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Généralités sur les vecteurs

Définition

Un vecteur

Un vecteur est un objet mathématique représenté par une flèche.

On peut le représenter de deux manière différentes :

Par son nom : \(\overrightarrow{u}\)

un vecteur \(\overrightarrow{u}\)

Par ses points de départ (origine) et d'arrivée (extrémité) : \(\overrightarrow{AB}\)

un vecteur \(\overrightarrow{AB}\)

Pour être défini de manière unique, un vecteur \(\overrightarrow{u}\) doit avoir ces trois caractéristiques propres :

Les trois propriétés d'un vecteur unique \(\overrightarrow{u}\) sont :

Répérage des vecteurs dans un repère orthonormé

  1. Coordonnées des vecteurs

    2. Un même vecteur peut avoir une infinité d'origines.

    un vecteur \(\overrightarrow{u}\) dans un repère orthonormé

    1. Vecteur partant de l'origine du repère

      2. Si le vecteur démarre de l'origine, alors les coordonnées du vecteur \(\overrightarrow{u}\) sont simplement les coordonnées du point d'arrivée : \(\vec{u}\begin{pmatrix} x\\ y \end{pmatrix}\).

      un vecteur \(\overrightarrow{u}\) partant de l'origine \(O\)
      $$ \vec{u} = x\textcolor{#9C5353}{\vec{i}} + y\textcolor{#9C5353}{\vec{j}}$$

    2. Vecteur partant de n'importe quel endroit

      3. De manière générale, les coordonnées du vecteur \(\overrightarrow{AB}\) sont : \(\vec{AB}\begin{pmatrix} x_B - x_A \\ y_B - y_A \end{pmatrix}\).

      un vecteur \(\overrightarrow{AB}\) partant de n'importe où
      $$ \overrightarrow{AB} = x_{\overrightarrow{AB}}\textcolor{#9C5353}{\vec{i}} + y_{\overrightarrow{AB}}\textcolor{#9C5353}{\vec{j}}$$

      Attention à bien conserver l'ordre entre l'arrivée et le départ des points \(A\) et \(B\), car :

      $$ \Biggl \{ \begin{gather*} x_B - x_A = -(x_A - x_B) \\ y_B - y_A = -(y_A - y_B) \end{gather*} $$

      On dit alors que les coordonnées des vecteurs sont signées.

      Dans tous les cas de figures, les coordonnées d'un vecteur \( \overrightarrow{AB} \) s'écrivent :

      $$\overrightarrow{AB} \begin{pmatrix} x_B - x_A \\ y_B - y_A \end{pmatrix} \qquad (coordonn\textit{é}es \ de \ \overrightarrow{AB})$$

  2. Expression de la norme

    3. Grâce au théorème de Pythagore, on peut calculer la norme \(||\overrightarrow{AB}||\) par :

    $$||\overrightarrow{AB}|| = \sqrt{(x_B - x_A)^2 + (y_B - y_A)^2}$$

  3. Mileu d'un segment

    4. $$\forall \overrightarrow{AB},$$
    $$I \ milieu \ de \bigl[AB \bigr] \Longleftrightarrow \overrightarrow{AI} = \overrightarrow{IB} $$

    Et on peut calculer ce milieu par :

    $$I \left( \frac{x_A + x_B}{2} ; \ \frac{y_A + y_B}{2} \right) \qquad \Bigl(coordonn\textit{é}es \ de \ I \ milieu \ de \ \bigl[AB \bigr] \Bigr) $$

Propriétés des vecteurs

Soient deux vecteurs \(\vec{u}\begin{pmatrix} x\\ y\end{pmatrix}\) et \(\vec{v} \begin{pmatrix} x'\\ y' \end{pmatrix}\).

  1. Égalité entre vecteurs : \( \overrightarrow{u} = \overrightarrow{v} \)

    2. $$ \overrightarrow{u} = \overrightarrow{v} \Longleftrightarrow \Biggl \{ \begin{gather*} x = x' \\ y = y' \end{gather*} $$

    (deux vecteurs sont égaux entre eux, si et seulement si leurs coordonnées sont identiques)

  2. Vecteur nul : \( \overrightarrow{0} \)

    3. Un vecteur nul est un vecteur dont la norme est nulle.

    $$ || \overrightarrow{0} || = 0 $$

  3. Opposé d'un vecteur : \( -\overrightarrow{u} \)

    4. L'opposé d'un vecteur \( \overrightarrow{u} \) a les mêmes coordonnées que \( \overrightarrow{u} \) avec le signe contraire.

