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Déterminer le sens de variations d'une suite

Soit une suite quelconque \((u_n)_{n \hspace{0.05em} \in \mathbb{N} }\).

Pour déterminer le sens de variations de cette suite, il y a deux façons :

• si la suite est exprimée de manière explicite uniquement : dans ce cas on pourra étudier les variations comme pour n'importe quelle fonction

• de manière générale : dans ce cas on pourra résoudre :

$$ u_{n+1} > u_n$$

Les suites explicites uniquement : \(u_n = f(n)\)

Tout comme pour l'étude de n'importe quelle fonction, on calcule d'abord la dérivée, puis on étudie le signe de la dérivée qui nous informe sur le sens de variations de la fonction d'étude.

Le cas général

Dans ce cas-ci, on va pouvoir résoudre :

Deux cas sont possibles :

1. Cas 1 : Étude du signe de \(\Delta u_n\)

À partir de l'inéquation \((1)\) :

$$ u_{n+1} > u_n \qquad(1) $$

En basculant \(u_n\) on obtient :

$$ u_{n+1} - u_n > 0 \qquad (\Delta u_n) $$

Exemple :

$$ u_n = 2n $$

Alors,

$$ u_{n+1} = 2(n+1) $$

Et :

$$ u_{n+1} - u_n = 2(n+1) - 2n $$

$$ u_{n+1} - u_n = 2 $$

On obtient alors que :

$$ u_{n+1} - u_n > 0 \Longrightarrow u_{n+1} > u_n $$

Ce qui veut dire que la suite \((u_n)\) est strictement croissante.

2. Cas 2 : Étude du rapport \( \Phi u_n \)

À partir de l'inéquation \((1)\) :

$$ u_{n+1} > u_n \qquad(1) $$

En divisant par \(u_n\) on obtient :

$$ \frac{u_{n+1}}{u_n} > 1 \qquad(\Phi u_n) $$

Cela dit, dans ce cas-ci, il faut bien s'assurer que le signe du terme \(u_n\) soit connu pour tout \(n\).

Exemple :

$$ u_n = 2n $$

Alors,

$$ u_{n+1} = 2(n+1) $$

Et :

$$ \frac{u_{n+1}}{u_n} = \frac{2(n+1)}{2n} $$

\((n > 0)\) donc on a bien \((2n > 0)\)

$$ \frac{u_{n+1}}{u_n} = 1 + \frac{1}{n} $$

On obtient alors que :

$$ \frac{u_{n+1}}{u_n} > 0 \Longrightarrow \frac{u_{n+1}}{u_n} > 1 \Longrightarrow u_{n+1} > u_n $$

On a bien vérifié par la seconde méthode que \((u_n)\) est strictement croissante.