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Définition de la dérivée

La dérivée est un classique des mathématiques, elle permet d'observer les tendances d'une variations, et notamment de manière infinitésimale.

Cette notion sous-tend beaucoup de concepts introduits en physique, où on dérive par rapport au temps écoulé :

la vitesse instantée (dérivée de la position $x(t)$) : $v(t) = \frac{d x(t)}{dt}$
l'accélération (dérivée de la vitesse $v(t)$) : $a(t) = \frac{d v(t)}{dt}$
la puissance instantanée (dérivée de l'énergie $E(t)$) : $P(t) = \frac{d E(t)}{dt}$
...etc.

La fonction dérivée : $f'(x)$

Soit une fonction $f$ et définie sur un intervalle $\mathcal{D}_f$.

Sa fonction dérivée $f'$, est une fonction qui va donner des indications sur les variations de cette fonction de départ.

Plus précisément, c'est la limite d'un taux de variations (ou pente), lorsque celui-ci tend vers une valeur infinitésimale.

Voici en détail en trois étapes :

Étape 1 : on démarre d'une pente (taux de variations) entre deux points :

$$pente = \frac{\Delta y}{\Delta x} \Longleftrightarrow pente = \frac{f(x+h) - f(x)}{h} $$

Étape 2 : on rétrécie le pas petit à petit...

Étape 3 : on rétrécie le pas jusqu'à obtenir un pas $h$ infinitésimal en passant à la limite :

Finalement, on arrive à la définition d'une dérivée :

« ... la limite du taux de variation lorsque cette variation devient infinitésimale ... »

$$ \frac{d f_x}{d x} = lim_{\Delta x \to 0} \enspace \frac{\Delta f(x)}{\Delta x} \qquad (notation \ de \ Leibniz) $$

Soit en écriture plus moderne :

$$ f'(x) = lim_{h \to 0} \enspace \frac{f(x+h) - f(x)}{h} \qquad (notation \ de \ Lagrange)$$

La fonction dérivée est alors une expression de la valeur de la pente de la droite tangente à la courbe en tout point $x$.

Par la suite, l'on prendra un point $a$ fixe, on calculera alors un nombre dérivé en ce point particulier.

Le nombre dérivé en un point $a$ : $f'(a)$

Le nombre dérivé $f'(a)$ en un point $a$, est la valeur de la pente de la tangente à la courbe de $f$, prise au point d'abscisse $(x=a)$.

nombre dérivée au point d'abscisse $(x=a)$

On obtient alors une équation affine au point d'abscisse $(x=a)$ :

$$ T_a(x) = f'(a)x + b$$

avec un nombre $b$ à déterminer.

La dérivabilité

On dit qu'une fonction est dérivable en un point fixe $a$, si et seulement si le calcul de sa dérivée en ce point, existe et est un nombre réel.

$$ f \ d\textit{é}rivable \ en \ a \Longleftrightarrow f'(a) \in \mathbb{R}$$

Une fonction dérivée est alors définie sur un intervalle $I$, partout là où ce nombre dérivé existe.

Équation de la tangente à la courbe de $f$ un point $a$ : $T_a(x)$

Pour déterminer l'équation de la tangente à la courbe de $f$ au point $a$, on prend un point au hasard d'abscisse inconnue $x$, et on applique la formule de la pente :

$$pente = \frac{\Delta y}{\Delta x} \Longleftrightarrow pente = \frac{T_a(x) - f(a)}{x-a} $$

Mais, on a vu plus haut que la pente est le nombre dérivée en $a$ : $f'(a)$. Alors, on obtient :

$$f'(a) = \frac{T_a(x) - f(a)}{x-a} $$

$$f'(a)(x-a) = T_a(x) - f(a) $$

$$f'(a)(x-a) + f(a) = T_a(x) $$

Enfin, la tangente de la courbe de $f$ au point $(x=a)$ vaut :

$$T_a(x) = f'(a)(x-a) + f(a) $$