac{x}{y} \times \frac{x}{y} \times \frac{x}{y} \times \frac{x}{y} \times \frac{x}{y} ...} _\text{ \(a\) facteurs } \qquad (avec \ y \neq 0) $$

De la même manière que plus haut,

$$ \left(\frac{x}{y} \right)^a = \hspace{0.2em} \underbrace {x \times x \times x\times x \times x...} _\text{ \(a\) facteurs } \ \times \ \underbrace {\frac{1}{y} \times \frac{1}{y} \times \frac{1}{y} \times \frac{1}{y} \times \frac{1}{y} ...} _\text{ \(a\) facteurs } $$
$$ \left(\frac{x}{y} \right)^a = x^a \times \frac{1}{y^a} $$

Soit,

$$ \left(\frac{x}{y} \right)^a = \frac{x^a}{y^a} $$

$$(avec \ y \neq 0)$$

3. Produit de puissances

$$ x^a \times x^b = \hspace{0.2em} \underbrace {x \times x \times x \times x \times x ...} _\text{ \(a\) facteurs } \times \hspace{0.2em} \underbrace {x \times x \times x \times x \times x ...} _\text{ \(b\) facteurs }$$
$$ x^a \times x^b = \hspace{0.2em} \underbrace {x \times x \times x \times x \times x ... \times \hspace{0.2em} x \times x \times x \times x \times x ...} _\text{ \((a+b)\) facteurs }$$

Soit,

$$ x^a \times x^b = x^{a+b} $$

4. La puissance zéro

Avec la formule précédente du produit de puissances, on a que :

$$ x^a \times x^0 = x^{a+0}$$
$$ x^a \times x^0 = x^{a}$$

En divisant tout par \( x^a \) :

$$ \frac{x^a}{\textcolor{#6187B2}{x^a}} \times x^0 = \frac{x^a}{\textcolor{#6187B2}{x^a}}$$

Soit,

$$ x^0 = 1 $$

5. L'inverse d'une puissance

De manière générale, on peut écrire que pour tout nombre \(x\) :

$$ x \times \frac{1}{x} = 1 \qquad (avec \ x \neq 0) $$

Cherchons un nombre \(\textcolor{#54915C}{n}\) correspondant à la puissance d'un inverse.

$$ x \times x^{\textcolor{#54915C}{n}} = 1 \qquad (1) $$

Avec les formules précédentes on a vu que :

$$ \Biggl \{ \begin{align*} x^a \times x^{b} = x^{a + b} \\ x^0 = 1 \end{align*}$$

En appliquant ces deux formules dans \((1)\), on obtient :

$$ x^{1+\textcolor{#54915C}{n}} = x^0 $$

On obtient l'équation :

$$ 1+\textcolor{#54915C}{n} = 0 \Longrightarrow \textcolor{#54915C}{n} = -1$$

Soit,

$$ x^{-1} = \frac{1}{x} $$

6. Puissance de puissance

$$ (x^a)^b = \hspace{0.2em} \underbrace { x^a \times x^a \times x^a \times x^a \times x^a ...} _\text{ \(b\) facteurs } $$
$$ (x^a)^b = \hspace{0.2em} \underbrace { \hspace{0.2em} \underbrace {x \times x \times x \times x \times x ...} _\text{ \(a\) facteurs } \ \times \ \underbrace {x \times x \times x \times x \times x ...} _\text{ \(a\) facteurs } \ \times \ \underbrace {x \times x \times x \times x \times x ...} _\text{ \(a\) facteurs } } _\text{ \(b \times a \) facteurs } $$
$$ (x^a)^b = \hspace{0.2em} \underbrace { x \times x \times x \times x \times x \times x \times x \times x \times x \times x \times x \times x \times x \times x... } _\text{ \(b \times a \) facteurs } $$

Et,

$$ (x^a)^b = x^{ab} $$

Le produit de nombres étant commutatif, on a aussi :

$$ (x^b)^a = x^{ab} $$

Soit,

$$ (x^a)^b = (x^b)^a = x^{ab} $$

7. Quotient de puissances

$$ \frac{x^a}{x^b} = \hspace{0.2em} \underbrace {x \times x \times x \times x \times x ...} _\text{ \(a\) facteurs } \times \hspace{0.2em} \underbrace {\frac{1}{x} \times \frac{1}{x} \times \frac{1}{x} \times \frac{1}{x} \times \frac{1}{x} ...} _\text{ \(b\) facteurs }$$

