Faire une division à la main

Pour faire une division à la main, on peut au fil de la division, garder un aspect visuel avec la division Euclidienne.

$$\textcolor{#6187B2}{a } $$	$$ b $$
$$ -b \textcolor{#4A8051}{q} $$	$$\textcolor{#4A8051}{q}$$
$$ = \textcolor{#A16632}{R}$$

Tant que $(\textcolor{#6187B2}{a} \geqslant b)$, on peut décortiquer $\textcolor{#6187B2}{a}$ comme ceci :

$$\textcolor{#6187B2}a = b \textcolor{#4A8051}{q} + \textcolor{#A16632}{ R }$$

$$ avec \enspace \left \{ \begin{gather*} \textcolor{#6187B2}{a = dividende } \\ b = diviseur\\ \textcolor{#4A8051}{q = quotient} \\ \textcolor{#A16632}{ R = reste, \ avec \ 0 \leqslant R < b } \end{gather*} \right \} $$

$$ (b \in \mathbb{N}^*, \ (a, q, R) \in \mathbb{N}^3)$$

Puisqu'on a le droit d'additionner des fractions avec le même dénominateur, c'est comme si on faisait :

$$ \frac{1 \ 754 \ 836}{12} =\frac{1 \ 000 \ 000}{12} + \frac{700 \ 000}{12} + \frac{50 \ 000}{12} + \frac{4 \ 000}{12} + \frac{800}{12} + \frac{30}{12} + \frac{6}{12}$$

Dans ce cas-ci, on va commencer par faire non pas $\frac{1 \ 000 \ 000}{12}$ mais directement $ \frac{1 \ 700 \ 000}{12} $.

$$ \hspace{0.8em } \overset{\frown}{\textcolor{#6187B2}{1 \ 7} }54 \ 836 $$	$$ 12 $$
$$ -1 \ 2\hspace{0.2em} . \hspace{0.04em} . \hspace{0.2em} \dots $$	$$\textcolor{#4A8051}{1}$$
$$ = \textcolor{#A16632}{5}54 \ 836$$

Au départ, on a (en centaines de milliers) :

$$\frac{17}{12} \Longrightarrow il \ y \ va \ 1 \ fois $$

Puis,

$$ \textcolor{#6187B2}{1 \ 700 \ 000} = 12 \times \textcolor{#4A8051}{100 \ 000} + \textcolor{#A16632}{R} $$

$$ \textcolor{#6187B2}{1 \ 700 \ 000} - 1 \ 200 \ 000 = \textcolor{#A16632}{R} $$

$$ \textcolor{#A16632}{R = 500 \ 000} $$

Il reste $500 \ 000$ à diviser par $12$, auquel on rajoute le reste encore à diviser.

$$ \hspace{0.8em } \overset{\frown}{\textcolor{#6187B2}{55} }4 \ 836 $$	$$ 12 $$
$$-48 \hspace{0.2em} . \hspace{0.2em} \dots $$	$$1\textcolor{#4A8051}{4}$$
$$ = \textcolor{#A16632}{7}4 \ 836$$

$$\frac{55}{12} \Longrightarrow il \ y \ va \ 4 \ fois $$

$$ \textcolor{#6187B2}{550 \ 000} = 12 \times \textcolor{#4A8051}{40 \ 000} + \textcolor{#A16632}{R} $$

$$ \textcolor{#6187B2}{550 \ 000} - 480 \ 000 = \textcolor{#A16632}{R} $$

$$ \textcolor{#A16632}{R = 70 \ 000} $$

$$ \hspace{0.8em } \overset{\frown}{\textcolor{#6187B2}{74 } \ }836 $$	$$ 12 $$
$$ -72 \hspace{0.2em} \dots $$	$$14 \textcolor{#4A8051}{6}$$
$$ = \textcolor{#A16632}{2}\ 836$$

$$\frac{72}{12} \Longrightarrow il \ y \ va \ 6 \ fois $$

$$\textcolor{#6187B2}{74\ 000} = 12 \times \textcolor{#4A8051}{6 \ 000} +\textcolor{#A16632}{R}$$

$$\textcolor{#6187B2}{74\ 000} - 72 \ 000 = \textcolor{#A16632}{R} $$

$$ \textcolor{#A16632}{R = 2 \ 000} $$

$$ \hspace{0.8em } \overset{\frown}{\textcolor{#6187B2}{2 \ 8 } }36 $$	$$ 12 $$
$$-2\ 4 \hspace{0.2em} . \hspace{0.03em} . $$	$$14 6 \ \textcolor{#4A8051}{2}$$
$$ = \textcolor{#A16632}{4}36$$

$$\frac{28}{12} \Longrightarrow il \ y \ va \ 2 \ fois $$

$$\textcolor{#6187B2}{2 \ 800} = 12 \times \textcolor{#4A8051}{200} + \textcolor{#A16632}{R} $$

