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Problèmes de géométrie euclidienne

L'équation d'un cercle

Sur la figure suivante, dessiner un cercle \( \mathscr{C}\), de centre \(O\), et de rayon \((R = 3) \).

Sur ce cercle, on imagine un point mobile \(M\left[ x; y \right] \). L'équation du cercle \( \mathscr{C}\) est l'intégralité des points \(M\) possibles en fonction de \((x,y)\).

En appliquant le théorème de Pythagore au point \(M\), déterminer l'équation de \( \mathscr{C}\).

L'aire d'un trapèze

L'aire d'un trapèze (avec \(a\) comme plus grand côté et \(b\) comme plus petit côté) vaut :

Démontrer cette proposition.

On ajoute sur la figure, duex longueurs \((b_1, b_2)\) :

Alors, on peut dire que l'aire du trapèez vaut l'aire du rectangle, auquel on retire les aires des deux triangles présents sur les bords.

$$ \mathcal{A}_{trap\textit{è}ze} = \mathcal{A}_{rectangle} - \mathcal{A}_{\Delta_1} - \mathcal{A}_{\Delta_2}$$

$$ \mathcal{A}_{trap\textit{è}ze} = ah - \frac{b_1 \times h}{2} - \frac{b_2 \times h}{2}$$

Or, \(a = b_1 + b + b_2\), donc :

$$ \mathcal{A}_{trap\textit{è}ze} = (b_1 + b + b_2)h - \frac{b_1 \times h}{2} - \frac{b_2 \times h}{2}$$

On factorise par \(h\) :

$$ \mathcal{A}_{trap\textit{è}ze} = h \left[ (b_1 + b + b_2)- \frac{b_1}{2} - \frac{b_2}{2} \right]$$

$$ \mathcal{A}_{trap\textit{è}ze} = h \left[ \textcolor{#6187B2}{\frac{2}{2} \times}(b_1 + b + b_2)- \frac{b_1}{2} - \frac{b_2}{2} \right]$$

$$ \mathcal{A}_{trap\textit{è}ze} = h \left[ \frac{2b_1 + 2b + 2b_2- b_1 - b_2}{2} \right]$$

$$ \mathcal{A}_{trap\textit{è}ze} = h \left[ \frac{b_1 + 2b + b_2}{2} \right]$$

$$ \mathcal{A}_{trap\textit{è}ze} = h \left( \frac{\overbrace{b_1 + b + b_2} ^\text{\(= a\)} + b}{2} \right)$$

$$ \mathcal{A}_{trap\textit{è}ze} = \frac{(a+b) \times h}{2} $$

Triangle de proportions \((3 \ / \ 4 \ / \ 5)\)

Soit un \( k \in \hspace{0.03em} \mathbb{R}^+ \) un réel positif, et un triangle de longueurs respectives \( \Bigl \{ a = 3k, \ b = 4k, \ c = 5k \Bigr \} \).

Démontrer la proposition suivante :

Tout triangle de proportions \((3 \ / \ 4 \ / \ 5)\) est un triangle rectangle

Application du théorème de Pythagore

1. Détermination de longueurs dans un triangle rectangle

On dispose du triangle rectangle \(\bigl \{ a, b, c\bigr\}\) suivant :



Calculer la valeur de(s) la longueur(s) manquante(s) :

Dans tous ces exercices, le triangle \(\Bigl \{ a, b , c \Bigr \}\) est rectangle, donc le théorème de Pythagore s'applique.

1. $$ \Bigl \{ a = 12, \ b = ?, \ c = 20 \Bigr \} $$
$$ a^2 + b^2 = c^2 $$
$$ 12^2 + b^2 = 20^2 $$
$$ b^2 = 20^2 - 12^2 $$
$$ b^2 = 400 - 144 $$
$$ b^2 = 256 $$
$$ b = \sqrt{256} $$
$$ b = 16 $$
2. $$ \Bigl \{ a = \frac{3}{4}, \ b = \frac{3}{4}, \ c = ? \Bigr \} $$
$$ a^2 + b^2 = c^2 $$
$$ \left(\frac{3}{4}\right)^2 + \left(\frac{3}{4}\right)^2 = c^2 $$
$$ \frac{9}{16} + \frac{9}{16} = c^2 $$
$$ \frac{18}{16} = c^2 $$
$$ \frac{9}{8} = c^2 $$
$$ c = \sqrt{\frac{9}{8}} $$
$$ c = \frac{3}{\sqrt{8}} $$
$$ c = \frac{3}{2\sqrt{2}} $$
3. $$\Bigl \{ \textcolor{#AB6464}{\alpha = 30°}\Bigr \} \Bigl \{ a = ?, \ b = ?, \ c = 10 \Bigr \} $$

