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Déterminer le sens de variations d'une suite

Soit une suite quelconque \((u_n)_{n \hspace{0.05em} \in \mathbb{N} }\).

Pour déterminer le sens de variations de cette suite, il y a deux façons :

• si la suite est exprimée de manière explicite uniquement : dans ce cas on pourra étudier les variations comme pour n'importe quelle fonction

• de manière générale : dans ce cas on pourra résoudre :

$$ u_{n+1} > u_n$$

Les suites explicites uniquement : \(u_n = f(n)\)

Tout comme pour l'étude de n'importe quelle fonction, on calcule d'abord la dérivée, puis on étudie le signe de la dérivée qui nous informe sur le sens de variations de la fonction d'étude.

Le cas général

De manière générale, et dans le cas où la suite \((u_n)\) est monotone, on doit résoudre :

Alors, deux cas sont possibles :

1. Étude du signe de \(\Delta u_n\)

À partir de l'inéquation \((1)\) :

$$ u_{n+1} > u_n \qquad(1) $$

En basculant \(u_n\) on obtient :

$$ u_{n+1} - u_n > 0 $$

On étudie alors le signe de \((\Delta u_n)\) :

$$ \Delta u_n = u_{n+1} - u_n \qquad (\Delta u_n) $$

Trois cas sont possibles selon le résultat :

$$ \Biggl \{ \begin{gather*} \textcolor{#5E864A}{ \Delta u_n > 0 \Longrightarrow u_{n+1} > u_n \Longrightarrow u_n \nearrow} \\ \Delta u_n = 0 \Longrightarrow u_{n+1} = u_n \Longrightarrow u_n \longrightarrow \\ \textcolor{#B36060}{\Delta u_n < 0 \Longrightarrow u_{n+1} < u_n \Longrightarrow u_n \searrow } \end{gather*} $$

Exemple :

En reprenant la même suite \((u_n)\) :

$$\forall n \geqslant 1, \hspace{2em} u_n = 1 - \frac{1}{n} $$

Alors,

$$ u_{n+1} = 1 - \frac{1}{n + 1} $$

Et :

$$ u_{n+1} - u_n = 1 - \frac{1}{n + 1} - \left( 1 - \frac{1}{n} \right) $$

On met d'abord tout sous forme de fraction :

$$ u_{n+1} - u_n = \frac{n+1}{n + 1} - \frac{1}{n + 1} - \left( \frac{n}{n} - \frac{1}{n} \right) $$

$$ u_{n+1} - u_n = \frac{n+1 -1}{n + 1} - \frac{n -1 }{n} $$

$$ u_{n+1} - u_n = \frac{n}{n + 1} - \frac{n -1 }{n}$$

Ensuite, on met au même dénominateur :

$$ u_{n+1} - u_n = \frac{n}{n + 1} \textcolor{#4A8051}{\times \frac{n}{n}} - \frac{n -1 }{n} \textcolor{#4A8051}{\times \frac{n + 1}{n + 1}} $$

$$ u_{n+1} - u_n = \frac{n^2}{n(n + 1)} - \frac{n^2 -1 }{n(n + 1)} $$

$$ u_{n+1} - u_n = \frac{n^2 - (n^2 - 1)}{n(n + 1)} $$

$$ u_{n+1} - u_n = \frac{n^2 - n^2 + 1}{n(n + 1)} $$

$$ u_{n+1} - u_n = \frac{1}{n(n + 1)} > 0 $$

(car \(n > 0\))

On obtient alors que :

$$ u_{n+1} - u_n > 0 \Longrightarrow u_{n+1} > u_n $$

On a bien vérifié par la deuxième méthode que la suite \((u_n)\) était strictement croissante.

2. Étude du rapport \( \Phi u_n \)

À partir de l'inéquation \((1)\) :

$$ u_{n+1} > u_n \qquad(1) $$

En divisant par \(u_n\) on obtient :

$$ \frac{u_{n+1}}{u_n} > 1 $$

On étudie alors le rapport \((\Phi u_n)\) :

$$ \Phi u_n = \frac{u_{n+1}}{u_n} \qquad (\Phi u_n) $$

Avant de diviser par \(u_n\) de part et d'autre de l'inéqation, il faut bien s'assurer que le signe du terme \(u_n\) soit le même pour tout \(n\).

$$ \Biggl \{ \begin{gather*} \textcolor{#5E864A}{ \Phi u_n > 1 \Longrightarrow u_{n+1} > u_n \Longrightarrow u_n \nearrow} \\ \Phi u_n = 1 \Longrightarrow u_{n+1} = u_n \Longrightarrow u_n \longrightarrow \\ \textcolor{#B36060}{\Phi u_n < 1 \Longrightarrow u_{n+1} < u_n \Longrightarrow u_n \searrow } \end{gather*} $$

Exemple :

En reprenant encore la même suite \((u_n)\) :

$$\forall n \geqslant 1, \hspace{2em} u_n = 1 - \frac{1}{n} $$

Alors, en arrageant les deux formules sous forme de quotient :

$$ u_n = 1 - \frac{1}{n} $$

$$ u_{n} = \frac{n}{n} - \frac{1}{n} $$

$$ u_{n} = \frac{n-1}{n} $$

$$ u_{n+1} = 1 - \frac{1}{n + 1} $$

$$ u_{n+1} = \frac{n+1}{n+1} - \frac{1}{n+1} $$

$$ u_{n+1} = \frac{n}{n+1} $$

$$ \frac{u_{n+1}}{u_n} = \frac{ \frac{n}{n+1} }{\frac{n-1}{n}} $$

On retourne le dénominateur pour obtenir une multiplication :

$$ \frac{u_{n+1}}{u_n} = \frac{n}{n+1} \times \frac{n}{n-1} $$

$$ \frac{u_{n+1}}{u_n} = \frac{n^2}{n^2 - 1} $$

On voit déjà que le dénominateur est inférieur au numérateur mais on peut faire :

$$ \frac{u_{n+1}}{u_n} = \frac{n^2 \textcolor{#4A8051}{ + 1 - 1} }{n^2 - 1} $$

Pour séparer la fraction en deux :

$$ \frac{u_{n+1}}{u_n} = \frac{n^2 - 1 }{n^2 - 1} + \frac{1 }{n^2 - 1} $$

$$ \frac{u_{n+1}}{u_n} = 1 + \frac{1 }{n^2 - 1} $$

Pour \((n \geqslant 1)\), le dénominateur \((n^2 - 1) \geqslant 0\). Alors, on a donc bien :

$$ \frac{u_{n+1}}{u_n} = 1 + \underbrace{\frac{1 }{n^2 - 1} } _\text{ \(\geqslant 0 \)} > 1 $$

On obtient alors que :

$$ \frac{u_{n+1}}{u_n} > 1 \Longrightarrow u_{n+1} > u_n $$

On a bien vérifié par la dernière méthode que la suite \((u_n)\) était strictement croissante.