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Dresser un tableau de signes

Pour fabriquer un tableau de signes, on doit d'abord obtenir une forme factorisée de l'inéquation à résoudre d'un côté, et $0$ de l'autre côté.

$$f_1 \times f_2 \hspace{0.03em} \times \hspace{0.03em} ... \hspace{0.03em} \times \hspace{0.03em} f_n \leqslant 0 \qquad (E)$$

$$f_1 \times f_2 \hspace{0.03em} \times \hspace{0.03em} ... \hspace{0.03em} \times \hspace{0.03em} f_n \geqslant 0 \qquad (E')$$

Résoudre $(E)$ revient à résoudre $(E')$, car lorsqu'on saura où l'expression est négative, le reste sera positif (n'ayant que deux choix possibles pour le signe) et vice-versa :

De manière générale, on souhaite observer le signe de la suite de facteurs $f_i$ de $i = 1$ jusque $n$ :

$$f_1 \times f_2 \hspace{0.03em} \times \hspace{0.03em} ... \hspace{0.03em} \times \hspace{0.03em} f_n $$

L'idéal pour les facteurs $(f_1, \ f_2, \ ...f_n)$ est de les avoir au plus sous forme d'expressions affines, pour pouvoir facilement déterminer leur signe :

$$\underbrace{(a_1 x + b_1)} _\text{$f_1$} \times \underbrace{(a_2 x + b_2)} _\text{$f_2$} \times \hspace{0.03em} \dots \hspace{0.03em} \times \underbrace{(a_n x + b_n)} _\text{$f_n$} \geqslant 0 \qquad (E')$$

Attention : certains facteurs peuvent être des constantes. On devra alors les rajouter dans le tableau de signes, et notamment s'ils sont négatifs.

Ensuite, on construit le tableau suivant avec tous les facteurs, et les valeurs respectives pour lesquelles elles s'annulent.

On résoud d'abord toutes les expressions affines, puis on les classe dans l'ordre croissant sur la première ligne (la droite des réels).

$$ x $$	$$ -\infty $$	$$ - \frac{b_1}{a_1} $$	$$ \hspace{3em}$$	$$ - \frac{b_2}{a_2} $$	$$ ...$$	$$ - \frac{b_n}{a_n} $$	$$ \hspace{3em}$$
$$ f_1 = a_1 \hspace{0.16em} x + b_1 $$	$$ -[signe \ de \ a_1] $$			$$ 0$$	$$ [signe \ de \ a_1] $$
$$ f_2 = a_2 \hspace{0.16em} x + b_2 $$	$$ -[signe \ de \ a_2] $$	$$ 0$$	$$ [signe \ de \ a_2] $$
$$... $$	$$ ...$$
$$ f_n = a_n \hspace{0.16em} x + b_n $$	$$ -[signe \ de \ a_n] $$					$$ 0$$	$$ [signe \ de \ a_n] $$
$$ f_1 \times f_2 \times ... \times f_n $$	$$ \Bigl [\textcolor{#54915C}{+} \ ou \ \textcolor{#B75F5F}{-} \Bigr]$$	$$0 $$	$$ \Bigl [\textcolor{#54915C}{+} \ ou \ \textcolor{#B75F5F}{-} \Bigr]$$	$$ 0 $$	$$ \Bigl [\textcolor{#54915C}{+} \ ou \ \textcolor{#B75F5F}{-} \Bigr]$$	$$ 0 $$	$$ \Bigl [\textcolor{#54915C}{+} \ ou \ \textcolor{#B75F5F}{-} \Bigr]$$

De manière générale, on cherche une solution $x_i$ pour chaque facteur affine :

$$\forall i \in [\![1, 2, ... n ]\!], $$

$$a_i \hspace{0.16em} x_i + b_i = 0 $$

$$ a_i \hspace{0.16em} x_i + b_i \textcolor{#54915C}{-b_i} = 0 \textcolor{#54915C}{-b_i} $$

$$ a_i \hspace{0.16em} x_i = - b_i $$

$$ \frac{a_i}{\textcolor{#54915C}{a_i}} \hspace{0.16em} x_i = - \frac{b_i}{\textcolor{#54915C}{a_i}}$$

$$x_i = - \frac{b_i}{a_i} $$

Exemples

Si l'on démarre de :

$$A(x) = (x+2)^2 - (1-3x)(x+2) $$

On factorise l'expression :

$$A(x) = (x+2)\Bigl[1-3x - (x+2) \Bigr] $$

$$A(x) = (x+2)(1-3x - x- 2 ) $$

$$A(x) = (x+2)(-4x-1 ) $$

Étudions maintenant le signe de $A$.

On cherche d'abord à trouver les racines de deux facteurs :

$$x + 2 = 0 $$

$$x = - 2 $$

$$-4x-1 = 0 $$

$$-4x = 1 $$

$$x = -\frac{1}{4} $$

Ensuite on fabrique le tableau :

$$ x $$	$$ -\infty $$	$$ -2 $$	$$ \hspace{3em}$$	$$ -\frac{1}{4} $$	$$ \hspace{3em}$$
$$x + 2 $$	$$ \textcolor{#B75F5F}{-} $$	$$ 0 $$	$$ \textcolor{#54915C}{+} $$	$$ \textcolor{#54915C}{+} $$	$$ \textcolor{#54915C}{+} $$
$$ -4x-1 $$	$$ \textcolor{#54915C}{+} $$	$$\textcolor{#54915C}{+} $$	$$\textcolor{#54915C}{+} $$	$$ 0$$	$$ \textcolor{#B75F5F}{-} $$
$$ A(x) = (x+2)(-4x-1) $$	$$ \textcolor{#B75F5F}{-} $$	$$ 0$$	$$ \textcolor{#54915C}{+} $$	$$ 0 $$	$$ \textcolor{#B75F5F}{-} $$

Les signes sont toujours soit :

si le nombre devant $x$ est positif : $ \hspace{1em} \left( \hspace{1em} \textcolor{#B75F5F}{-} \hspace{2em} 0 \hspace{2em} \textcolor{#54915C}{+} \hspace{1em} \right) $
si le nombre devant $x$ est négatif : $ \hspace{1em} \left( \hspace{1em} \textcolor{#54915C}{+} \hspace{2em} 0 \hspace{2em} \textcolor{#B75F5F}{-} \hspace{1em} \right) $

Si jamais on ne se souvient pas de l'ordre selon les cas, au lieu de trouver les racines uniquement, on résoud les sous-équations :

$$x + 2 \leqslant 0 $$

$$x \leqslant - 2 $$

Donc la première est négative avant $-2$, et positive après.

$$-4x-1 \leqslant 0 $$

$$-4x \leqslant 1 $$

$$x \geqslant -\frac{1}{4} $$

Et la seconde est négative après $-\frac{1}{4}$, et positive avant.

Et on obtient les solutions suivantes :

$$(partie \ n\textit{é}gative) $$

$$A(x) \leqslant 0 \Longleftrightarrow x \in \left[-2; \frac{3}{2} \right] $$

$$(partie \ positive) $$

$$A(x) \geqslant 0 \Longleftrightarrow x \in \Bigl]-\infty; -2 \Bigr] \cup \left[\frac{3}{2}; +\infty \right[ $$

Et on ouvre éventuellement les crochets vers l'extérieur si on cherche $(A < 0) $ (respectivement $(A > 0) $).