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Lorsqu'on travaille sur des conversions, il est toujours préférable de travailler avec l'écriture scientifique, pour pouvoir jouer avec les puissances de \(10\) qui facilitent grandement la tâche.
Et notamment ces deux formules :
$$10^a \times \ 10^b = 10^{a+b}$$
$$ \frac{10^a}{10^b} = 10^{a-b}$$
En utilisant plutôt la notation \( \times 10^{-3}\) plutôt que \( \div 1000\).
Il peut être utile de différencier :
- l'écriture littéraire : \(110 \ km / h\).
- de l'écriture pratique, écrite entre crochets qui servent à manipuler les unités et effectuer des conversions : \(110 \ \frac{[km]}{[h]} \).
Lorsqu'on effectue des conversions, il est primordial de conserver une cohérence des unités entre elles, au numérateur et au dénominateur.
Exemple :
Le produit en croix s'utilise lorsqu'on doit conserver un rapport de proportion.
La plupart des conversions sont proportionnelles (fonctions linéraires), mais certaines, comme celle entre le degré Celsius vers le degré Farenheit ne le sont pas ; elles sont de type affines.
En utilisant le produit en croix, on s'arrange pour avoir toujours trois valeurs connues sur les quatre.
Exemple :
$$ \Biggl \{ \begin{gather*} 1 \ \Bigl[ ha \Bigr] = 10 \ 000 \ \Bigl[m^2 \Bigr] \\ 25 \ \Bigl[ha \Bigr] = \textcolor{#54915C}{X} \ \Bigl[m^2 \Bigr] \end{gather*}$$
On a bien une cohérence des unités.
Les crochets vont se comporter comme des nombres, c'est-à-dire qu'on va pouvoir les faire circuler (en diagonale) et les simplifier comme des facteurs.
Par ailleurs, dans les crochets on va pouvoir faire entrer et sortir les constantes.
Exemple :
On va pouvoir faire sortir la constante des crochets :
Une fois la conversion effectuée, on peut repasser en écriture littéraire.
$$ \Longrightarrow 100 \ km = 100 \ 000 \ m $$
Lorsque l'on a non pas une, mais deux conversions (ou plus) simultanées à effectuer et que :
l'une est au numérateur
l'autre est au dénominateur
On va plutôt le faire en trois étapes :
poser le problème
effectuer chaque conversion indépendamment
injecter les conversions effectuées dans les anciennes unités
Exemple : convertir \(110 \ km/h\) en \(m/s\)
On pose le problème :
On effectue les deux conversions :
$$\Biggl \{ \begin{gather*} 1 \ \Bigl[km\Bigr] = \ ? \ \Bigl[m\Bigr] \\ 1 \ \Bigl[h\Bigr] = \ ? \ \Bigl[s\Bigr] \end{gather*} $$
Ces conversions donnent :
$$\Biggl \{ \begin{gather*} 1 \ \Bigl[km\Bigr] = \ 1 \ 000 \ \Bigl[m\Bigr] \\ 1 \ \Bigl[h\Bigr] = \ 3 \ 600 \ \Bigl[s\Bigr] \end{gather*} $$
On remplace les valeurs trouvées dans l'unité précédente :
Il ne reste plus qu'à réordonner et faire le calcul :
Soit au final,
$$110 \ km/h \approx 30.5 \ m/s$$
Unités d'usage
|
Préfixe |
kilo |
hecto |
déca |
(unité) |
déci |
centi |
milli |
|---|---|---|---|---|---|---|---|
|
Équivalent |
$$\times 1000$$
|
$$\times 100$$
|
$$\times 10$$
|
$$1$$
|
$$\div 10$$
|
$$\div 100$$
|
$$\div 1000$$
|
|
Équivalent en \(10^x\) |
$$\times 10^3$$
|
$$\times 10^2$$
|
$$\times 10$$
|
$$1$$
|
$$ \times 10^{-1}$$
|
$$ \times 10^{-2}$$
|
$$\times 10^{-3}$$
|
Exemple :
Et donc :
On préférera souvent utiliser l'écriture scientifique :
Autres unités
|
Préfixe |
peta (P) |
tera (T) |
giga (G) |
mega (M) |
(unité) |
micro (\(\mu\)) |
nano (n) |
pico (p) |
femto (f) |
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
|
Équivalent en \(10^x\) |
$$\times 10^{15}$$
|
$$\times 10^{12}$$
|
$$\times 10^9$$
|
$$\times 10^6$$
|
$$1$$
|
$$ \times 10^{-6}$$
|
$$ \times 10^{-9}$$
|
$$ \times 10^{-12}$$
|
$$ \times 10^{-15}$$
|
|
Mesure |
Unité \((SI)\) |
Autres unités |
|
|---|---|---|---|
|
Longueur |
mètre \((m)\) |
mile \((mi)\) |
feet \((ft)\) |
|
$$\Longleftrightarrow$$
|
$$1 \ 609.34 \ [m] = 1 \ [mi]$$
|
$$1 \ [ft] = 0.3048 \ [m]$$
|
|
|
Surface |
mètre carré \((m^2)\) |
hectare \((ha)\) |
|
|
$$\Longleftrightarrow$$
|
$$1 \ [ha] = 10 \ 000 \ [m^2] $$
|
||
|
Volume |
mètre cube \((m^3)\) |
litre \((L)\) |
US gallon \((gal)\) |
|
$$\Longleftrightarrow$$
|
$$1 \ [m^3] = 1 \ 000 \ [L] $$
|
$$1 \ [gal] = 3.78541 \ [L] $$
|
|
|
Temps |
seconde \((s)\) |
minute \((min)\) |
heure \((h)\) |
|
$$\Longleftrightarrow$$
|
$$1 \ [min] = 60 \ [s]$$
|
$$1 \ [h] = 3600 \ [s]$$
|
|
|
Masse |
kilogramme \((kg)\) |
livre \((lb)\) |
once \((oz)\) |
|
$$\Longleftrightarrow$$
|
$$1 \ [kg] = 2.2062 \ [lb]$$
|
$$1 \ [kg] = 35.2874 \ [oz]$$
|
|
|
Température |
degré Kelvin \((°K)\) |
degré Celsius \((°C)\) |
degré Farenheit \((°F)\) |
|
$$\Longleftrightarrow$$
|
$$T \ [°C] = T \ [°K] - 273 $$
|
$$T \ [°F] = \Bigl(T \ [°K] - 273 \Bigr) \times \frac{9}{5} + 32$$
|
|
|
Angle |
radian \((rad)\) |
degré \((°)\) |
gradian \((g)\) |
|
$$\Longleftrightarrow$$
|
$$\pi \ [rad] = 180 \ [°]$$
|
$$\pi \ [rad] = 200 \ [g]$$
|
|
|
Énergie |
Joule \((J)\) |
kiloWatt-heure \((kWh)\) |
kiloCalorie \((kCal)\) |
|
$$\Longleftrightarrow$$
|
$$1 \ [kWh] = 3.6 \times 10^6 \ [J]$$
|
$$1 \ [kCal] = 4184 \ [J]$$
|
Dance tableau, seul la témpérature n'est pas une fonction linéaire, mais affine. On ne pourra donc pas utiliser de produit en croix pour cette conversion.