$$\textcolor{#6187B2}{2 \ 800} - 2 \ 400 = \textcolor{#A16632}{R} $$

$$ \textcolor{#A16632}{R = 400} $$

$$ \hspace{0.8em } \overset{\frown}{\textcolor{#6187B2}{43} }6 $$	$$ 12 $$
$$ -36 \hspace{0.2em} . $$	$$146 \ 2 \textcolor{#4A8051}{3}$$
$$ = \textcolor{#A16632}{7}6$$

$$\frac{43}{12} \Longrightarrow il \ y \ va \ 3 \ fois $$

$$ \textcolor{#6187B2}{430} = 12 \times \textcolor{#4A8051}{30} + {\textcolor{#A16632}{R}} $$

$$ \textcolor{#6187B2}{430} - 360 = \textcolor{#A16632}{R} $$

$$ \textcolor{#A16632}{R = 70} $$

$$ \hspace{0.8em } \overset{\frown}{\textcolor{#6187B2}{76} } $$	$$ 12 $$
$$ -72$$	$$146 \ 23 \textcolor{#4A8051}{6}$$
$$ = \textcolor{#A16632}{4}$$

$$\frac{76}{12} \Longrightarrow il \ y \ va \ 6 \ fois $$

$$\textcolor{#6187B2}{76} = 12 \times \textcolor{#4A8051}{6} + \textcolor{#A16632}{R} $$

$$ \textcolor{#6187B2}{76} - 72 = \textcolor{#A16632}{R} $$

$$ \textcolor{#A16632}{R = 4} $$

Une fois qu'on ne plus diviser car le dividende est plus petit que le diviseur (ici $4 < 12 $), on passe en nombres décimaux.

On ajoute un $0$ à droite (résultat de $\times 10 $) pour compenser le fait que l'on divise par $10$ en déplaçant la virgule vers la gauche.

$$ \hspace{0.8em } \overset{\frown}{\textcolor{#6187B2}{40} } $$	$$ 12 $$
$$ -36$$	$$146 \ 236, \textcolor{#4A8051}{3}$$
$$ = \textcolor{#A16632}{4}$$

$$\frac{40}{12} \Longrightarrow il \ y \ va \ 3 \ fois $$

$$ \textcolor{#6187B2}{40} = 12 \times \textcolor{#4A8051}{3} + {\textcolor{#A16632}{R}} $$

$$\textcolor{#6187B2}{40} - 36 = \textcolor{#A16632}{R} $$

$$ \textcolor{#A16632}{R = 4} $$

Dans les faits, on ajoute bien $0,3$ et non pas $3$.

$$ 146 \ 236, 3 = 146 \ 236 + 0,3$$

On a déplacé la virgule vers la gauche mais on a multiplié par $10$ pour pouvoir continuer à jouer avec des nombres entiers, et pour avoir toujours $(a \geqslant b)$.

$$ \hspace{0.8em } \overset{\frown}{\textcolor{#6187B2}{40} } $$	$$ 12 $$
$$ -36$$	$$146 \ 236, 3\textcolor{#4A8051}{3}$$
$$ = \textcolor{#A16632}{4}$$

$$\frac{40}{12} \Longrightarrow il \ y \ va \ 3 \ fois $$

Cette division ne prendra jamais fin, car c'est le même reste qui revient indéfiniment.

En conclusion,

$$1 \ 754 \ 836 \div 12 = 146 \ 236, 333333...etc.$$

$$ \hspace{0.8em} \overset{\frown}{1 \ 7} 54 \ 836 $$	$$ 12 $$
$$ -1 \ 2\hspace{0.2em} . \hspace{0.03em} . \ \dots$$	$$146 \ 236, 333333...etc.$$
$$\hspace{0.2em} = \overset{\frown}{55}4 \ 836$$
$$ \hspace{0.1em} -48. \ \dots$$
$$ \hspace{0.6em} = \overset{\frown}{74} \ 836$$
$$ \hspace{0.6em} -72 \hspace{0.2em} \dots $$
$$ \hspace{0.6em} = \overset{\frown}{2 \ 8}36$$
$$ \hspace{0.6em} -2 \ 4 \hspace{0.2em} . \hspace{0.03em} . $$
$$ \hspace{1.4em} = \overset{\frown}{43}6$$
$$ \hspace{1.4em} -36 \hspace{0.2em} . $$
$$ \hspace{1.9em} = \overset{\frown}{76}$$
$$ \hspace{1.8em} -72 $$
$$\hspace{2.4em} = \overset{\frown}{4\textcolor{#6187B2}{0}}$$
$$ \hspace{2.4em} -36 $$
$$ \hspace{2.8em} = \overset{\frown}{4\textcolor{#6187B2}{0}}$$
$$\hspace{2.8em} -36 $$
$$ \hspace{3.3em} = \overset{\frown}{4\textcolor{#6187B2}{0}}$$
$$ \hspace{3em} ...etc. $$