Grâce au théorème de Pythagore, on a toujours la relation fondamentale :
$$cos^2(x) + sin^2(x) = 1 $$
Par ailleurs, les fonctions trigonométriques sont de manière générale des fonctions périodiques.
Définition
La fonction sinus est définie par :
$$f(x) = sin(x) $$
Elle est \(2 \pi - \)périodique.
Propriétés
Périodicité
$$sin(x + 2 \pi) = sin(x)$$
En fonction de \(\pi\)
$$sin(\pi + x) = - sin(x)$$
$$sin(\pi - x) = sin(x)$$
En fonction du \(\pi \over 2 \)
$$sin\left(\frac{ \pi}{2} + x \right) = cos(x)$$
$$sin\left(\frac{ \pi}{2} - x \right) = cos(x)$$
Fonction impaire
$$sin(-x) = - sin(x)$$
Linéarisation
$$sin(2\alpha) = 2sin(\alpha) cos(\alpha)$$
Linéarisation par la tangente
$$sin(2\alpha) = \frac{2tan(\alpha)}{1+tan^2(\alpha)}$$
Addition
$$sin(\alpha + \beta) = sin(\alpha) cos(\beta) + sin(\beta) cos(\alpha)$$
$$sin(\alpha \textcolor{#8E5B5B}{-} \beta) = sin(\alpha) cos(\beta) \textcolor{#8E5B5B}{-} sin(\beta) cos(\alpha)$$
Par ailleurs, en posant :
$$ \Biggl \{ \begin{align*} a = \alpha + \beta \\ b = \alpha - \beta \end{align*} $$
$$ sin(a ) + sin(b) = 2 sin\left(\frac{a+b}{2}\right) cos\left(\frac{a-b}{2}\right) $$
$$ sin(a ) - sin(b) = 2 cos\left(\frac{a+b}{2}\right) sin\left(\frac{a-b}{2}\right) $$
Définition
La fonction cosinus est définie par :
$$f(x) = cos(x) $$
Elle est \(2 \pi - \)périodique.
Propriétés
Périodicité
$$cos(x + 2 \pi) = cos(x)$$
En fonction de \(\pi\)
$$cos(\pi + x) = - cos(x)$$
$$cos(\pi - x) = - cos(x)$$
En fonction de \(\pi \over 2\)
$$cos\left(\frac{\pi}{2} + x \right) = - sin(x)$$
$$cos\left(\frac{\pi}{2} - x \right) = sin(x)$$
Fonction paire
$$cos(-x) = cos(x)$$
Linéarisation
$$ cos(2\alpha) = cos^2(\alpha) - sin^2(\alpha) $$
$$ cos(2\alpha) = 2cos^2(\alpha) - 1 $$
$$ cos(2\alpha) = 1 - 2sin^2(\alpha) $$
Linéarisation par la tangente
$$ cos(2\alpha) = \frac{1 - tan^2(\alpha)}{1 + tan^2(\alpha)} $$
Addition
$$ cos(\alpha + \beta) = cos(\alpha) cos(\beta) - sin(\alpha) sin(\beta)$$
$$ cos(\alpha \textcolor{#8E5B5B}{-} \beta) = cos(\alpha) cos(\beta) \textcolor{#8E5B5B}{+} sin(\alpha) sin(\beta)$$
Par ailleurs, en posant :
$$ \Biggl \{ \begin{align*} a = \alpha + \beta \\ b = \alpha - \beta \end{align*} $$
$$ cos(a ) + cos(b) = 2 cos\left(\frac{a+b}{2}\right) cos\left(\frac{a-b}{2}\right) $$
$$ cos(b ) - cos(a) = 2 sin\left(\frac{a+b}{2}\right) sin\left(\frac{a-b}{2}\right) $$
Définition
Lorsqu'on représente les sinus et cosinus sur le cercle, on s'aperçoit qu'avec le théorème de Thalès :
D'où :
$$tan(\theta) = \frac{sin(\theta)}{cos(\theta)} $$
Alors, la fonction tangente est définie par :
$$f(x) = tan(x) = \frac{sin(x)}{cos(x)}$$
Cette fonction est \(\pi - \)périodique.
Propriétés
Périodicité
$$tan(x + \pi) = tan(x)$$
En fonction de \(\pi\)
$$tan(\pi + x) = tan(x)$$
$$cos(\pi - x) = -tan(x)$$
En fonction de \(\pi \over 2\)
$$tan\left(\frac{\pi}{2} + x \right) = - \frac{1}{tan(x)}$$
$$tan\left(\frac{\pi}{2} - x \right) = \frac{1}{tan(x)} $$
Fonction impaire
$$tan(-x) = -tan(x)$$
Linéarisation
$$ tan(2\alpha) = \frac{2tan(\alpha)}{1 -tan^2(\alpha)} $$
Addition
$$ tan(\alpha + \beta) = \frac{tan(\alpha) + tan(\beta)}{ 1 - tan(\alpha)tan(\beta) }$$
$$ tan(\alpha \textcolor{#8E5B5B}{-} \beta) = \frac{tan(\alpha) \textcolor{#8E5B5B}{-} tan(\beta)}{ 1 \textcolor{#8E5B5B}{+} tan(\alpha)tan(\beta) }$$