T^le Sciences et Techniques de l'Agronomie et du Vivant

Entraînement sur les suites arithmétiques et géométriques (détermination de la nature, calcul de sommes)

(exercices type pour l'évaluation régulière)

Analyse

Fonctions de référence

Cours

Les fonctions de référence (jusqu'en seconde)
: \(x^2, x^3, \sqrt{x}, \frac{1}{x}...etc.\)

Les fonctions de référence (complément de première-terminale) : \(e^x, ln(x)...etc.\)

Activités

Activités sur les puissances et logarithmes :'évolution de la population, gamme tempérée \( : P_3 = P_0 \times (1-t)^3 \)
Activité sur les fonctions du second degré : champ à surface variable

Exercices

Exercices d'entraînement à la résolution d'équations générales

Méthodes

Isoler une variable \(X\)
Formules de puissances et écriture scientifique : \( x^a \times x^b = x^{a+b} \)
Manipuler les formules de puissances \( : a^{-n} = \left(a^{-1} \right)^{n} = \left(a^{n} \right)^{-1} \)
Résoudre une équation du second degré : \(aX^2 + bX + c = 0\)
Reconnaître un décalage de fonction : \(g(x) = f(x-a) + b\)

Dérivées

Cours

Définition de la dérivée : \(f'(x) = lim_{h \to 0} \enspace \frac{f(x+h) - f(x)}{h}\)

Activités

Exercices

Exercices d'entraînement aux calculs de dérivées

Méthodes

Méthodes de calcul d'une dérivée : \((x^n)' = n \ x^{n-1}\)
Méthode générale pour l'étude d'une fonction (variations, convexité) : \( f' \geqslant 0 \Longleftrightarrow f \nearrow\)

Méthodes d'ajustement affine

Activités

Activité sur les regressions linéaires : le taux de nitrates dans l'eau d'une rivière

Méthodes

Faire un régression linéaire : \( f(x) = \frac{covar(X, \ Y)}{var(X)} x \ + \Bigl[ \bar{y} - a \bar{x} \Bigr] \)

Suites

Nature et sens de variations des suites

Exercices

Méthodes

Déterminer le sens de variations d'une suite : \( u_{n+1} - u_n > 0 \hspace{1em} / \hspace{1em} \frac{u_{n+1}}{u_n} > 1 \)

Suites récurrentes

Activités

La suite de Fibonacci et le nombre d'or \( : \phi^2 = \phi + 1 \)

Exercices

Méthodes

Le raisonnement par récurrence : \( \Bigl[ P_0 \land (P_n \Longrightarrow P_{n+1}) \Bigr] \Longrightarrow \Bigl[ \forall n \geqslant n_0, \ P_n \Bigr] \)

Suites arithmétiques et géométriques

Cours

Les suites arithmétiques et géométriques : \( u_n = u_0 + nr \hspace{1em} / \hspace{1em} v_n = v_0 \ q^n \)

Activités

L'évolution de naissances d'animaux \( : L_n = L_1 + nr \)
Le prêt immobilier à annuités constantes \( : K_1 = K_0 \times (1+t) \)

Exercices

Méthodes

Méthodes de calcul de la somme des termes d'une suite arithmétique ou géométrique : \( {\displaystyle \sum_{k =a}^n (u_0 + kr)} \hspace{1em} / \hspace{1em} {\displaystyle \sum_{k =a}^n (v_0 \ q^n)} \)

Méthodes diverses

Règles générales de calculs (sans calculatrice) : \( a^2 - b^2 = (a+b)(a-b) \)
Convertir des unités : \(1 \ km^2 = 10^6 \ m^2\)
Dresser un tableau de signes : \( (a_1 x + b_1)(a_2 x + b_2) ...\leqslant 0\)