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Exercices de type problème sur les vecteurs

Application de la relation de Chasles

Soient deux vecteurs \((\overrightarrow{AB}, \ \overrightarrow{CD})\).

1. Démontrer que :

$$\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{CD} = \overrightarrow{AD} + \overrightarrow{CB} $$
$$\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{CD} = \overrightarrow{AD} + \overrightarrow{DB} + \overrightarrow{CB} + \overrightarrow{BD}$$
$$\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{CD} = \overrightarrow{AD} + \overrightarrow{CB} + \underbrace{ \overrightarrow{DB}+ \overrightarrow{BD} } _\text{ \(=\overrightarrow{0}\)}$$
$$\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{CD} = \overrightarrow{AD} + \overrightarrow{CB}$$

2. Démontrer que :

$$\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{CD} = \overrightarrow{AC} + \overrightarrow{BD} -2\overrightarrow{BC} $$
$$\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{CD} = \overrightarrow{AC} + \overrightarrow{CB} + \overrightarrow{CB} + \overrightarrow{BD}$$
$$\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{CD} = \overrightarrow{AC} + \overrightarrow{BD} +2\overrightarrow{CB} $$
$$\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{CD} = \overrightarrow{AC} + \overrightarrow{BD} -2\overrightarrow{BC} $$

3. Construire deux vecteurs \((\overrightarrow{AB}, \ \overrightarrow{CD})\) et vérifier les deux égalités précédentes graphiquement.

Simplification d'expression par la relation de Chasles

Simplifier les expressions suivantes avec la relation de Chasles.

1. $$\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{BC} + \overrightarrow{CD} + \overrightarrow{DA}$$
$$\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{BC} + \overrightarrow{CD} + \overrightarrow{DA} = \overrightarrow{AC} + \overrightarrow{CA} $$
$$\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{BC} + \overrightarrow{CD} + \overrightarrow{DA} = \overrightarrow{0} $$
2. $$\overrightarrow{AB} - \overrightarrow{AC} - \overrightarrow{CB}$$
$$\overrightarrow{AB} - \overrightarrow{AC} - \overrightarrow{CB} = \overrightarrow{AC} + \overrightarrow{CB} - \overrightarrow{AC} - \overrightarrow{CB}$$
$$\overrightarrow{AB} - \overrightarrow{AC} - \overrightarrow{CB} = \underbrace{ \overrightarrow{AC}- \overrightarrow{AC} } _\text{ \(=\overrightarrow{0}\)} + \underbrace{ \overrightarrow{CB} - \overrightarrow{CB} } _\text{ \(=\overrightarrow{0}\)} $$
$$\overrightarrow{AB} - \overrightarrow{AC} - \overrightarrow{CB} = \overrightarrow{0} $$
3. $$\overrightarrow{AC} - \overrightarrow{AD} - \overrightarrow{CD}$$
$$\overrightarrow{AC} - \overrightarrow{AD} - \overrightarrow{CD} = \overrightarrow{AD} + \overrightarrow{DC} - \overrightarrow{AD} + \overrightarrow{CD}$$
$$\overrightarrow{AC} - \overrightarrow{AD} - \overrightarrow{CD} = \underbrace{ \overrightarrow{AD} - \overrightarrow{AD} } _\text{ \(=\overrightarrow{0}\)} + \overrightarrow{DC} + \overrightarrow{DC} $$
$$\overrightarrow{AC} - \overrightarrow{AD} - \overrightarrow{CD} = 2\overrightarrow{DC} $$
4. $$\overrightarrow{AB} - 2\overrightarrow{CA} + \overrightarrow{BC}$$
$$\overrightarrow{AB} - 2\overrightarrow{CA} + \overrightarrow{BC} = \overrightarrow{AC} + \overrightarrow{CB} - 2\overrightarrow{CA} + \overrightarrow{BC} $$
$$\overrightarrow{AB} - 2\overrightarrow{CA} + \overrightarrow{BC} = \overrightarrow{AC} - 2\overrightarrow{CA} + \underbrace{ \overrightarrow{CB} + \overrightarrow{BC} } _\text{ \(=\overrightarrow{0}\)} $$
$$\overrightarrow{AB} - 2\overrightarrow{CA} + \overrightarrow{BC} = \overrightarrow{AC} + 2\overrightarrow{CA} $$
$$\overrightarrow{AB} - 2\overrightarrow{CA} + \overrightarrow{BC} = 3\overrightarrow{AC} $$
5. $$3\overrightarrow{AB} +2\overrightarrow{AC} -2\overrightarrow{BD} - 2\overrightarrow{DC}$$
$$3\overrightarrow{AB} +2\overrightarrow{AC} -2\overrightarrow{BD} - 2\overrightarrow{DC} = 3\overrightarrow{AB} +2(\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{BC}) -2(\overrightarrow{BC} + \overrightarrow{CD})- 2\overrightarrow{DC} $$
$$3\overrightarrow{AB} +2\overrightarrow{AC} -2\overrightarrow{BD} - 2\overrightarrow{DC} = 3\overrightarrow{AB} +2\overrightarrow{AB} + 2\overrightarrow{BC} -2\overrightarrow{BC} -2\overrightarrow{CD} - 2\overrightarrow{DC} $$
$$3\overrightarrow{AB} +2\overrightarrow{AC} -2\overrightarrow{BD} - 2\overrightarrow{DC} = 5\overrightarrow{AB} + \underbrace{ 2\overrightarrow{BC} -2\overrightarrow{BC} } _\text{ \(=\overrightarrow{0}\)} + \underbrace{ 2\overrightarrow{DC} - 2\overrightarrow{DC} } _\text{ \(=\overrightarrow{0}\)} $$
$$3\overrightarrow{AB} +2\overrightarrow{AC} -2\overrightarrow{BD} - 2\overrightarrow{DC} = 5\overrightarrow{AB} $$

