La continuité d'une fonction

Soit une fonction $f : x \longmapsto f(x) $ définie sur un intervalle $I$, ainsi qu'un point $ (x = a) $ appartenant à $I$.

On dit que $f$ est continue en un point $a$, si et seulement si elle admet comme limite en ce même point son image par $f$.

$$ f \ est \ continue \ en \ (x=a) \Longleftrightarrow \lim_{x \to a} f(x) = f(a) $$

Par ailleurs, on dit que $f$ est continue sur un intervalle, si et seulement si elle est définie en tout point de cet intervalle.

Propriétés d'une fonction continue

La somme, le produit ou la composée de fonctions continues est une fonction continue

L'inverse d'une fonction continue (si elle ne s'annule pas) est une fonction continue

Le théorème de valeurs intermédiaires (TVI)

Soit une fonction $f : x \longmapsto f(x) $ définie sur un intervalle $I = \bigl[a, b \bigr]$.

S'il existe un réel $k$ tel que : $f(a) \leqslant k \leqslant f(b)$, alors $k$ admet au moins un antécédent $\alpha_0$ tel que : $ a \leqslant \alpha_0 \leqslant b $.