    Un vecteur \(\vec{u} \) :

    $$ \vec{u}\begin{pmatrix} x\\ y\end{pmatrix} $$

    Son vecteur opposé \( -\vec{u} \) :

    $$ -\vec{u}\begin{pmatrix} -x\\ -y\end{pmatrix} $$

    Exemple :

    $$ \overrightarrow{AB} \begin{pmatrix} 3\\ 2\end{pmatrix} $$
    $$ -\overrightarrow{AB} \begin{pmatrix} -3\\ -2\end{pmatrix} $$
    un vecteur \(\overrightarrow{AB}\) et son opposé

    Comme le vecteur opposé au vecteur \(\overrightarrow{AB}\) est celui de même longueur mais partant cette fois de \(B\) vers \(A\) :

    $$ -\overrightarrow{AB} = \overrightarrow{BA} $$

  4. Vecteur multiplié par un réel \( k\)

    5. Lorsque l'on multiplie un vecteur par un réel \(k\), cela affecte toutes ses coordonnées.

    $$ \forall k \in \mathbb{R}, \ \forall \overrightarrow{u}, $$
    $$k \times \overrightarrow{u} \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} kx \\ ky \end{pmatrix} \qquad (coordonn\textit{é}es \ de \ k \times \overrightarrow{u})$$
    un vecteur \(\overrightarrow{u}\) mutliplé par un réel

    Et lorsque ce réel \(k\) est négatif, cela inverse le sens du vecteur.

Relation de Chasles

La relation de Chasles nous dit que :

"La somme de plusieurs vecteurs est égal à un vecteur total, joignant le point de départ et le point d'arrivée de cette somme"

la relation de Chasles

Autrement dit, pour deux vecteurs \((\overrightarrow{AB}, \ \overrightarrow{BC})\) :

$$ \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{BC} = \overrightarrow{AC} \qquad (Chasles) $$

De manière générale, on peut écrire que :

$$ \sum_{i=1}^n \overrightarrow{M_i M_{i+1}} = \overrightarrow{M_1 M_{n}} \qquad (Chasles^*)$$
la relation de Chasles généralisée

Propriétés des sommes de vecteurs

Soit trois vecteurs \( \vec{u}\begin{pmatrix} x\\ y\end{pmatrix} \), \( \vec{v}\begin{pmatrix} x'\\ y'\end{pmatrix} \) et \( \vec{w}\begin{pmatrix} x''\\ y''\end{pmatrix} \).

  1. Construction d'un parallélogramme par translation de vecteur

    2. Soient un vecteur \((\overrightarrow{u} = \overrightarrow{AB} = \overrightarrow{DC})\) tel que la figure suivante :

    \(ABCD\) est un parallélogramme
    $$ ABCD \ est \ un \ parall\textit{é}logramme \Longleftrightarrow \overrightarrow{AB} = \overrightarrow{DC} $$
    \(ABCD\) un parallélogramme

    Soient un vecteur \((\overrightarrow{u} = \overrightarrow{AB} = \overrightarrow{DC})\), alors on a l'égalité des coordonnées suivantes :

    $$ \overrightarrow{AB}\begin{pmatrix} x_B - x_A \\ y_B - y_A \end{pmatrix} = \overrightarrow{DC}\begin{pmatrix} x_C - x_D \\ y_C - y_D \end{pmatrix} $$

    Soit :

    $$ x_B - x_A = x_C - x_D $$

    $$ x_D - x_A = x_C - x_B $$

    Et par suite,

    $$ y_B - y_A = y_C - y_D $$

    $$ y_D - y_A = y_C - y_B $$

    Soit finalement que,

    $$ \overrightarrow{AD}\begin{pmatrix} x_D - x_A \\ y_D - y_A \end{pmatrix} = \overrightarrow{BC}\begin{pmatrix} x_C - x_B \\ y_C - y_B \end{pmatrix} $$

    Or, un quadrilatère est un parallélogramme si et seulement si il a ses deux côtés parallèles de même longueur, ce qui est le cas car les deux côtés opposés sont issus de deux vecteurs identiques.