La nature du triangle \(A B C\)

Soient deux vecteurs \((\overrightarrow{AB}, \ \overrightarrow{AC})\) tels que la figure suivante :

1. À première vue, quelle semble être la nature du triangle \(A B C\) ?

2. Déterminer les trois jeux de coordonnées des points \((A, B, C)\)

$$A\left[ - \frac{9}{2}; 1 \right] $$
$$B\left[ - 3; \frac{7}{2} \right] $$
$$C\left[ - \frac{3}{2}; 1 \right] $$

3. Calculer les normes respectives des vecteurs \(\overrightarrow{AB}\), \(\overrightarrow{AC}\) et \(\overrightarrow{BC}\)

$$ || \overrightarrow{AB} || = \sqrt{(x_B - x_A)^2 + (y_B - y_A)^2} $$
$$ || \overrightarrow{AB} || = \sqrt{ \left(-3 - \left( - \frac{9}{2} \right) \right )^2 + \left(\frac{7}{2} - 1 \right)^2 } $$
$$ || \overrightarrow{AB} || = \sqrt{ \left(- \frac{6}{2} + \frac{9}{2} \right )^2 + \left(\frac{7}{2} - \frac{2}{2} \right)^2 } $$
$$ || \overrightarrow{AB} || = \sqrt{ \left(\frac{3}{2} \right )^2 + \left(\frac{5}{2} \right)^2 } $$
$$ || \overrightarrow{AB} || = \sqrt{ \frac{9}{4} + \frac{25}{4} } $$
$$ || \overrightarrow{AB} || = \sqrt{ \frac{34}{4} } $$
$$ || \overrightarrow{AC} || = \sqrt{(x_C - x_A)^2 + (y_C - y_A)^2} $$
$$ || \overrightarrow{AC} || = \sqrt{ \left(- \frac{3}{2} - \left( - \frac{9}{2} \right) \right )^2 + \left(1 - 1 \right)^2 } $$
$$ || \overrightarrow{AC} || = \sqrt{ \left(- \frac{3}{2} + \frac{9}{2} \right )^2 } $$
$$ || \overrightarrow{AC} || = \sqrt{ \left(\frac{6}{2} \right )^2 } $$
$$ || \overrightarrow{AC} || = \sqrt{ \frac{36}{4} } $$
$$ || \overrightarrow{BC} || = \sqrt{(x_C - x_B)^2 + (y_C - y_A)^2} $$
$$ || \overrightarrow{BC} || = \sqrt{ \left(- \frac{3}{2} - ( - 3 ) \right )^2 + \left(1 - \left(\frac{7}{2} \right) \right)^2 } $$
$$ || \overrightarrow{BC} || = \sqrt{ \left(- \frac{3}{2} + \frac{6}{2} \right )^2 + \left(\frac{2}{2} - \left(\frac{7}{2} \right) \right)^2 } $$
$$ || \overrightarrow{BC} || = \sqrt{ \left( \frac{3}{2} \right )^2 + \left(- \left(\frac{5}{2} \right) \right)^2 } $$
$$ || \overrightarrow{BC} || = \sqrt{ \frac{9}{4} + \frac{25}{4} } $$
$$ || \overrightarrow{BC} || = \sqrt{ \frac{34}{4} } $$

