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Généralités sur les vecteurs

Définition

Un vecteur

Un vecteur est un objet mathématique représenté par une flèche.

On peut le représenter de deux manière différentes :

Par son nom : \(\overrightarrow{u}\)

un vecteur \(\overrightarrow{u}\)

Par ses points de départ (origine) et d'arrivée (extrémité) : \(\overrightarrow{AB}\)

un vecteur \(\overrightarrow{AB}\)

Pour être défini de manière unique, un vecteur \(\overrightarrow{u}\) doit avoir ces trois caractéristiques propres :

Les trois propriétés d'un vecteur unique \(\overrightarrow{u}\) sont :

  • une longueur (ou norme) : \(|| \overrightarrow{u} ||\)

  • un axe (ou orientation)

  • un sens


Cependant, on va le représenter grâce à ses deux coordonnées \((x,y)\) sous la forme : \(\vec{u}\begin{pmatrix} x\\ y\end{pmatrix}\).

un vecteur \(\overrightarrow{u}\) avec ses deux coordonnées \((x,y)\)

Propriétés des vecteurs

Soient deux vecteurs \(\vec{u}\begin{pmatrix} x\\ y\end{pmatrix}\) et \(\vec{v} \begin{pmatrix} x'\\ y' \end{pmatrix}\).

  1. Égalité entre vecteurs : \( \overrightarrow{u} = \overrightarrow{v} \)

    2. $$ \forall \left( \vec{u}, \ \vec{v} \right), $$
    $$ \vec{u}\begin{pmatrix} x\\ y\end{pmatrix} = \vec{v} \begin{pmatrix} x'\\ y' \end{pmatrix} \Longleftrightarrow \Biggl \{ \begin{gather*} x = x' \\ y = y' \end{gather*} $$

    (deux vecteurs sont égaux entre eux, si et seulement si leurs coordonnées sont identiques)

  2. Vecteur nul : \( \overrightarrow{0} \)

    3. Un vecteur nul est un vecteur dont les coordonnées et la norme sont nulles :

    $$ \underline{coordonn\textit{é}es \ :} $$
    $$ \vec{0}\begin{pmatrix} 0\\ 0\end{pmatrix} $$
    $$ \underline{norme \ :} $$
    $$ || \overrightarrow{0} || = 0 $$

  3. Opposé d'un vecteur : \( -\overrightarrow{u} \)

    4. L'opposé d'un vecteur \( \overrightarrow{u} \) a les mêmes coordonnées que \( \overrightarrow{u} \) avec le signe contraire.

    Un vecteur \(\vec{u} \) :

    $$ \vec{u}\begin{pmatrix} x\\ y\end{pmatrix} $$

    Son vecteur opposé \( -\vec{u} \) :

    $$ -\vec{u}\begin{pmatrix} -x\\ -y\end{pmatrix} $$

    Exemple :

    $$ \overrightarrow{AB} \begin{pmatrix} 3\\ 2\end{pmatrix} $$
    $$ -\overrightarrow{AB} \begin{pmatrix} -3\\ -2\end{pmatrix} $$
    un vecteur \(\overrightarrow{AB}\) et son opposé

    Comme le vecteur opposé au vecteur \(\overrightarrow{AB}\) est celui de même longueur mais partant cette fois de \(B\) vers \(A\) :

    $$\forall \overrightarrow{AB}, $$
    $$ -\overrightarrow{AB} = \overrightarrow{BA} $$

  4. Vecteur multiplié par un réel \( k\)

    5. Lorsque l'on multiplie un vecteur par un réel \(k\), cela affecte toutes ses coordonnées.

    $$ \forall k \in \mathbb{R}, \ \forall \overrightarrow{u}, $$
    $$k \times \overrightarrow{u} \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} kx \\ ky \end{pmatrix} \qquad (coordonn\textit{é}es \ de \ k \times \overrightarrow{u})$$
    un vecteur \(\overrightarrow{u}\) mutliplé par un réel

    Si \((k > 1)\), le vecteur subit un agrandissement et si \((k < 1)\), le vecteur subit une réduction.

    De plus, lorsque ce réel \(k\) est négatif, cela inverse le sens du vecteur.

  5. Distributivité/factorisation

    6. $$ \forall (\overrightarrow{u},\overrightarrow{v}) , $$
    $$k \times (\overrightarrow{u} + \overrightarrow{v}) = k \overrightarrow{u} + k\overrightarrow{v} $$

Propriétés des sommes de vecteurs

Soient trois vecteurs \(\vec{u}\begin{pmatrix} x\\ y\end{pmatrix}\), \(\vec{v} \begin{pmatrix} x'\\ y' \end{pmatrix}\) et \(\vec{w} \begin{pmatrix} x''\\ y'' \end{pmatrix}\).

