Probabilités

Une probabilité

Une probabilité est la chance de réussite d'un certain évènement $E$.

Elle est toujours comprise entre $0$ et $1$.

$$ 0 \leqslant P(E) \leqslant 1 $$

Si on exprime cette probabilité en $\%$, dans ce cas :

$$ 0 \ \% \leqslant P(E) \leqslant 100 \ \% $$

De manière générale, la probabilité d'occurrence d'un évènement $E$ est définie comme :

$$ P(E) = \frac{nombre \ de \ cas \ d'occurrence \ de \ l'\textit{é}v\textit{è}nement}{nombre \ de \ cas \ possibles} $$

Définitions

Le cardinal : $\Omega$

On appelle $\Omega$ le cardinal d'un ensemble, c'est-à-dire la totalité de toutes les possibilités.

Par conséquent, $P(\Omega)$ est l'évènement certain et :

$$ P(\Omega) = 1$$

Un évènement contraire : $\overline{E}$

Soit un évènement se produit, soit il ne se produit pas, et on note $ \overline{E} $ son évènement contraire.

$$ P(\overline{E}) = 1 - P(E) $$

L'évènement contraire : $P(\overline{E})$

Intersections/unions

Soient deux ensembles $(A, \ B)$.

Soit ils sont joints, c'est-à-dire qu'ils ont des éléments communs :

Soit ils sont disjoints, c'est-à-dire qu'ils n'ont aucun élément commun :

La probabilité d'une intersection : $P(A \cap B)$

L'intersection est associée à l'opérateur logique "$ET$", et se traduit en général par une multiplication.

Proposition	$$ A $$	$$ B $$	$$ A \land B $$
États logiques	$$ V $$	$$ V $$	$$ \textcolor{#4A8051}{V} $$
	$$ V $$	$$ F $$	$$ \textcolor{#AB6464}{F} $$
	$$ F $$	$$ V $$	$$ \textcolor{#AB6464}{F} $$
	$$ F $$	$$ F $$	$$ \textcolor{#AB6464}{F} $$

états logiques de l'pérateur "$ET$"

Si $A$ et $B$ sont joints

C'est ce que deux évènements ont en commun.

La probabilité d'une intersection : $P(A \cap B)$

Par défaut, la probabilité d'une intersection de deux évènements joints $A$ et $B$ est le résultat de leur multiplication :

$$\forall (A,B) \ joints,$$

$$ P(A \cap B) = P(A) \times P(B) $$

Exemple : "piocher une dame" et "piocher une carte rouge" dans un jeu de $52$ cartes

On a les deux évènements :

$Dame$ : "Tirer une dame"
$Rouge$ : "Tirer une carte rouge"

Alors, cela revient à faire :

$$P(Dame \cap Rouge) = P(Dame) \times P(Rouge)$$

$$P(Dame \cap Rouge) = \frac{1}{13} \times \frac{1}{2}$$

$$P(Dame \cap Rouge) = \frac{1}{26}$$

Si $A$ et $B$ sont disjoints

Dans ce cas, il n'y pas d'intersection et :

$$\forall (A,B) \ disjoints,$$

$$ P(A \cap B) = 0 $$

La probabilité d'une union : $P(A \cup B)$

L'union est associée à l'opérateur logique "$OU$", et se traduit en général par une addition.

Proposition	$$ A $$	$$ B $$	$$ A \lor B $$
États logiques	$$ V $$	$$ V $$	$$ \textcolor{#4A8051}{V} $$
	$$ V $$	$$ F $$	$$ \textcolor{#4A8051}{V} $$
	$$ F $$	$$ V $$	$$ \textcolor{#4A8051}{V} $$
	$$ F $$	$$ F $$	$$ \textcolor{#AB6464}{F} $$

états logiques de l'pérateur "$OU$"

Si $A$ et $B$ sont joints

C'est ce que deux évènements ont en commun, plus ce qu'ils ont de propre à chacun.

La probabilité des évènement $P(A)$, $P(B)$ et $P(A \cap B)$

Sur la figure précédente, pour obtenir la probabilité de l'union des évènements $A$ et $B$, il faut retirer l'intersection $P(A \cap B)$ car elle est présente en doublons. Alors :

$$\forall (A,B) \ joints,$$

$$ P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B) $$

Exemple : "piocher une dame" ou "piocher une carte rouge" dans un jeu de $52$ cartes

On a les deux évènements :

$Dame$ : "Tirer une dame"
$Rouge$ : "Tirer une carte rouge"

Alors, cela revient à faire :

$$ P(Dame \cup Rouge) = P(Dame) + P(Rouge) - P(Dame \cap Rouge)$$

On a calculé plus la probabilité $P(Dame \cap Rouge)$

$$P(Dame \cup Rouge) = \frac{1}{13} + \frac{1}{2} - \frac{1}{26}$$

$$P(Dame \cup Rouge) = \frac{1}{13}\textcolor{#6187B2}{\times \frac{2}{2}} + \frac{1}{2}\textcolor{#6187B2}{\times \frac{13}{13}} - \frac{1}{26}$$

$$P(Dame \cup Rouge) = \frac{2}{26} + \frac{13}{26} - \frac{1}{26}$$

$$P(Dame \cup Rouge) = \frac{14}{26} $$

$$P(Dame \cup Rouge) = \frac{7}{13} $$

Si $A$ et $B$ sont disjoints

Dans ce cas, la probabilité de l''union des deux évènements est simplement leur addition :

$$\forall (A,B) \ disjoints,$$

$$ P(A \cup B) = P(A) + P(B) $$

Calcul d'une espérance : $E(X)$

Si l'on souhaite calculer si un jeu est rentable, on calcule l'espérance de celui-ci.

On définit alors une loi de probabilités avec à chaque évènement :

un gain associée à cet évènement
une probabilité de l'occurrence de cet évènement

À l'aide du tableau suivant :

Évènement	$$E_1$$	$$E_2$$	$$\dots$$	$$E_n$$
Gain (€)	$$ x_1 $$	$$ x_2 $$	$$ \dots $$	$$ x_n $$
Probabilité	$$ p_1 $$	$$ p_2 $$	$$ \dots $$	$$ p_n $$

On définit l'espérance d'un jeu par :

$$ E(X) = x_1 \ p_1 + x_2 \ p_2 + \ \dots \ + x_n \ p_n $$

$$avec \ X = \Bigl \{ \bigl \{ x_1 \ p_1 \bigr \}, \bigl \{ x_2 \ p_2 \bigr \}, \dots, \bigl \{ x_n \ p_n \bigr \} \Bigr \}$$

Ou sous forme de somme :

$$ E(X) = \sum_{k = 1}^n x_k \ p_k $$

Probabilités

Définitions

Intersections/unions

Calcul d'une espérance : \(E(X)\)