4. Conclure alors sur la nature du triangle \(ABC\).

Le triangle \(ABC\) est un triangle isocèle en \(B\).

Le triangle de Thalès inversé

Soient un triangle ordinaire \(ABC\), et deux points \(D\) et \(E\) tels que :

1. Démontrer par la relation de Chasles que :

$$ \overrightarrow{DE} = -\frac{5}{2}\overrightarrow{BC} $$

En appliquant la relation de Chasles sur la première relation, on a :

$$ \overrightarrow{AD} = -\frac{5}{2}\overrightarrow{AB} $$

$$ \overrightarrow{AE} + \overrightarrow{ED} = -\frac{5}{2}(\overrightarrow{AC} + \overrightarrow{CB}) $$

$$ \overrightarrow{AE} + \overrightarrow{ED} = -\frac{5}{2}\overrightarrow{AC} -\frac{5}{2}\overrightarrow{CB} $$

Or,

$$ \overrightarrow{AE} = -\frac{5}{2}\overrightarrow{AC} $$

Donc en remplaçant on a,

$$ \overrightarrow{AE} + \overrightarrow{ED} = \overrightarrow{AE} -\frac{5}{2}\overrightarrow{CB} $$

On peut alors éliminer les deux vecteurs \(\overrightarrow{ED}\) présents de part et d'autre de l'équation :

$$\overrightarrow{ED} = -\frac{5}{2}\overrightarrow{CB} $$

$$ \overrightarrow{DE} = -\frac{5}{2}\overrightarrow{BC} $$

2. Que peut-on en conclure pour les droites \((BC)\) et \((DE)\) ?

Ces deux vecteurs sont colinéaires puisqu'il a un rapport de proportionnalité de \(\left( k = -\frac{5}{2} \right) \) entre eux.

Colinéarité de vecteurs

Soient trois vecteurs \((\overrightarrow{u}, \ \overrightarrow{v}, \ \overrightarrow{w})\) tels que la figure suivante :

1. Démontrer que le vecteur \(\overrightarrow{w}\) et le vecteur somme \(\overrightarrow{u+v}\) sont colinéaires

$$\overrightarrow{u}\begin{pmatrix} \frac{3}{2} - (-2) \\ \frac{7}{2} - 2 \end{pmatrix}$$

$$\overrightarrow{u}\begin{pmatrix} \frac{3}{2} + \frac{4}{2} \\ \frac{7}{2} - \frac{4}{2} \end{pmatrix}$$

$$\overrightarrow{u}\begin{pmatrix} \frac{7}{2} \\ \frac{3}{2} \end{pmatrix}$$

$$\overrightarrow{v}\begin{pmatrix}5 - 2 \\ -1 -1 \end{pmatrix}$$

$$\overrightarrow{v}\begin{pmatrix}3 \\-2 \end{pmatrix}$$

$$\overrightarrow{w}\begin{pmatrix}- \frac{7}{2} - 3 \\ -2 -\left(-\frac{5}{2} \right) \end{pmatrix}$$

$$\overrightarrow{w}\begin{pmatrix}- \frac{7}{2} - \frac{6}{2} \\ -\frac{4}{2} +\frac{5}{2} \end{pmatrix}$$