  1. Coordonnées de la somme de deux vecteurs

    2. Les coordonnées d'une somme sont la somme des coordonnées respectives.

    somme de deux vecteurs \( \overrightarrow{u} \) et \( \overrightarrow{v} \)
    $$ \forall \left( \vec{u}, \ \vec{v} \right), $$
    $$ \vec{u}\begin{pmatrix} x\\ y\end{pmatrix} + \vec{v}\begin{pmatrix} x'\\ y'\end{pmatrix} = \hspace{0.01em} \overrightarrow{u+v} \begin{pmatrix} x + x' \\ y + y' \end{pmatrix} \qquad (coordonn\textit{é}es \ de \ \overrightarrow{u+v})$$

  2. Différence de deux vecteurs

    3. Comme pour les règles générales de calcul, on définit la soustraction d'un vecteur comme l'addition de son vecteur opposé.

    $$ \forall \left( \vec{u}, \ \vec{v} \right), $$
    $$ \overrightarrow{u} - \overrightarrow{v} = \overrightarrow{u} + (-\overrightarrow{v}) $$

  3. Commutativité

    4. $$ \forall \left( \vec{u}, \ \vec{v} \right), $$
    $$ \overrightarrow{u} + \overrightarrow{v} = \overrightarrow{v} + \overrightarrow{u}$$

  4. Associativité

    5. $$ \forall \left( \vec{u}, \ \vec{v}, \ \vec{w} \right), $$
    $$ \overrightarrow{u} + (\overrightarrow{v} + \overrightarrow{w}) = (\overrightarrow{u} + \overrightarrow{v}) + \overrightarrow{w} $$

Répérage des vecteurs dans un repère orthonormé

  1. Coordonnées des vecteurs

    2. Un même vecteur peut avoir une infinité d'origines.

    un vecteur \(\overrightarrow{u}\) dans un repère orthonormé

    1. Vecteur partant de l'origine du repère

      2. Si le vecteur démarre de l'origine, alors les coordonnées du vecteur \(\overrightarrow{u}\) sont directement les coordonnées \((x,y)\) lues graphiquement.

      un vecteur \(\overrightarrow{u}\) partant de l'origine \(O\)
      $$ \vec{u} = x\textcolor{#9C5353}{\vec{i}} + y\textcolor{#9C5353}{\vec{j}}$$

    2. Vecteur partant de n'importe quel endroit

      3. Si le vecteur part de n'importe où dans le plan, telle que la figure suivante :

      un vecteur \(\overrightarrow{AB}\) partant de n'importe où

      On voit que les coordonnées valent :

      $$ \overrightarrow{AB} = x_{\overrightarrow{AB}}\textcolor{#9C5353}{\vec{i}} + y_{\overrightarrow{AB}}\textcolor{#9C5353}{\vec{j}}$$

      Et on les calcule par :

      $$\overrightarrow{AB} \begin{pmatrix} x_B - x_A \\ y_B - y_A \end{pmatrix} \qquad (coordonn\textit{é}es \ de \ \overrightarrow{AB})$$

      Les calcul des coordonnées d'un vecteur

      Soient \(A\bigl[ x_A ; y_A \bigr]\) et \(B\bigl[ x_B ; y_B \bigr]\) deux points distincts.


      Comme ils démarrent de l'origine, on peut écrire les coordonnées des vecteurs \(\overrightarrow{OA}\) et \(\overrightarrow{OB}\) comme ceci :

      $$ \overrightarrow{OA}\begin{pmatrix} x_A\\ y_A\end{pmatrix} $$
      $$ \overrightarrow{OB}\begin{pmatrix} x_B\\ y_B\end{pmatrix} $$

      Par la relation de Chasles, on peut écrire que :

      $$ \overrightarrow{AO} + \overrightarrow{OB} = \overrightarrow{AB} $$

      Soit,

      $$ - \overrightarrow{OA} + \overrightarrow{OB} = \overrightarrow{AB} $$

      Soit avec les coordonnées :

      $$ \overrightarrow{OB}\begin{pmatrix} x_B\\ y_B\end{pmatrix} - \overrightarrow{OA}\begin{pmatrix} x_A\\ y_A\end{pmatrix} = \overrightarrow{AB} $$

      Enfin, en faisant l'addition des coordonnées, on obtient :

      $$ \overrightarrow{OB - OA}\begin{pmatrix} x_B-x_A\\ y_B-y_A\end{pmatrix} = \overrightarrow{AB} $$

      Soit finalement,

      $$\overrightarrow{AB} \begin{pmatrix} x_B - x_A \\ y_B - y_A \end{pmatrix} \qquad (coordonn\textit{é}es \ de \ \overrightarrow{AB})$$

      Attention à l'ordre importe entre les coordonnées des points \(A\) et \(B\), car :

      $$ \Biggl \{ \begin{gather*} x_B - x_A = -(x_A - x_B) \\ y_B - y_A = -(y_A - y_B) \end{gather*} $$

      On dit alors que les coordonnées des vecteurs sont signées.

