Problèmes sur les probabilités

On lance une pièce de monnaie équilibrée et on s'intéresse aux résultats sur trois lancers.

Calcul de probabilités avec deux dés

Évènement	Que des FACE	Au moins une fois FACE	Exactement deux fois FACE	Autre
Gain pour \(5 \ €\)	$$ 36 \ € $$	$$ 4 \ € $$	$$ 20 \ € $$	$$ -5 \ € $$

$6 \cap 6 $ : "Obtenir exactement un double $6$"

On appelle comme précédemment :

$ 6 $ : "Obtenir exactement un $6$"

Pour obtenir l'un et l'autre des deux évènements de manière indépendante, on fait la multiplication des deux, alors la probabilité d'obtenir un double $6$ est :

$$ P(6 \cap 6) = P(6) \times P(6) $$

$$ P(6 \cap 6) = \frac{1}{6} \times \frac{1}{6} $$

$$ P(6 \cap 6) = \frac{1}{36} $$

$Double $ : "Obtenir n'importe quel double"

On appelle l'évènement $ D_n $ l'évènement par lequel on obtient exactement un double $n$ :

$ D_1 $ : "Obtenir exactement un double $1$"
$ D_2 $ : "Obtenir exactement un double $2$"
...etc.

Pour obtenir n'importe quel double, il faut faire l'addition de tous les doubles possibles :

$$ P(Double) = P(D_1 \ ou \ D_2 \ ou \ D_3 \ ou \ D_4 \ ou \ D_5 \ ou \ D_6) $$

$$ P(Double) = P(D_1) + P(D_2) + P(D_3) + P(D_4) + P(D_5) + P(D_6) $$

On a calculé précédemment la probabilité de faire exactement un double, qui était de $\frac{1}{36}$.

$$ P(Double) = \frac{1}{36} + \frac{1}{36} + \frac{1}{36} + \frac{1}{36} + \frac{1}{36} + \frac{1}{36} $$

$$ P(Double) = \frac{6}{36} $$

$$ P(Double) = \frac{\cancel{6} \times 1 }{\cancel{6} \times 6} $$

$$ P(Double) = \frac{1}{6} $$

$\overline{6} \cap \overline{6}$ : "Ne pas obtenir de double $6$ du tout"

Ne pas obtenir de double $6$ du tout, revient à n'obtenir aucun $6$ aux deux lancers.

On appelle l'évènement $ \overline{6} $ :

$ \overline{6} $ : "N'obtenir aucun $6$ sur un lancer"

Alors, la probabilite de ne pas obtenir de double $6$ du tout est :

$$ P(\overline{6} \cap \overline{6}) = P(\overline{6} \ et \ \overline{6}) $$

$$ P(\overline{6} \cap \overline{6}) = P(\overline{6}) \times P(\overline{6}) $$

On a calculé précédemment cette probabilité $ P(\overline{6}) $, qui était de $\frac{5}{6}$.

$$ P(\overline{6} \cap \overline{6}) = \frac{5}{6} \times \frac{5}{6} $$

$$ P(\overline{6} \cap \overline{6}) = \frac{5 \times 5}{6 \times 6} $$

$$ P(\overline{6} \cap \overline{6}) = \frac{25}{36} $$

$ min(6) $ : "Obtenir au moins un $6$"

La probabilité d'obtenir au moins un $6$ est le contraire de n'en obtenir aucun, c'ést-à-dire son évènement complémentaire.

On appelle l'évènement :

$ \overline{6} \ et \ \overline{6} $ : "N'obtenir aucun $6$ sur deux lancers"

Alors, la probabilité de n'obtenir aucun $6$ sur deux lancers est :

$$ P\bigl(min(6)\bigr) = 1 - P(\overline{6} \ et \ \overline{6}) $$

On a calculé précédemment cette probabilité $ P(\overline{6} \ et \ \overline{6})$, qui était de $\frac{25}{36}$.

$$ P\bigl(min(6)\bigr) = 1 - \frac{25}{36} $$

$$ P\bigl(min(6)\bigr) = 1 \textcolor{#6187B2}{\times \frac{36}{36}} - \frac{25}{36} $$

$$ P\bigl(min(6)\bigr) = \frac{36}{36} - \frac{25}{36} $$

$$ P\bigl(min(6)\bigr) = \frac{36 - 25}{36} $$

$$ P\bigl(min(6)\bigr) = \frac{11}{36} $$

$ S \geqslant 7 $ : "La somme des dés est supérieure ou égale à $7$"

Le tirage couleur au Texas Hold'em

Lors d'une main de Texas Hold'em Poker, quatre joueurs sont encore en jeu après le flop.

Problèmes sur les probabilités

Pile ou face

Calcul de probabilités avec deux dés

Le tirage couleur au Texas Hold'em