$$\overrightarrow{w}\begin{pmatrix}- \frac{13}{2} \\ \frac{1}{2} \end{pmatrix}$$

Maintenant, la somme \(\overrightarrow{v+w}\) :

$$\overrightarrow{u+v}\begin{pmatrix} \frac{7}{2} + 3 \\ \frac{3}{2} - 2 \end{pmatrix}$$

$$\overrightarrow{u+v}\begin{pmatrix} \frac{7}{2} + \frac{6}{2} \\ \frac{3}{2} - \frac{4}{2} \end{pmatrix}$$

$$\overrightarrow{u+v}\begin{pmatrix} \frac{13}{2} \\ - \frac{1}{2} \end{pmatrix}$$




Pour démontrer que les vecteurs deux vecteurs \((\overrightarrow{w}, \ \overrightarrow{u+v}) \) sont colinéaires, on cherche à montrer le déterminant est nul.

$$det(\overrightarrow{w}, \ \overrightarrow{u+v}) = - \frac{13}{2} \times \left( -\frac{1}{2} \right) - \frac{13}{2} \times \left(\frac{1}{2} \right) $$

$$det(\overrightarrow{w}, \ \overrightarrow{u+v}) = \overrightarrow{0} $$

Alors, les deux vecteurs \((\overrightarrow{w}, \ \overrightarrow{u+v}) \) sont bien colinéaires.

2. Deux vecteurs \((\overrightarrow{u}, \ \overrightarrow{v}) \) sont colinéaires équivaut à dire que :

$$ \exists k \in \mathbb{R}, \ \vec{u} = k \times \vec{v} $$

Déterminer la valeur de ce coefficient \(k\)

On a pour les coordonnées respectives des vecteurs \((\overrightarrow{w}, \ \overrightarrow{u+v}) \) :

$$\overrightarrow{u+v}\begin{pmatrix} \frac{13}{2} \\ - \frac{1}{2} \end{pmatrix}$$

$$\overrightarrow{w}\begin{pmatrix}- \frac{13}{2} \\ \frac{1}{2} \end{pmatrix}$$

Calculons ce coefficient :

$$ \exists k \in \mathbb{R}, \ \overrightarrow{u+v} = k \times \overrightarrow{w} $$

$$ \begin{pmatrix} \frac{13}{2} \\ - \frac{1}{2} \end{pmatrix} = k \times \begin{pmatrix}- \frac{13}{2} \\ \frac{1}{2} \end{pmatrix} $$

Soit,

$$ \left \{ \begin{gather*} \frac{13}{2} = k \times \left( - \frac{13}{2} \right) \\ -\frac{1}{2} = k \times \left( \frac{1}{2} \right) \end{gather*} \right \} $$

En prenant le rapport des abscisses :

$$ k = \frac{\frac{13}{2}}{- \frac{13}{2}} $$

En prenant le rapport des ordonnées :

$$ k = \frac{-\frac{1}{2}}{\frac{1}{2}} $$

$$ k = -1$$

Relation entre vecteurs

Placer deux points \((A, B)\) sur le graphique suivant.:

1. Placer un nouveau point \(C\) tel que :

$$ \overrightarrow{AC} = -\frac{3}{4} \overrightarrow{AB} \qquad(1)$$

2. Démontrer alors que :

$$ \overrightarrow{BC} = -\frac{7}{4} \overrightarrow{AB} $$

Avec la relation de Chasles appliquée au vecteur \(\overrightarrow{AC}\), on a :

$$ \overrightarrow{AC} = \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{BC} $$