  2. Expression de la norme

    3. Grâce au théorème de Pythagore, on peut calculer la norme \(||\overrightarrow{AB}||\) par :

    $$||\overrightarrow{AB}|| = \sqrt{(x_B - x_A)^2 + (y_B - y_A)^2}$$

  3. Mileu d'un segment

    4. $$\forall \overrightarrow{AB},$$
    $$I \ milieu \ de \bigl[AB \bigr] \Longleftrightarrow \overrightarrow{AI} = \overrightarrow{IB} $$

    Et on peut calculer ce milieu par :

    $$I \left[ \frac{x_A + x_B}{2} ; \frac{y_A + y_B}{2} \right] \qquad \Bigl(coordonn\textit{é}es \ de \ I \ milieu \ de \ \bigl[AB \bigr] \Bigr) $$

Relation de Chasles

La relation de Chasles nous dit que pour deux vecteurs \((\overrightarrow{AB}, \ \overrightarrow{BC})\) :

$$ \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{BC} = \overrightarrow{AC} \qquad (Chasles) $$
la relation de Chasles

De manière générale, on peut écrire que :

$$ \sum_{i=1}^n \overrightarrow{M_i M_{i+1}} = \overrightarrow{M_1 M_{n+1}} \qquad (Chasles^*)$$
la relation de Chasles généralisée
$$ \sum_{i=1}^n \overrightarrow{M_i M_{i+1}} = \overrightarrow{M_1 M_2} + \overrightarrow{M_2 M_3} + \overrightarrow{M_3 M_4} + \dots + \dots + \overrightarrow{M_{n-1} M_{n}} + \overrightarrow{M_n M_{n+1}} $$

En appliquant la relation de Chasles de proche en proche, on comme vecteur résultant :

$$ \sum_{i=1}^n \overrightarrow{M_i M_{i+1}} = \overrightarrow{M_1 M_{n+1}} $$

Colinéarité de vecteurs

Soit deux vecteurs \( \vec{u}\begin{pmatrix} x\\ y\end{pmatrix} \) et \( \vec{v}\begin{pmatrix} x'\\ y'\end{pmatrix} \) non nuls.

  1. Définition

    2. \(\vec{u}\) et \(\vec{v}\) sont dits "colinéaires" si il existe une relation de parallélisme entre les deux, alors :

    $$ \forall \left( \vec{u}, \ \vec{v}, \right), $$
    $$ \vec{u} \ et \ \vec{v} \ colin\textit{é}aires \Longleftrightarrow \exists k \in \mathbb{R}, \ \vec{u} = k \times \vec{v} $$

  2. Déterminant de deux vecteurs

    3. Le déterminant est un outil permettant de savoir rapidement si deux vecteurs sont colinéaires avec leur coordonnées.

    On définit le déterminant par :

    $$ \forall \left( \vec{u}, \ \vec{v}, \right), $$
    $$det(\vec{u}, \vec{v}) = xy' - x'y $$

    Et deux vecteurs sont colinéaires, si et seulement si leur déterminant est nul.

    $$ \forall \left( \vec{u}, \ \vec{v} \right), $$
    $$ \vec{u} \ et \ \vec{v} \ colin\textit{é}aires \Longleftrightarrow det(\vec{u}, \vec{v}) = 0 $$

    Deux vecteurs sont colinéaires si et seulement si leur déterminant est nul

    Soit deux vecteurs \( \vec{u}\begin{pmatrix} x\\ y\end{pmatrix} \) et \( \vec{v}\begin{pmatrix} x'\\ y'\end{pmatrix} \) non nuls.


