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Éléments nécessaires à la démonstration

Une proposition logique

Une proposition logique est une affirmation, une phrase qui pose un certain contexte, et qui peut être soit vraie, soit fausse (voir le glossaire pour le détails des symboles).

Exemple : "\( ABC\) est un triangle rectangle en \( A\)"

Implication, contraposée, réciproque et équivalence

Soit deux propositions logiques \(A\) et \(B\).

On prendra comme exemple tout au long de l'explication, ces deux propositions :

- \(A\) : "il pleut"

- \(B\) : "je prends mon parapluie en sortant"

Implication

Une implication est le fait d'obtenir, à partir d'une proposition admise pour vraie par hypothèse \((A)\), une nouvelle proposition qui est vraie elle aussi \((B)\), comme conséquence de la précédente.

On écrit alors :

$$ A \Longrightarrow B \qquad (I_1)$$

pour signifier :

Exemple :"S'il pleut, alors je prends mon parapluie en sortant." \( \qquad (1) \)

Cette implication devient elle-même une nouvelle proposition, qui peut être de la même manière soit vraie, soit fausse.

Une implication est bien unilatérale, car dans le cas de l'exemple, le fait que quelqu'un me voit avec mon parapluie ne lui donne aucune indication sur le temps qu'il faisait lorsque je suis sorti. Je pourrais très bien l'avoir pris de même s'il faisait beau (au cas où il pleuvrait, comme c'est le cas plusieurs fois par jour en Bretagne...).

Pour construire la table logique suivante, une implication n'est fausse que si \(A\) est vraie et \(B\) est fausse.

Pour une implication, on dit que \(B\) est une condition nécessaire (mais non suffisante) à la réalisation de \(A\).

(il faut que....)

Proposition	$$ A $$	$$ B $$	$$ A \Longrightarrow B $$
États logiques

Contraposée

Une implication contraposée est une proposition qui découle logiquement d'une implication donnée.

En l'occurrence, l'implication précédente :

donne :

$$ non(B) \Longrightarrow non(A) \qquad (C_1) $$

Exemple :"S'il ne pleut pas, alors je ne prends pas mon parapluie en sortant." \( \qquad (2) \)

En effet, cette proposition est obligatoirement vraie car : si je n'ai pas pris mon parapluie, c'est nécessairement qu'il ne pleuvait pas, car si c'était le cas je l'aurai pris (grâce à \((1)\)).

De la même manière que précédemment, cette implication sera fausse que si \( non(B) \) est vraie et \(non(A)\) est fausse (c'est-à-dire si \(A\) est vraie).

On voit alors bien sur le tableau que c'est la même chose en soi.

On pourra alors, si cela est plus pratique, démontrer qu'une proposition est vraie en démontrant uniquement sa contraposée.

Proposition	$$ A $$	$$ B $$	$$ non(B) \Longrightarrow non(A) $$
États logiques

Réciproque

Une implication réciproque est la proposition inversée d'une proposition donnée.

En l'occurrence, l'implication précédente :

a comme réciproque :

$$ B \Longrightarrow A \qquad (I_2) $$

Exemple :"Si je prends mon parapluie en sortant, alors il pleut nécessairement." \( \qquad (3) \)

Bien entendu, comme la première implication avait sa contraposée, celle-ci l'a aussi.

On peut alors construire la table de vérité en se basant sur la première implication.

Proposition	$$ A $$	$$ B $$	$$ B \Longrightarrow A $$
États logiques

Équivalence

Une équivalence est la proposition résultante d'une implication et son implication réciproque.

En l'occurrence, l'implication précédente :

ayant pour réciproque :

donne l'équivalence :

$$ A \Longleftrightarrow B \qquad (E) $$

Exemple :"Le fait qu'il pleuve et le fait que je prenne mon parapluie en sortant sont deux choses identiques." \( \qquad (4) \)

On peut alors écrire que :

[(l'implication) et (son implication réciproque)] impliquent [une équivalence]

De plus, tout comme chaque implication a eu sa contraposée, en l'occurrence l'implication \((I_1)\) avait \((C_1)\) :

et l'implication \((I_2)\) avait \((C_2)\) :

Alors ces deux propositions sont aussi équivalentes, donc on a aussi "l'équivalence contraposée" :

Comme l'équivalence résulte du fait que l'implication et sa réciproque sont toutes les deux vraies, on a les états logiques suivants.

On voit nettement que lorsque deux propositions sont équivalentes, elles sont toujours dans le même état. Soit elles sont toutes les deux vraies, soit elles sont toutes les deux fausses.

Pour une équivalence, on parle alors pour \(A\) et pour \(B\) de condition nécessaire et suffisante à la réalisation de l'autre.

(il faut et il suffit que....)

Proposition	$$ A $$	$$ B $$	$$ A \Longleftrightarrow B $$
États logiques

Résumé des éléments nécéssaires à la démonstration

Exemple : Le théorème de Pythagore

"Dire que les deux plus petits côtés d'un triangles rectangle sont perpendiculaires équivaut à dire que la somme des carrés de ces deux plus petits côtés est égal au carré de l'hypoténuse."

Autrement dit, il n'y aura jamais l'un sans l'autre et réciproquement.

Les connecteurs logiques

Résumé des principaux connecteurs logiques

Proposition	$$ A $$	$$ B $$	$$ non(A) $$	$$ non(B) $$	$$ A \ et \ B $$	$$ A \ ou \ B $$	$$ A \Longrightarrow B $$	$$ B \Longrightarrow A $$	$$ A \Longleftrightarrow B $$
États logiques

Formulaire des combinaisons entre connecteurs logiques

1. Une implication équivaut à sa contraposée

$$ \Bigl[ A \Longrightarrow B \Bigr] \Longleftrightarrow \Bigl[ non(B ) \Longrightarrow non(A ) \Bigr] $$

$$ (implication \Longleftrightarrow contrapos\textit{é}e) $$

2. La négation : \(non(A)\)

$$ non \bigl(non(A) \bigr) \Longleftrightarrow A $$

$$ non \bigl(A \ ou \ B \bigr) \Longleftrightarrow non(A) \ et \ non(B) $$

$$ non \bigl(A \ et \ B \bigr) \Longleftrightarrow non(A) \ ou \ non(B) $$

3. Disjonction : \(A \ ou \ B\)

$$ (A \ ou \ B) \Longleftrightarrow (B \ ou \ A) \qquad(commutativit\textit{é})$$

$$ (A \ ou \ B) \ ou \ C \Longleftrightarrow A \ ou \ (B \ ou \ C) \qquad(associativit\textit{é})$$

$$ A \ ou \ (B \ et \ C) \Longleftrightarrow (A \ ou \ B) \ et \ (A \ ou \ C) \qquad(distributivit\textit{é})$$

4. Conjonction : \(A \ et \ B\)

$$ (A \ et \ B) \Longleftrightarrow (B \ et \ A) \qquad(commutativit\textit{é})$$

$$ (A \ et \ B) \ et \ C \Longleftrightarrow A \ et \ (B \ et \ C) \qquad(associativit\textit{é})$$

$$ A \ et \ (B \ ou \ C) \Longleftrightarrow (A \ et \ B) \ ou \ (A \ et \ C) \qquad(distributivit\textit{é})$$