Ici, il faut se servir de la trigonométrie; on va d'abord déterminer \(a\) ou \(b\) grâce à l'angle \(\alpha\) :

$$sin(\alpha) = \frac{a}{c}$$

$$a = c \times sin(\alpha) $$

$$a = 10\times \frac{1}{2} $$

$$ a = 5 $$

Puis on peut utiliser le théorème :

$$ 5^2 + b^2 = 10^2 $$

$$ b^2 = 10^2 - 5^2$$

$$ b^2 = 100- 25$$

$$ b = \sqrt{75} $$

$$ b = 5 \sqrt{3} $$
4. $$\Bigl \{ \textcolor{#4A8051}{\beta = 45°}\Bigr \} \Bigl \{ a = ?, \ b = 5, \ c = ? \Bigr \} $$

Ici, il faut se servir de la trigonométrie; on va d'abord déterminer \(a\) grâce à l'angle \(\beta\) :

$$tan(\beta) = \frac{b}{a}$$

$$a = \frac{b}{tan(\beta)} $$

$$a = \frac{5}{1} $$

$$a = 5 $$

Puis on peut utiliser le théorème :

$$ 5^2 + 5^2 = c^2 $$

$$ 50 = c^2 $$

$$ c = \sqrt{50} $$

$$ c = \sqrt{25 \times 2} $$

$$ c = \sqrt{25} \times \sqrt{2} $$

$$ c = 5 \sqrt{2} $$

2. Vérification du caractère rectangle d'un triangle

On dispose du triangle ordinaire \(\bigl \{ a, b, c\bigr\}\) suivant :



Vérifier si le triangle est rectangle dans les cas suivants :

1. $$ \Bigl \{ a = 4, \ b = 5, \ c = 6 \Bigr \} $$
$$ a^2 + b^2 = 4^2 + 5^2 $$

$$ a^2 + b^2 = 16 + 25 $$

$$ a^2 + b^2 = 41 $$

$$c^2 = 6^2 $$

$$c^2 = 36 $$

Alors,

$$ a^2 + b^2 \neq c^2 $$

En utilisant la contraposée du théorème de Pythagore :

$$ a^2 + b^2 \neq c^2 \Longrightarrow (a \cancel{\perp} b) \qquad \bigl(Pythagore \enspace(contrapos\textit{é}e) \bigr) $$




On en conclue que le triangle n'est pas rectangle.

2. $$ \Bigl \{ a = 2, \ b = 4, \ c = 6 \Bigr \} $$
$$ a^2 + b^2 = 2^2 + 4^2 $$

$$ a^2 + b^2 = 4 + 16 $$

$$ a^2 + b^2 = 20 $$

$$c^2 = 6^2 $$

$$c^2 = 36 $$

Alors,

$$ a^2 + b^2 \neq c^2 $$

En utilisant la contraposée du théorème de Pythagore :

$$ a^2 + b^2 \neq c^2 \Longrightarrow (a \cancel{\perp} b) \qquad \bigl(Pythagore \enspace(contrapos\textit{é}e) \bigr) $$




On en conclue que le triangle n'est pas rectangle.