    Alors, le quadrilatère \(ABCD\) est un parallélogramme.

  2. Coordonnées de la somme de deux vecteurs

    3. Les coordonnées d'une somme sont la somme des coordonnées respectives.

    somme de deux vecteurs \( \overrightarrow{u} \) et \( \overrightarrow{v} \)
    $$ \forall \left[ \vec{u}\begin{pmatrix} x\\ y\end{pmatrix}, \ \vec{v}\begin{pmatrix} x'\\ y'\end{pmatrix} \right], $$
    $$ \overrightarrow{u+v} \begin{pmatrix} x + x' \\ y + y' \end{pmatrix} \qquad (coordonn\textit{é}es \ de \ \overrightarrow{u+v})$$

  3. Différence de deux vecteurs

    4. Comme pour les règles générales de calcul, on définit la soustraction d'un vecteur comme l'addition de son vecteur opposé.

    $$ \forall \left( \vec{u}, \ \vec{v} \right), $$
    $$ \overrightarrow{u} - \overrightarrow{v} = \overrightarrow{u} + (-\overrightarrow{v}) $$

  4. Commutativité

    5. $$ \forall \left( \vec{u}, \ \vec{v} \right), $$
    $$ \overrightarrow{u} + \overrightarrow{v} = \overrightarrow{v} + \overrightarrow{u}$$

  5. Associativité

    6. $$ \forall \left( \vec{u}, \ \vec{v}, \ \vec{w} \right), $$
    $$ \overrightarrow{u} + (\overrightarrow{v} + \overrightarrow{w}) = (\overrightarrow{u} + \overrightarrow{v}) + \overrightarrow{w} $$

Colinéarité de vecteurs

Soit deux vecteurs \( \vec{u}\begin{pmatrix} x\\ y\end{pmatrix} \) et \( \vec{v}\begin{pmatrix} x'\\ y'\end{pmatrix} \) non nuls.

  1. Définition

    2. \(\vec{u}\) et \(\vec{v}\) sont dits "colinéaires" si il existe une relation de parallélisme entre les deux, alors :


    $$ \forall \left( \vec{u}, \ \vec{v}, \right), $$
    $$ \vec{u} \ et \ \vec{v} \ colin\textit{é}aires \Longleftrightarrow \exists k \in \mathbb{R}, \ \vec{u} = k \times \vec{v} $$

  2. Déterminant de deux vecteurs

    3. Le déterminant est un outil permettant de savoir rapidement si deux vecteurs sont colinéaires avec leur coordonnées.

    On définit le déterminant par :

    $$ \forall \left( \vec{u}, \ \vec{v}, \right), $$
    $$det(\vec{u}, \vec{v}) = xy' - x'y $$

    Et deux vecteurs sont colinéaires, si et seulement si leur déterminant est nul.

    $$ \forall \left( \vec{u}, \ \vec{v} \right), $$
    $$ \vec{u} \ et \ \vec{v} \ colin\textit{é}aires \Longleftrightarrow det(\vec{u}, \vec{v}) = 0 $$

    Deux vecteurs sont colinéaires si et seulement si leur déterminant est nul

    Soit deux vecteurs \( \vec{u}\begin{pmatrix} x\\ y\end{pmatrix} \) et \( \vec{v}\begin{pmatrix} x'\\ y'\end{pmatrix} \) non nuls.


    Admettons que \(\vec{u}\) et \(\vec{u}\) soient colinéaires, alors :

    $$ \vec{u} = k \times \vec{v} \Longleftrightarrow \Biggl \{ \begin{gather*} x = k x' \\ y = ky' \end{gather*} $$

    Ce qui équivaut à :

    $$ \left \{ \begin{gather*} k = \frac{x}{x'} \\ \\ k = \frac{y}{y'} \end{gather*} \right \} \Longleftrightarrow \frac{x}{x'} = \frac{y}{y'}$$

    Puis, en prenant le produit en croix :

    $$ xy' = x'y \Longleftrightarrow xy' - x'y = 0$$

    Et finalement,

    $$ \vec{u} \ et \ \vec{v} \ colin\textit{é}aires \Longleftrightarrow det(\vec{u}, \vec{v}) = 0 $$
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