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Appliquer et calculer un taux d'évolution (à l'aide de pourcentages)

Un pourcentage

Un pourcentage est la représentation d'une proportion, il est souvent entre $0$ et $1$ mais pas tout le temps.

Cette proportion est ramenée en comparaison à $100$ pour rendre les choses plus parlantes pour le commun des mortels.

On notera de manière littéraire $X \ \%$, mais mathématiquement cela vaut $\frac{X}{100}$.

Exemple 1 : le taux de $TVA$

Un taux de $TVA$ à $19.6 \ \%$ va donc, dans les calculs, se matérialiser par :

$$t_{tva} = \frac{19.6}{100} = 0.196$$

Exemple 2 : une proportion exprimée en fractions

Une proportion exprimée en fractions, comme $\frac{3}{17}$, ne parle à personne. En revanche, en pourcentage elle sera représentée par :

$$\frac{3}{17} \approx 17.6 \ \%$$

Attention, un pourcentage peut être aussi supérieur à $1$.

À chaque fois que l'on travaille avec les pourcentages, il faut toujours savoir si :

on s'exprime déjà en pourcentage $(23 \%)$
on s'exprime en nombre réel $(0.23)$

Calculer un pourcentage

Un pourcentage se calcule en prenant la portion de ce que l'on veut représenter sur le total.

$$p \ [\%] = \frac{portion}{total} \times 100 $$

Exemple : $13$ élèves sur $36$ ont eu la moyenne.

Cela représente une pourcentage de :

$$p = 36.1 \ \% $$

Appliquer un pourcentage à une valeur

Soient $V_D$ la valeur de départ et $V_A$ la valeur d'arrivée.

Pour appliquer un certain pourcentage $p$ à la notre valeur de départ, on fait :

$$V_A = V_D \times \frac{p}{100} $$

Exemple : $25\%$ sur les $36$ élèves d'une classe font du basket.

$$ 36 \times \frac{25}{100} = 9 \ \textit{é}l\textit{è}ves$$

Calculer une évolution à l'aide d'un taux

Évolution simple

Augmentation : $\nearrow$

Dans le cas d'une augmentation, on veut non seulement appliquer un taux d'augmentation $t$ (en pourcentage) à une valeur de départ, mais on souhaite aussi l'ajouter à cette dernière :

$$V_A = V_D + V_D \times \frac{t}{100} $$

En factorisant par $V_D$, on obtient :

$$V_A = V_D \times \left(1+\frac{t}{100} \right) $$

Maintenant, en mettant au même dénominateur :

$$V_A = V_D \times \left(\frac{100}{100}+\frac{t}{100} \right) $$

$$V_A = V_D \times \frac{100+t}{100} \qquad(\ \nearrow \ )$$

Diminution : $\searrow$

Dans le cas d'une diminution, on a l'équivalent avec un signe $(-)$ :

$$V_A = V_D \times \frac{100-t}{100} \qquad(\ \searrow \ ) $$

Exemple : une réduction de $25\%$ revient à multiplier par $75\%$.

Évolutions répétitives

Augmentation : $\nearrow$

Si l'on considère une augmentation avec un certain taux $t$ (en pourcentage) , qui se répète de la même manière chaque année, on a pour la première année $V_1$ :

$$\textcolor{#6187B2}{V_1} = V_0 \times \frac{100+t}{100} \qquad(1) $$

Pour la deuxième année :

$$V_2 = \textcolor{#6187B2}{V_1} \times \frac{100+t}{100} \qquad(2) $$

$\textcolor{#6187B2}{V_1}$ étant présente dans les deux équations, il est possible de réinjecter sa valeur de $(1)$ dans $(2)$ :

$$V_2 = V_0 \times \frac{100+t}{100} \times \frac{100+t}{100} $$

$$V_2 = V_0 \times \left( \frac{100+t}{100} \right)^2 $$

Idem, pour la troisième année, on aura aussi avec la même réaction en chaîne :

$$V_3 = V_0 \times \left( \frac{100+t}{100} \right)^3 $$

...et finalement, à la $n$-ième année on aura une valeur finale :

$$V_n = V_0 \times \left( \frac{100+t}{100} \right)^n \qquad(\ \nearrow \ )$$

Diminution : $\searrow$

Dans le cas de diminutions successives, on a l'équivalent avec un signe $(-)$ :

$$V_n = V_0 \times \left( \frac{100-t}{100} \right)^n \qquad(\ \searrow \ ) $$

Évolutions successives

Lorsque l'on a des évolutions successives mais différentes, effectuer la multiplication générale en une fois équivaut à effectuer les multiplications successives. Comme ici chaque évolution est différente, cela peut être aussi bien une agmentation qu'une diminution ou encore une constance.