3. $$ \left \{ a = \frac{5}{3}, \ b = \frac{\sqrt{11}}{3}, \ c = 2 \right \} $$
$$ a^2 + b^2 = \left( \frac{5}{3} \right)^2 + \left( \frac{\sqrt{11}}{3} \right)^2$$

$$ a^2 + b^2 = \frac{5^2}{3^2} + \frac{\sqrt{11}^2}{3^2} $$

$$ a^2 + b^2 = \frac{25}{9} + \frac{11}{9} $$

$$ a^2 + b^2 = \frac{36}{9} $$

$$ a^2 + b^2 = 4 $$

$$c^2 = 2^2 $$

$$c^2 = 4 $$

Alors,

$$ a^2 + b^2 = c^2 $$

En utilisant la réciproque du théorème de Pythagore :

$$ a^2 + b^2 = c^2 \Longrightarrow (a \perp b) \qquad \bigl(Pythagore \enspace(r\textit{é}ciproque) \bigr) $$




On en conclue que le triangle est rectangle.

4. $$ \left \{ a, \hspace{1em} b = \frac{3}{4}a, \hspace{1em} c = \frac{5}{4}a \right \} $$
$$ a^2 + b^2 = a^2 + \left( \frac{3}{4}a \right)^2$$

$$ a^2 + b^2 = a^2 + \frac{3^2}{4^2}a^2 $$

$$ a^2 + b^2 = a^2 + \frac{9}{16}a^2 $$

On met au même dénominateur :

$$ a^2 + b^2 = \textcolor{#6187B2}{\frac{16}{16}} a^2 + \frac{9}{16}a^2 $$

$$ a^2 + b^2 = \frac{25}{16} a^2 $$

$$c^2 = \left( \frac{5}{4}a \right)^2 $$

$$ c^2 = \frac{5^2}{4^2}a^2 $$

$$ c^2 = \frac{25}{16}a^2 $$

Alors,

$$ a^2 + b^2 = c^2 $$

En utilisant la réciproque du théorème de Pythagore :

$$ a^2 + b^2 = c^2 \Longrightarrow (a \perp b) \qquad \bigl(Pythagore \enspace(r\textit{é}ciproque) \bigr) $$




On en conclue que le triangle est rectangle.

Le quadrilatère inscrit dans un autre quadrilatère

Dessiner un quadrilaètre quelconque \(ABCD\).

Ajouter à cette figure les points \((I, J, K, L)\) qui sont les milieux respectifs de \( \Bigl(\bigl[AB \bigr], \bigl[BC \bigr], \bigl[CD \bigr], \bigl[DA \bigr] \Bigr)\).

1. Quelle semble être la nature du quadrilatère \(IJKL\) ?

Le quadrilatère \(IJKL\) semble être un parallélogramme.

2. Démontrer cette proposition à l'aide de théorèmes.

Utilisons le corollaire de Thalès.

1. Dans les triangles \(ABD\) et \(BCD\)

Comme \(I\) et \(L\) sont respectivement les milieux des longueurs \(\bigl[AB \bigr]\) et \(\bigl[AD \bigr]\), alors par la réciproque du corollaire du théorème de Thalès :

$$ (IL) \parallel (BD) $$

En effectuant le même raisonnement dans le triangle, on obtient comme deuxième résultat que :

$$ (JK) \parallel (BD) $$

Les deux droites \((IL)\) et \((JK)\) étant parallèles à une même droite, elles sont aussi parallèles entre elles, et :

$$ (JK) \parallel (BD) $$

2. Dans les triangles \(ABC\) et \(ACD\)

En effectuant le même raisonnement dans ces deux nouveaux triangles, on obtient deux nouvelles relatiions :

$$ (IJ) \parallel (AC) $$
$$ (LK) \parallel (AC) $$

Ce qui nous mène de la même manière à :

$$ (IJ) \parallel (LK) $$

3. Conclusion

Étant donné que le quadrilatère \(IJKL\) a deux droites parallèles deux-à-deux, c'est un parallélogramme.