On réécrit les quotients sous forme de puissance :

$$ \frac{x^a}{x^b} = \hspace{0.2em} \underbrace {x \times x \times x \times x \times x ...} _\text{ \(a\) facteurs } \times \hspace{0.2em} \underbrace {x^{-1} \times x^{-1} \times x^{-1} \times x^{-1} \times x^{-1} ...} _\text{ \(b\) facteurs }$$

On réécrit les deux parties sous forme de puissance :

$$ \frac{x^a}{x^b} = \hspace{0.2em} x^a \times \hspace{0.2em} \left( x^{-1} \right)^b$$

Maintenant, on applique la formule de puissance de puissance :

$$ \frac{x^a}{x^b} = \hspace{0.2em} x^a \times \hspace{0.2em} x^{-b}$$

Enfin, on applique la formule du produit de puissances, et :

$$ \frac{x^a}{x^b} = x^{a-b} $$

8. Résumé des formules

$$ \forall (x, y) \in \hspace{0.05em}\mathbb{R}^2, \ \forall (a,b) \in \hspace{0.05em} \mathbb{N}^2, $$

Propriété	Condition	Formule
Puissance de produit	$$ $$	$$ (xy)^a = x^a y ^a $$
Puissance de quotient	$$ y \neq 0 $$	$$ \left( \frac{x}{y} \right)^a = \frac{x^a}{y^a} $$
Produit de puissances différentes	$$ $$	$$ x^a x^b = x^{a+b} $$
Quotient de puissances différentes	$$ x \neq 0 $$	$$ \frac{x^a}{x^b} = x^{a-b} $$
Puissance de puissance	$$ $$	$$ (x^a)^b = (x^b)^a = x^{ab} $$
Nombre à la puissance zéro	$$ x \neq 0 $$	$$ x^0 = 1 $$
Inverse	$$ x \neq 0 $$	$$\frac{1}{x} = x^{-1}$$
Inverse de puissance	$$ x \neq 0 $$	$$\frac{1}{x^a} = x^{-a}$$

Exemples :

L'écriture scientifique

1. Présentation

L'écriture scientifique va permettre de faire des calculs plus facilement :

• avec de très grands nombres (astrophysique)

• avec de très petits nombres (microbiologie, physique)




Dans cette écriture, on note un nombre sous forme de nombre à virgules, multiplié par une puissance de \(10\).

Exemple : \(1,8 \times 10^{7}\)




Ce nombre à virgules est toujours formé par :

• avant la virgule : un chiffre positif ou négatif \(c\) différent de \(0\), tel que

$$1 \leqslant | c | < 10 \qquad (avec \ c \in \mathbb{Z})$$

• après la virgule : autant de chiffres que l'on veut, en respectant la logique des chiffres significatifs (nombre de chiffres maximum indiquant le degré de précision du calcul).




Exemple : la distance Terre-lune.

$$D_{Terre-lune} = 384 \ 400 \ km$$

En écriture scientifique, on écrit :

$$D_{Terre-lune} = 3,384 \times 10 ^5 \ km$$

Maintenant, en utilisant les unités du système international \((S.I.)\), on écrit :

$$D_{[Terre-lune]} = 3,384 \times 10 ^8 \ m$$

2. Gestion des chiffres significatifs

La gestion des chiffres significatifs est différent selon les deux cas suivants.

1. Addtion/soustraction : \(+/-\)

Le résultat possèdera autant de chiffres après la virgule que la donnée qui en a le moins.

Exemple :

$$7,56 \times 10^3 + 4,5471 \times 10^2 $$

En gardant comme puissance commune \(10^2\) :

$$\Longleftrightarrow 75,6 \times 10^2 + 4,5471 \times 10^2 $$

$$= 80,1\textcolor{#AC6161}{471} \times 10^2 $$

$$= 80,1\times 10^2 $$

$$= 8,01\times 10^3 $$

2. Addtion/soustraction : \(+/-\)

Le résultat possèdera autant de chiffres significatifs que la donnée qui en a le moins.

Exemple :

$$3.197 \times 10^1 \times 7.14628 \times 10^{-3} $$

$$ =22,84\textcolor{#AC6161}{665716} \times 10^{-2} $$

$$ =22,84 \times 10^{-2} $$

$$ =2,284 \times 10^{-1} $$