Grâce à l'expression \((1)\), on a à présent :

$$ -\frac{3}{4} \overrightarrow{AB} = \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{BC} $$

$$ -\frac{3}{4} \overrightarrow{AB} - \overrightarrow{AB} = \overrightarrow{BC} $$

$$ \overrightarrow{BC} = -\frac{7}{4} \overrightarrow{AB} $$

3. Enfin, trouver la relation qui lie les deux vecteurs \(\overrightarrow{AC} \) et \(\overrightarrow{BC} \)

On a les deux relations suivantes :

$$ \overrightarrow{AC} = -\frac{3}{4} \overrightarrow{AB} \qquad(1)$$

$$ \overrightarrow{BC} = -\frac{7}{4} \overrightarrow{AB} \qquad(2)$$

$$ -\frac{4}{7} \overrightarrow{BC} = \overrightarrow{AB} \qquad(2^*)$$

En injectant la valeur de l'expression \((2^*)\) dans la \((1)\) :

$$ \overrightarrow{AC} = -\frac{3}{4} \times \left( -\frac{4}{7} \right) \overrightarrow{BC}$$

$$ \overrightarrow{AC} = \frac{3}{7} \overrightarrow{BC}$$

L'alignement des trois points

Soient deux vecteurs \((\overrightarrow{AB}, \ \overrightarrow{AC})\) tels que la figure suivante :

1. Contruire le point \(J\) tel que :

$$ \overrightarrow{AJ} = \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AC} \qquad(1) $$

2. Contruire le point \(I\) tel que :

$$ \overrightarrow{BI} = \frac{1}{2}\overrightarrow{BJ} \qquad(2) $$

3. Enfin, contruire le point \(K\) tel que :

$$ \overrightarrow{BK} = \frac{1}{3}\overrightarrow{BC} \qquad(3) $$

4. Alors démontrer que les trois points \((A,K,I)\) sont alignés.



Pour prouver que deux points alignés, il faut prouver qu'il y a colinéarité entre deux vecteurs ayant une origine commune. Soit dans notre cas, que :

$$ \exists k \in \mathbb{R}, \ \overrightarrow{AK} = k \overrightarrow{AI} $$

Calculons d'abord \(\overrightarrow{AK}\), puis \(\overrightarrow{AI}\) :




Calcul de \(\overrightarrow{AK}\)

Avec la relation de Chasles, on a :

$$ \overrightarrow{AK} = \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{BK} $$

Avec la relation \((3)\) qu'on injecte, on a :

$$ \overrightarrow{AK} = \overrightarrow{AB} + \frac{1}{3}\overrightarrow{BC} $$

En appliquant à nouveau Chasles:

$$ \overrightarrow{AK} = \overrightarrow{AB} + \frac{1}{3}(\overrightarrow{BA} +\overrightarrow{BC}) $$

$$ \overrightarrow{AK} = \overrightarrow{AB} + \frac{1}{3}\overrightarrow{BA} + \frac{1}{3}\overrightarrow{BC} $$

$$ \overrightarrow{AK} = \overrightarrow{AB} - \frac{1}{3}\overrightarrow{AB} + \frac{1}{3}\overrightarrow{BC} $$

$$ \overrightarrow{AK} = \frac{2}{3}\overrightarrow{AB} + \frac{1}{3}\overrightarrow{BC} $$

Calcul de \(\overrightarrow{AI}\)

Comme le point \(J\) est issu de \(\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AC}\), alors :

$$ \overrightarrow{BJ} = \overrightarrow{AC} $$

Et comme avec \((2)\) on a :

$$ \overrightarrow{BI} = \frac{1}{2}\overrightarrow{BJ} \qquad(2) $$

Alors par conséquent on a aussi :

$$ \overrightarrow{BI} = \frac{1}{2}\overrightarrow{AC} \qquad(2^*) $$

Par ailleurs, en appliquant Chasles au vecteur \(\overrightarrow{AI}\), on a :

$$ \overrightarrow{AI} = \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{BI} $$

En remplaçant le résultat de la \((2^*)\) dans celle-ci, on obtient :

$$ \overrightarrow{AI} = \overrightarrow{AB} + \frac{1}{2}\overrightarrow{AC} $$

Relation de colinéarité

On obtient alors alors ces deux expressions :

$$ \overrightarrow{AK} = \frac{2}{3}\overrightarrow{AB} + \frac{1}{3}\overrightarrow{BC} $$

$$ \overrightarrow{AI} = \overrightarrow{AB} + \frac{1}{2}\overrightarrow{AC} $$

En consisérant un nouveau repère \((A, \ \overrightarrow{AB}, \ \overrightarrow{AC})\), alors je peux calculer le déterminant de ces deux vecteurs.