Démonstration des formules du sinus

À l'aide des formules de trigonométrie suivantes :

Et des valeurs remarquables du cercle :

Démontrer les formules suivantes :

1. Périodicité

$$ \forall \theta \in \mathbb{R}, \ \forall k \in \hspace{0.03em} \mathbb{Z}, $$
$$sin(\theta + 2k \pi) = sin(\theta) $$
$$ sin(\theta + 2k \pi) = sin(\theta) cos(2k \pi) + sin(2k \pi) cos(\theta) $$
Or,
$$ \forall k \in \mathbb{Z}, \enspace \Biggl \{ \begin{gather*} cos(2k \pi) = 1 \\ sin(2k \pi) = 0 \end{gather*} $$
Donc,
$$ sin(\theta + 2k \pi) = sin(\theta) $$

2. En fonction de \(\pi\)

1. Addition

$$ \forall \theta \in \mathbb{R}, $$
$$sin(\pi + \theta) = - sin(\theta) $$
$$ sin(\theta + \pi) = sin(\theta) cos(\pi) + sin(\pi) cos(\theta) $$
Or,
$$ \Biggl \{ \begin{gather*} cos(\pi) = -1 \\ sin(\pi) = 0 \end{gather*} $$
Donc,
$$ sin(\theta + \pi) = -sin(\theta) $$

2. Soustraction

$$ \forall \theta \in \mathbb{R}, $$
$$sin(\pi - \theta) = sin(\theta) $$
$$ sin(\pi - \theta) = sin(\theta) cos(\pi) - sin(\pi) cos(\theta) $$
Or,
$$ \Biggl \{ \begin{gather*} cos(\pi) = -1 \\ sin(\pi) = 0 \end{gather*} $$
Donc,
$$ sin(\theta + \pi) = -sin(\theta) $$

3. En fonction de \(\pi \over 2 \)

1. Addition

$$ \forall \theta \in \mathbb{R}, $$
$$sin\left(\frac{ \pi}{2} + \theta \right) = cos(\theta) $$
$$ sin\left(\frac{ \pi}{2} + \theta \right) = sin\left(\frac{ \pi}{2}\right) cos(\theta) + sin(\theta) cos\left(\frac{ \pi}{2}\right) $$
Or,
$$ \left \{ \begin{gather*} sin\left(\frac{ \pi}{2}\right) = 1 \\ \\ cos\left(\frac{ \pi}{2}\right) = 0 \end{gather*} \right \} $$
Donc,
$$ sin\left(\frac{ \pi}{2} + \theta \right) = cos(\theta) $$

2. Soustraction

$$ \forall \theta \in \mathbb{R}, $$
$$sin\left(\frac{ \pi}{2} - \theta \right) = cos(\theta) $$
$$ sin\left(\frac{ \pi}{2} - \theta \right) = sin\left(\frac{ \pi}{2}\right) cos(\theta) - sin(\theta) cos\left(\frac{ \pi}{2}\right) $$
Or,
$$ \left \{ \begin{gather*} sin\left(\frac{ \pi}{2}\right) = 1 \\ \\ cos\left(\frac{ \pi}{2}\right) = 0 \end{gather*} \right \} $$
Donc,
$$ sin\left(\frac{ \pi}{2} - \theta \right) = cos(\theta) $$

Construction d'un hexagone régulier

Sur la figure suivante :

1. Construction

1. Construire un cercle \( \mathscr{C}\) de centre \(O\), et de rayon \((R = 4) \).

2. Prendre la mesure du rayon au compas, et reporter une marque sur le cercle du côté droit.

3. Répéter ce processus, jusqu'à retomber sur le point de départ.

2. Démonstrations

Rejoindre les trois droites passant par les sommets, et par le centre du cercle.

Ensuite, rejoindre les six côtés qui forment un hexagone.



1. Déduire de la construction que les six triangles internes à un hexagone sont des triangles équilatéraux.

Par construction, on a reporté le rayon \(R\) pour créer les six côtés longeant le cercle. Chaque triangle est donc bien équilatéral.




Autrement, on peut aussi simplement dire que chaque triangle a deux côtés égaux (le rayon \(R\)) joints sur un angle de \(60°\). Ce qui veut dire que les deux angles restants sont nécessairement égaux aussi, et donc valent de fait \(60°\) chacun.