    Admettons que \(\vec{u}\) et \(\vec{u}\) soient colinéaires, alors :

    $$ \vec{u} = k \times \vec{v} \Longleftrightarrow \Biggl \{ \begin{gather*} x = k x' \\ y = ky' \end{gather*} $$

    Ce qui équivaut à :

    $$ \left \{ \begin{gather*} k = \frac{x}{x'} \\ \\ k = \frac{y}{y'} \end{gather*} \right \} \Longleftrightarrow \frac{x}{x'} = \frac{y}{y'}$$

    Avec

    Puis, en prenant le produit en croix :

    $$ xy' = x'y \Longleftrightarrow xy' - x'y = 0$$

    Et finalement,

    $$ \vec{u} \ et \ \vec{v} \ colin\textit{é}aires \Longleftrightarrow det(\vec{u}, \vec{v}) = 0 $$

Construction d'un parallélogramme

  1. Par translation de vecteur

    2. Soit un vecteur \((\overrightarrow{u} = \overrightarrow{AB} )\) et un second vecteur \(\overrightarrow{DC}\) qui ce même vecteur translaté, tel que la figure suivante :

    \(ABCD\) est un parallélogramme
    $$ ABCD \ est \ un \ parall\textit{é}logramme \Longleftrightarrow \overrightarrow{AB} = \overrightarrow{DC} $$

    On peut aussi l'exprimer ainsi :

    "Un vecteur et son translaté dont on a joint les origines et extrémités respectives forment un parallélogramme"

    \(ABCD\) un parallélogramme (par translation d'un vecteur)

    Soit un vecteur \((\overrightarrow{u} = \overrightarrow{AB} = \overrightarrow{DC})\).

    1. Par le jeu des coordonnées

      2. Alors on a l'égalité des coordonnées suivantes :

      $$ \overrightarrow{AB}\begin{pmatrix} x_B - x_A \\ y_B - y_A \end{pmatrix} = \overrightarrow{DC}\begin{pmatrix} x_C - x_D \\ y_C - y_D \end{pmatrix} $$

      Soit :

      $$ x_B - x_A = x_C - x_D $$

      $$ x_D - x_A = x_C - x_B $$

      Et par suite,

      $$ y_B - y_A = y_C - y_D $$

      $$ y_D - y_A = y_C - y_B $$

      Soit finalement que,

      $$ \overrightarrow{AD}\begin{pmatrix} x_D - x_A \\ y_D - y_A \end{pmatrix} = \overrightarrow{BC}\begin{pmatrix} x_C - x_B \\ y_C - y_B \end{pmatrix} $$

    2. Par la relation de Chasles

      3. En démarrant de la relation :

      $$ \overrightarrow{AB} = \overrightarrow{DC} $$

      On utilise la relation de Chasles pour obtenir :

      $$ \overrightarrow{AD} + \overrightarrow{DB} = \overrightarrow{DB} + \overrightarrow{BC} $$

      Le vecteur \(\overrightarrow{DB}\) étant présent de part et d'autre, on peut l'éliminer :

      $$ \overrightarrow{AD} + \cancel{\overrightarrow{DB}} = \cancel{\overrightarrow{DB}} + \overrightarrow{BC} $$
      $$ \overrightarrow{AD} = \overrightarrow{BC} $$

    Or, un quadrilatère est un parallélogramme si et seulement s'il a deux côtés opposés deux-à-deux parallèles ou de même longueur.

    Ces deux côtés opposés deux-à-deux ont ces deux caractéristiques étant issues de deux vecteurs identiques.


    Alors, le quadrilatère \(ABCD\) est un parallélogramme.

  2. Par la somme de deux vecteurs

    3. Soient \((\overrightarrow{u}, \overrightarrow{v})\) deux vecteurs distincts.

    L'addition de ces deux vecteurs donnent la formation d'une parallélogramme.

    \(ABCD\) est un parallélogramme
    $$ ABCD \ est \ un \ parall\textit{é}logramme \Longleftrightarrow \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AD} = \overrightarrow{AC} $$

    On peut aussi l'exprimer ainsi :

    "La somme de deux vecteurs distincts forment la diagonale d'un parallélogramme"

    \(ABCD\) un parallélogramme (par la somme de deux vecteurs)

    Soit deux vecteurs \((\overrightarrow{AB}, \ \overrightarrow{AD})\) et un vecteur \(\overrightarrow{AC}\), la somme des deux précédents.

    On a alors :

    $$ \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AD} = \overrightarrow{AC} $$

    Puis,

    $$ \overrightarrow{AB} = \overrightarrow{AC} - \overrightarrow{AD} $$
    $$ \overrightarrow{AB} = \overrightarrow{DA} + \overrightarrow{AC} $$
    $$ \overrightarrow{AB} = \overrightarrow{DC} $$

    De la même manière, on montre que :

    $$ \overrightarrow{AD} = \overrightarrow{BC} $$

    Or, un quadrilatère est un parallélogramme si et seulement s'il a deux côtés opposés deux-à-deux parallèles ou de même longueur.

    Ces deux côtés opposés deux-à-deux ont ces deux caractéristiques étant issues de deux vecteurs identiques.


    Alors, le quadrilatère \(ABCD\) est un parallélogramme.

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