$$det(\overrightarrow{AK}, \ \overrightarrow{AI}) = \frac{2}{3} \times \frac{1}{2} - 1 \times \frac{1}{3}$$

$$det(\overrightarrow{AK}, \ \overrightarrow{AI}) = 0$$

Les deux vecteurs ont une relation de colinéarité de rapport \(k\), et ce rapport vaut :

En prenant le rapport des abscisses :

$$ k = \frac{ \frac{2}{3} }{1} $$

En prenant le rapport des ordonnées :

$$ k = \frac{ \frac{1}{3} }{\frac{1}{2}} $$

Soit,

$$ k = \frac{2}{3} $$




Conclusion

On a montré que :

$$ \overrightarrow{AK} = \frac{2}{3} \overrightarrow{AI} $$

De ce fait, les trois points \((A, K, I)\) sont alignés.

Barycentre de deux points pondéré

Soit les deux points \((A, B)\) suivants, avec leur pondération respective.\((a, \ b)\) :

1. Repartir de l'expression du barycentre ci-avant, puis exprimer \(\overrightarrow{AG} \) en fonction de \(\overrightarrow{AB} \)

$$ a\overrightarrow{GA} + b\overrightarrow{GB} = \overrightarrow{0} \qquad(1)$$
$$ a\overrightarrow{GA} + b(\overrightarrow{GA} + \overrightarrow{AB}) = \overrightarrow{0} $$
$$ a\overrightarrow{GA} + b\overrightarrow{GA} + b\overrightarrow{AB} = \overrightarrow{0} $$
$$ (a+b)\overrightarrow{GA} = - b\overrightarrow{AB} $$
$$\overrightarrow{GA} = -\frac{b}{a+b}\overrightarrow{AB} $$
$$\overrightarrow{AG} = \frac{b}{a+b}\overrightarrow{AB} \qquad(1) $$

Application numérique :

2. Déterminer les coordonnées des points \((A, B)\) à l'aide du graphique ainsi que les coordonnées du vecteur \(\overrightarrow{AB} \)

$$A\left[ - \frac{7}{2}; 3 \right] $$
$$B\Bigl[ 3; 3 \Bigr] $$
Et pour le vecteur \(\overrightarrow{AB} \) :
$$\overrightarrow{AB} \begin{pmatrix} 3 - \left( - \frac{7}{2} \right) \\ 3 - 3 \end{pmatrix} $$
$$\overrightarrow{AB} \begin{pmatrix} \frac{6}{2} + \frac{7}{2} \\ 0 \end{pmatrix} $$
$$\overrightarrow{AB} \begin{pmatrix} \frac{13}{2} \\ 0 \end{pmatrix} $$

3. Enfin, en déduire les coordonnées du point \(G\), avec les valeurs suivantes :

$$ \Biggl \{ \begin{gather*} a = 2 \\ b = 5 \end{gather*} $$

En reprenant l'expression du barycentre, on avait :

$$\overrightarrow{AG} = \frac{b}{a+b}\overrightarrow{AB} \qquad(1) $$

Et on remplace maintenant le couple \((a,b) \) et le vecteur \(\overrightarrow{AB}\) par sa valeur réelle.

$$\overrightarrow{AG} = \frac{5}{2+5}\begin{pmatrix} \frac{13}{2} \\ 0 \end{pmatrix} $$

$$\overrightarrow{AG} = \begin{pmatrix} \frac{5}{7} \times \frac{13}{2} \\ \frac{5}{7} \times 0 \end{pmatrix} $$

$$\overrightarrow{AG} = \begin{pmatrix} \frac{65}{14} \\ 0 \end{pmatrix}$$




Comme les coordonnées théoriques du vecteur \(\overrightarrow{AG}\) sont :

$$\overrightarrow{AG} = \begin{pmatrix} x_G - x_A \\ y_G - y_A \end{pmatrix} $$

On obtient le jeu d'égalités suivant :

$$ \left \{ \begin{gather*} x_G - x_A = \frac{65}{14}\\ \\ y_G - y_A = 0 \\ \end{gather*} \right \} $$

