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Les fonctions trigonométriques de référence

Grâce au théorème de Pythagore, on a toujours la relation fondamentale :

$$cos^2(x) + sin^2(x) = 1 $$


Par ailleurs, les fonctions trigonométriques sont de manière générale des fonctions périodiques.

Fonction sinus : \(f(x) = sin(x)\)

  1. Définition

    2. La fonction sinus est définie par :

    $$ \forall x \in \hspace{0.03em} \mathbb{R}, $$

    $$f(x) = sin(x) $$

    la fonction sinus : \(f(x) = sin(x)\)

    Elle est \(2 \pi - \)périodique.

  2. Propriétés

    3. $$ \forall x \in \hspace{0.03em} \mathbb{R}, $$

    1. Périodicité

      2. $$ \forall k \in \hspace{0.03em} \mathbb{Z}, $$

      $$sin(x + 2k \pi) = sin(x)$$

    2. En fonction de \(\pi\)

      3. $$sin(\pi + x) = - sin(x)$$

      $$sin(\pi - x) = sin(x)$$

    3. En fonction du \(\pi \over 2 \)

      4. $$sin\left(\frac{ \pi}{2} + x \right) = cos(x)$$

      $$sin\left(\frac{ \pi}{2} - x \right) = cos(x)$$

    4. Fonction impaire

      5. $$sin(-x) = - sin(x)$$

    5. Linéarisation

      6. $$ \forall \alpha \in \hspace{0.03em} \mathbb{R}, $$

      $$sin(2\alpha) = 2sin(\alpha) cos(\alpha)$$

    6. Linéarisation par la tangente

      7. $$ \forall \alpha \in \hspace{0.03em} \mathbb{R}, $$

      $$sin(2\alpha) = \frac{2tan(\alpha)}{1+tan^2(\alpha)}$$

    7. Addition

      8. $$ \forall (\alpha, \beta) \in \hspace{0.03em} \mathbb{R}^2, $$

      $$sin(\alpha + \beta) = sin(\alpha) cos(\beta) + sin(\beta) cos(\alpha)$$

      $$sin(\alpha \textcolor{#8E5B5B}{-} \beta) = sin(\alpha) cos(\beta) \textcolor{#8E5B5B}{-} sin(\beta) cos(\alpha)$$

      Par ailleurs, en posant :

      $$ \Biggl \{ \begin{align*} a = \alpha + \beta \\ b = \alpha - \beta \end{align*} $$

      $$ sin(a ) + sin(b) = 2 sin\left(\frac{a+b}{2}\right) cos\left(\frac{a-b}{2}\right) $$

      $$ sin(a ) - sin(b) = 2 cos\left(\frac{a+b}{2}\right) sin\left(\frac{a-b}{2}\right) $$


Fonction cosinus : \(f(x) = cos(x)\)

  1. Définition

    2. La fonction cosinus est définie par :

    $$ \forall x \in \hspace{0.03em} \mathbb{R}, $$

    $$f(x) = cos(x) $$

    la fonction cosinus : \(f(x) = cos(x)\)

    Elle est \(2 \pi - \)périodique.