2. En déduire la valeur de la somme des angles d'un hexagone.

Comme chaque triangle interne est équilatéral, la somme de chaque angle adjacent vaut \(120°\). Et comme il y en a six en tout, cette somme vaut :

$$ S_{angles} = 720° $$

3. Que vaut alors l'aire d'un hexagone, exprimée en fonction du rayon \(R\) ?

Cmmme chaque triangle est équilatéral, la hauteur tombe au milieu du côté opposé, et cette hauteur peut être calculé avec le théorème de Pythagore :

En appelant \(l\) la longueur des triangles équilateraux, et la hauteur à déterminer \(h\) on a :

$$ \left( \frac{l}{2} \right)^2 + h^2 = l^2 $$

$$ \frac{l^2}{4} + h^2 = l^2 $$

$$ h^2 = l^2 - \frac{l^2}{4}$$

$$ h^2 = \textcolor{#6187B2}{\frac{4}{4}}l^2 - \frac{l^2}{4}$$

$$ h^2 = \frac{3}{4}l^2$$

$$ h = \frac{\sqrt{3}}{2}l$$

On peut maintenant calculer l'aide d'un triangle équilatéral :

$$ \mathcal{A}_{triangle} = \frac{1}{2}lh$$

$$ \mathcal{A}_{triangle} = \frac{1}{2}l \times \frac{\sqrt{3}}{2}l $$

$$ \mathcal{A}_{triangle} = \frac{\sqrt{3}}{4}l^2 $$




On en a six, donc l'aire d'un héxagone régulier vaut :

$$ \mathcal{A}_{h\textit{é}xagone} = 6 \times \frac{\sqrt{3}}{4}l^2 $$

$$ \mathcal{A}_{h\textit{é}xagone} = \frac{3\sqrt{3}}{2}l^2 $$

Deux triangles rectangles imbriqués

Soit \(ABC\), triangle rectangle en \(B\).

On a ajouté \(K\), le milieu de \(\bigl[BC \bigr]\) et on a projeté la droite \((MK)\) se projetant orthogonalement sur le côté \(\bigl[ AC \bigr]\) au point \(M\).

On dispose des valeurs suivantes :

Que valent les longueurs \(MK\), \(MC\) et \(AM\) ?

Étant donné que \(ABC\) et \(MKC\) sont deux triangles rectangles, ayant un angle commun sur le sommet \(C\), ils sont nécessareiemnt semblables, on alors ajouté les angles correspondants sur la figure suivante :

1. Calcul de l'angle \(\alpha\)

Calculons alors la valeur de l'angle \(\alpha\) à l'aide de la trigonométrie :

$$ tan(\alpha) = \frac{\bigl[BC\bigr]}{\bigl[AB\bigr]} $$
$$ tan(\alpha) = \frac{6}{4} $$
$$ tan(\alpha) = \frac{3 \times \cancel{2}}{2 \times \cancel{2}} $$
$$ tan(\alpha) = \frac{3}{2} $$

Alors,

$$ Arctan\bigl(tan(\alpha) \bigr) = Arctan\left(\frac{3}{2}\right) $$
$$ \alpha = Arctan\left(\frac{3}{2}\right) $$

2. Calcul de la longueur \(\bigl[MK\bigr]\)

On détermine maintenant le segment \(\bigl[MK\bigr]\), cette fois avec le sinus de l'angle \(\alpha\) :

$$ cos(\alpha) = \frac{\bigl[MK\bigr]}{\bigl[KC\bigr]} $$

\(K\) est le milieu de \(\bigl[BC\bigr]\), donc \(\bigl[BC\bigr] = 3\), et :

$$ cos\left[ Arctan\left(\frac{3}{2}\right) \right] = \frac{\bigl[MK\bigr]}{3} $$
$$ \bigl[MK\bigr] = 3 \ cos\left[ Arctan\left(\frac{3}{2}\right) \right] $$

3. Calcul de la longueur \(\bigl[AM\bigr]\)

Connaissant la longueur \(\bigl[MC\bigr]\), nous allons pouvoir déduire \(\bigl[AM\bigr]\) de \(\bigl[AC\bigr]\) en effectuant la soustraction.