Soit,

$$G\left[ \frac{65}{14} + x_A ; \ y_A \right] $$

$$G\left[ \frac{65}{14} - \frac{7}{2} ; \ 3 \right] $$

$$G\left[ \frac{65}{14} - \frac{7}{2}\textcolor{#6187B2}{\times \frac{7}{7}} ; \ 3 \right] $$

$$G\left[ \frac{65}{14} - \frac{49}{14} ; \ 3 \right] $$

$$G\left[ -\frac{16}{14} ; \ 3 \right] $$

$$G\left[ -\frac{8}{7} ; \ 3 \right] $$

Démonstration du rapport \(\frac{2}{3} / \frac{1}{3}\) pour le barycentre d'un triangle

Soit un triangle ordinaire \(ABC\) et ses trois médianes concourant en un point unique, qui est le barycentre du triangle :

On a appelé \(I\) le milieu de \(\bigl[AB\bigr]\).

Le but de cet exercice est d'exprimer le vecteur \(\overrightarrow{GC}\) en fonction du vecteur \(\overrightarrow{CI}\) pour faire apparaître ce rapport de \(\frac{2}{3} / \frac{1}{3}\).

1. À partir de l'expression \((2)\), faire ressortir le point \(I\) des vecteurs \(\overrightarrow{GA}\) et \(\overrightarrow{GB}\) grâce à la relation de Chasles

$$ \overrightarrow{GA} + \overrightarrow{GB} + \overrightarrow{GC} = \overrightarrow{0} \qquad(barycentre^*)$$
$$ \overrightarrow{GI} + \overrightarrow{IA} + \overrightarrow{GI} + \overrightarrow{IB} + \overrightarrow{GC} = \overrightarrow{0}$$
$$ 2\overrightarrow{GI} + \overrightarrow{IA} + \overrightarrow{GI} + \overrightarrow{IB} + \overrightarrow{GC} = \overrightarrow{0} \qquad(A)$$

2. Démontrer que :

$$ \overrightarrow{IA} + \overrightarrow{IB} = \overrightarrow{0} $$

Comme \(I\) est le milieu de \(\bigl[AB\bigr]\), alors en termes de vecteurs, on a :

$$ \overrightarrow{AI} = \overrightarrow{IB}$$

Soit,

$$ \overrightarrow{0} = \overrightarrow{IA} + \overrightarrow{IB}$$

$$ \overrightarrow{IA} + \overrightarrow{IB} = \overrightarrow{0} $$

Et réécrire la nouvelle forme de l'égalité une fois ces deux termes retirés.

L'expression précédente \((A)\) devient alors :

$$ 2\overrightarrow{GI} + \overrightarrow{GC} = \overrightarrow{0} \qquad(A^*)$$

3. Démontrer alors l'expression \((1)\) :

$$ \overrightarrow{CG} = \frac{2}{3} \overrightarrow{CI} $$

En repartant de l'expression précédente \((A^*)\), on a :

$$ 2\overrightarrow{GI} + \overrightarrow{GC} = \overrightarrow{0} \qquad(A^*)$$

$$ 2(\overrightarrow{GC} + \overrightarrow{CI} ) + \overrightarrow{GC} = \overrightarrow{0}$$

$$ 2\overrightarrow{GC} + 2\overrightarrow{CI} + \overrightarrow{GC} = \overrightarrow{0}$$

$$ 3\overrightarrow{GC} + 2\overrightarrow{CI} = \overrightarrow{0}$$

$$ 3\overrightarrow{GC} = -2\overrightarrow{CI} $$

$$ 3\overrightarrow{CG} = 2\overrightarrow{CI} $$

$$ \overrightarrow{CG} = \frac{2}{3}\overrightarrow{CI} $$

4. Enfin, sans calcul, exposer les deux autres expressions liées au barycentre dans le triangle \(ABC\).

$$ \overrightarrow{AG} = \frac{2}{3}\overrightarrow{AJ} $$

avec \(J\) le milieu de \(\bigl[BC\bigr]\)

$$ \overrightarrow{BG} = \frac{2}{3}\overrightarrow{BK} $$

avec \(K\) le milieu de \(\bigl[AC\bigr]\)