Si on considère des taux d'évolution (pris au hasard pour l'exemple) respectifs $(t_1,t_2,t_3...t_n)$ pour les années $(1,2,3...n)$ :

$$\textcolor{#6187B2}{V_1} = V_0 \times \left( \frac{100\textcolor{#8bb18f98}{+} t_1}{100} \right) \qquad(\ \nearrow \ )$$

$$V_2 = \textcolor{#6187B2}{V_1} \times \left( \frac{100\textcolor{#8B6969} {-}t_2}{100} \right) \qquad(\ \searrow \ ) $$

On réinjecte $\textcolor{#6187B2}{V_1}$ comme précédemment :

$$V_2 = \hspace{0.03em}\underbrace{V_0 \times \left( \frac{100\textcolor{#8bb18f98}{+}t_1}{100} \right) } _\text{$\textcolor{#6187B2}{V_1}$} \times \left( \frac{100\textcolor{#8B6969} {-}t_2}{100} \right)$$

...etc. jusque l'année $n$ où :

$$V_n = V_0 \times\underbrace{ \left( \frac{100\textcolor{#8bb18f98}{+}t_1}{100} \right) } _\text{$C_1$} \times \underbrace{ \left( \frac{100\textcolor{#8B6969} {-}t_2}{100} \right) } _\text{$C_2$} \hspace{0.03em} \hspace{0.03em} \times ... \times \underbrace{ \left( \frac{100 \pm t_n}{100} \right) } _\text{$C_n$}$$

$$V_n = V_0 \times\underbrace{ C_1 \times C_2 \hspace{0.03em} \times ... \times C_n } _\text{$C_g$}$$

En effectuant la multiplication successive des coefficients d'évolution, on peut obtenir un coefficient global d'évolution $C_g$ :

$$C_g = C_1 \times C_2 \hspace{0.03em} \times ... \times C_n $$

Calculer un taux d'évolution

À l'inverse du cas précédent, lorsque l'on a cette fois des valeurs de départ $V_D$ et d'arrivée $V_A$, on peut calculer un taux d'évolution $\tau$ (en pourcentage).

Pour çà, on compare la différence entre les deux valeurs, comparée à ce qu'elle était au départ :

$$\tau =\frac{V_A - V_D}{V_D} \times 100 \qquad \bigl[\% \bigr] $$

dans le cas d'une augmentation :

$$V_A > V_D \Longrightarrow (V_A - V_D) > 0 \Longrightarrow \textcolor{#8bb18f98} {\tau \ est \ (+)} \qquad ( \ \nearrow \ )$$
dans le cas d'une diminution :

$$V_A < V_D \Longrightarrow (V_A - V_D) < 0 \Longrightarrow \textcolor{#8B6969} {\tau \ est \ (-)} \qquad ( \ \searrow \ )$$

Exemples

l'évolution d'une population

Une population de départ $P_0$ subit une diminution de $4\%$ par an pendant trois ans.

Calculer l'évolution

À l'issue des trois ans, la population sera de :

$$P_3 = P_0 \times \left( \frac{100-4}{100} \right)^3 $$

$$P_3 = P_0 \times \left( \frac{96}{100} \right)^3 $$

$$P_3 = P_0 \times 0.96^3 $$

$$P_3 \approx P_0 \times 0.884 $$

$$ \Longrightarrow P_3 \approx P_0 \times 88.4 \% $$

Calculer le taux d'évolution

Calculons le taux d'évolution généralesubit sur ces trois années.

On était déjà sur une valeur approchée, donc on va continuer avec une signe d'approximation.

$$\tau \approx\frac{V_A - V_D}{V_D} \times 100 $$

$$\tau \approx\frac{P_0 \times 0.884 - P_0}{P_0} \times 100 $$

On factorise par $P_0$ :

$$\tau \approx\frac{P_0 \times (1-0.884)}{P_0} \times 100 $$

On simplifie par $P_0$ :

$$\tau \approx\frac{\cancel{P_0} \times (1-0.884)}{\cancel{P_0}} \times 100 $$

$$\tau \approx 11.6 \% $$

Au bout des trois ans, la population initiale aura vue sa population diminuer d'environ $11.6 \%$.

Astuce : On aurait pu le voir directement avec le résultat précédent car multiplier par $88.4 \%$ revient à une diminution de $11.6 \%$ (voir plus haut sur la calcul d'une évolution).

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