D'abord, calculons la longueur \(\bigl[AC\bigr]\) avec Pythaogore :

$$ \bigl[AB\bigr]^2 + \bigl[BC\bigr]^2 = \bigl[AC\bigr]^2 $$
$$ 4^2 + 6^2 = \bigl[AC\bigr]^2 $$
$$ 16 + 36 = \bigl[AC\bigr]^2 $$
$$ 52 = \bigl[AC\bigr]^2 $$
$$ \bigl[AC\bigr] = \sqrt{52} $$

Alors, comme :

$$ \bigl[AM\bigr] + \bigl[MC\bigr] = \bigl[AC\bigr] $$
$$ \bigl[AM\bigr] = \bigl[AC\bigr] - \bigl[MC\bigr] $$

Puis on remplace,

$$ \bigl[AM\bigr] = \sqrt{52} - 3 \ sin\left[ Arctan\left(\frac{3}{2}\right) \right] $$

Relations trigonométriques

Soit un triangle rectangle ordinaire \(\bigl \{ a, b, c\bigr\}\) :

On a :

1. Calculer les autres rapports trigonométriques de l'angle \(\alpha\) : (\(cos(\alpha), \ tan(\alpha)\)).

Aide :

Normalement, prendre la racine carrée d'un carré revient à prendre la valeur absolue :

$$ \sqrt{x^2} = |x| $$




Ainsi, la valeur absolue de \(cos(\alpha)\) vaut :

$$ \forall k \in \hspace{0.03em} \mathbb{Z}, \ \forall \alpha \in \mathbb{R}, $$

$$ \bigl|cos(\alpha) \bigr| = \left \{ \begin{gather*} cos(\alpha) \hspace{2em} \left(si \ -\frac{\pi}{2} + 2k\pi \leqslant \alpha \leqslant \frac{\pi}{2} + 2k\pi \right) \\ -cos(\alpha) \hspace{2em} \left(si \ \frac{\pi}{2} + 2k\pi < \alpha < \frac{3\pi}{2} + 2k\pi \right) \end{gather*} \right \} $$





Mais comme nous sommes dans le cas d'un triangle rectangle, les deux autres angles du triangle sont nécessairement des angles aigus, et le cosinus est toujours positif et :

$$ \sqrt{cos^2(x)} = cos(x) $$

1. Calcul de \(cos(\alpha)\)

On sait par la relation fondamentale que :

$$ cos^2(\alpha) + sin^2(\alpha) = 1 $$

Donc, par suite,

$$ cos^2(\alpha) = 1 - sin^2(\alpha) $$
$$ cos(\alpha) = \sqrt{ 1 - sin^2(\alpha) } $$

Ici, on a :

$$ sin(\alpha) = \frac{\sqrt{3}}{2} $$

Donc,

$$ cos(\alpha) = \sqrt{ 1 - \left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right)^2 } $$
$$ cos(\alpha) = \sqrt{ 1 - \frac{3}{4} } $$
$$ cos(\alpha) = \sqrt{ \frac{1}{4} } $$
$$ cos(\alpha) = \frac{1}{2} $$

2. Calcul de \(tan(\alpha)\)

Ici, on utilise simplement la formule de la définition de la tangente :

$$ tan(\alpha) = \frac{sin(\alpha)}{cos(\alpha)}$$
$$ tan(\alpha) = \frac{\frac{\sqrt{3}}{2}}{\frac{1}{2}}$$
$$ tan(\alpha) = \frac{\sqrt{3}}{2} \times 2 $$
$$ tan(\alpha) = \sqrt{3} $$

2. En déduire des rapports trigonométriques de l'angle \(\beta\).

Comme les \(\alpha\) et \(\beta\) sont des angles complémentaires, alors on utilise les deux formules suivantes :

$$sin\left(\frac{ \pi}{2} - \theta \right) = cos(\theta) $$

$$cos\left(\frac{\pi}{2} - \theta \right) = sin(\theta) $$

Et on obtient alors que :

$$ \left \{ \begin{gather*} sin(\alpha) = \frac{1}{2} \\ \\ cos(\alpha) = \frac{\sqrt{3}}{2} \end{gather*} \right \} $$

3. Que valent finalement les angles \(\alpha\) et \(\beta\) ?

Déterminons tout d'abord la valeur de l'angle \(\alpha\) :

$$ \alpha = Arcsin\left( \frac{\sqrt{3}}{2} \right)$$

$$ \alpha = 60° $$

Comme nous sommes dans un triangle rectangle, il est évident que le dernier angle \(\beta\) vaut :

$$ \beta = 30° $$

Deux cercles tangents

On dispose de deux cercles tangents entre eux, de rayon respectif \(R\) et \(r\), et de centres respectifs \(O\) et \(O'\).