  2. Propriétés

    3. $$ \forall x \in \hspace{0.03em} \mathbb{R}, $$

    1. Périodicité

      2. $$ \forall k \in \hspace{0.03em} \mathbb{Z}, $$

      $$cos(x + 2 k\pi) = cos(x)$$

    2. En fonction de \(\pi\)

      3. $$cos(\pi + x) = - cos(x)$$

      $$cos(\pi - x) = - cos(x)$$

    3. En fonction de \(\pi \over 2\)

      4. $$cos\left(\frac{\pi}{2} + x \right) = - sin(x)$$

      $$cos\left(\frac{\pi}{2} - x \right) = sin(x)$$

    4. Fonction paire

      5. $$cos(-x) = cos(x)$$

    5. Linéarisation

      6. $$ \forall \alpha \in \hspace{0.03em} \mathbb{R}, $$

      $$ cos(2\alpha) = cos^2(\alpha) - sin^2(\alpha) $$

      $$ cos(2\alpha) = 2cos^2(\alpha) - 1 $$

      $$ cos(2\alpha) = 1 - 2sin^2(\alpha) $$

    6. Linéarisation par la tangente

      7. $$ \forall \alpha \in \hspace{0.03em} \mathbb{R}, $$

      $$ cos(2\alpha) = \frac{1 - tan^2(\alpha)}{1 + tan^2(\alpha)} $$

    7. Addition

      8. $$ \forall (\alpha, \beta) \in \hspace{0.03em} \mathbb{R}^2, $$

      $$ cos(\alpha + \beta) = cos(\alpha) cos(\beta) - sin(\alpha) sin(\beta)$$

      $$ cos(\alpha \textcolor{#8E5B5B}{-} \beta) = cos(\alpha) cos(\beta) \textcolor{#8E5B5B}{+} sin(\alpha) sin(\beta)$$

      Par ailleurs, en posant :

      $$ \Biggl \{ \begin{align*} a = \alpha + \beta \\ b = \alpha - \beta \end{align*} $$

      $$ cos(a ) + cos(b) = 2 cos\left(\frac{a+b}{2}\right) cos\left(\frac{a-b}{2}\right) $$

      $$ cos(b ) - cos(a) = 2 sin\left(\frac{a+b}{2}\right) sin\left(\frac{a-b}{2}\right) $$


Fonction tangente : \(f(x) = tan(x)\)

  1. Définition

    2. Lorsqu'on représente les sinus et cosinus sur le cercle, on s'aperçoit qu'avec le théorème de Thalès :

    $$ \frac{sin(\theta)}{tan(\theta)} = \frac{cos(\theta)}{1} $$

    D'où :

    $$tan(\theta) = \frac{sin(\theta)}{cos(\theta)} $$

    Alors, la fonction tangente est définie par :

    $$\forall k \in \mathbb{Z}, \enspace \forall x \in \Bigl[ \mathbb{R} \hspace{0.2em} \backslash \left\{ \frac{\pi}{2} + k\pi \right\} \Bigr],$$

    $$f(x) = tan(x) = \frac{sin(x)}{cos(x)}$$

    la fonction tangente : \(f(x) = tan(x)\)

    Cette fonction est \(\pi - \)périodique.

  2. Propriétés

    3. $$ \forall x \in \hspace{0.03em} \mathbb{R}, $$

    1. Périodicité

      2. $$ \forall k \in \hspace{0.03em} \mathbb{Z}, $$

      $$tan(x + k\pi) = tan(x)$$

    2. En fonction de \(\pi\)

      3. $$tan(\pi + x) = tan(x)$$

      $$cos(\pi - x) = -tan(x)$$

    3. En fonction de \(\pi \over 2\)

      4. $$tan\left(\frac{\pi}{2} + x \right) = - \frac{1}{tan(x)}$$

      $$tan\left(\frac{\pi}{2} - x \right) = \frac{1}{tan(x)} $$

    4. Fonction impaire

      5. $$tan(-x) = -tan(x)$$

    5. Linéarisation

      6. $$ \forall k \in \mathbb{Z}, \enspace \forall \alpha \in \Biggl[ \mathbb{R} \hspace{0.2em} \backslash \left\{\frac{\pi}{4} + \frac{k\pi}{2} \right\} \Biggr], $$

      $$ tan(2\alpha) = \frac{2tan(\alpha)}{1 -tan^2(\alpha)} $$

    6. Addition

      7. $$\forall k \in \mathbb{Z}, \enspace \forall (\alpha, \beta) \in \Bigl[ \mathbb{R} \hspace{0.2em} \backslash \left\{ \frac{\pi}{2} + k\pi \right\} \Bigr]^2,$$

      $$ tan(\alpha + \beta) = \frac{tan(\alpha) + tan(\beta)}{ 1 - tan(\alpha)tan(\beta) }$$

      $$ tan(\alpha \textcolor{#8E5B5B}{-} \beta) = \frac{tan(\alpha) \textcolor{#8E5B5B}{-} tan(\beta)}{ 1 \textcolor{#8E5B5B}{+} tan(\alpha)tan(\beta) }$$

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