Les fonctions de référence (complément de premère-terminale)

Fonctions de type exponentielles : $f(x) = a^x$

Les fonctions de type exponentielles répondent à la définition générale :

$$ \forall a \in \hspace{0.05em} \mathbb{R}^*_+, \ \forall x \in \hspace{0.05em} \mathbb{R}, $$

$$f(x) = a^x $$

On appelle la fonction exponentielle (par abus de langage), la fonction de type exponentielle en base $e \ (e \approx 2.718)$.

$$ \forall x \in \hspace{0.05em} \mathbb{R}, $$

$$f(x) = e^x $$

Les fonctions de type logarithmes répondent à la définition générale :

$$ \forall a \in \hspace{0.05em} \mathbb{R}^*_+, \ \forall x \in \hspace{0.05em} \mathbb{R}^*_+, $$

$$ f(x) = log_a(x)$$

Ce sont les fonctions réciproques (symétriques par rapport à l'axe $(y = x)$) des fonctions de type exponentielles.

Elles retournent l'exposant d'une fonction exponentielle en base $ a$ :

$$log_a(a^X) = X$$

Exemple :

$$log_2(8) = log_2(2^3)= 3 $$

Mais tout comme :

$$a^{log_a(X)} = X$$

La fonction logarithme népérien (dit aussi logarithme naturel) est la fonction récproque de la fonction exponentielle $e^x$.

C'est un logarithme en base $e$.

$$ \forall x \in \hspace{0.05em} \mathbb{R}^*_+, $$

$$f(x) = ln(x) $$