On a fait en sorte que les diamètres \( \bigl[AB \bigr] \) et \( \bigl[A'B' \bigr] \) soient parallèles entre eux.

1. Justifier que les points \((O, O', K)\) sont alignés.

On sait par hypothèse que les droites \((AB)\) et \((A'B')\) sont parallèles entre elles, donc le théorème de Thalès s'applique et on obtient les trois rapports identiques suivants :

$$ \exists k \in \mathbb{R}, \enspace k = \frac{\bigl[KA'\bigr]}{\bigl[KA\bigr]} = \frac{\bigl[KB'\bigr]}{\bigl[KB\bigr]} = \frac{\bigl[A'B'\bigr]}{\bigl[AB\bigr]} \qquad (1) $$

Du troisième rapport, on tire que :

$$ k = \frac{\bigl[A'B'\bigr]}{\bigl[AB\bigr]} = \frac{\bigl[A'O'\bigr] + \bigl[O'B'\bigr]}{\bigl[AO\bigr] + \bigl[OB\bigr]} $$

Mais, comme par définition, \(O\) et \(O'\) sont les milieux respectifs des segments \(\bigl[AB\bigr]\) et \(\bigl[A'B'\bigr]\) :

$$ k = \frac{\bigl[A'B'\bigr]}{\bigl[AB\bigr]} = \frac{2\bigl[A'O'\bigr]}{2\bigl[AO\bigr]} $$

$$ k = \frac{\bigl[A'B'\bigr]}{\bigl[AB\bigr]} = \frac{\bigl[A'O'\bigr]}{\bigl[AO\bigr]} \qquad(2) $$




Les rapports étant tous égaux entre eux (à \(k\)), en reprenant un des rapport de l'expression \((1)\) et une autre de l'expression \((2)\), on a :

$$ k = \frac{\bigl[KA'\bigr]}{\bigl[KA\bigr]} = \frac{\bigl[A'O'\bigr]}{\bigl[AO\bigr]} \qquad(3) $$




On se trouve alors dans une configuration où s'aplique le théorème de Thalès, ce qui implique obligatoirement que les trois points \((O, O', K)\) sont alignés.

Ainsi, on peut aussi y ajouter la troisème relation :

$$ k = \frac{\bigl[KA'\bigr]}{\bigl[KA\bigr]} = \frac{\bigl[KO'\bigr]}{\bigl[KO\bigr]} = \frac{\bigl[A'O'\bigr]}{\bigl[AO\bigr]} \qquad(3^*) $$

2. En fonction de \((R, \ r)\), déterminer la valeur de \( \bigl[OO' \bigr] \), puis en déduire la valeur de \( \bigl[OK \bigr] \) ainsi que de \( \bigl[O'K \bigr] \).

1. Valeur de \( \bigl[OO' \bigr] \)

Comme les cercles sont tangents, on a directement que :

$$ \bigl[O'O\bigr] = (R + r) $$

2. Valeur de \( \bigl[KO' \bigr] \)

En appliquant à nous le théorème de Thalès mais cette fois dans le triangle restreint, on a :

$$ k = \frac{\bigl[KA'\bigr]}{\bigl[KA\bigr]} = \frac{\bigl[KO'\bigr]}{\bigl[KO\bigr]} = \frac{\bigl[A'O'\bigr]}{\bigl[AO\bigr]} \qquad(3^*) $$

Soit, en ne conservant que les deux derniers membres :

$$ \frac{r}{R} = \frac{\bigl[KO'\bigr]}{\bigl[KO'\bigr] + \bigl[O'O\bigr]} $$
$$ \frac{r}{R} = \frac{\bigl[KO'\bigr]}{\bigl[KO'\bigr] + (R + r)} $$
$$ r \Bigl( \bigl[KO'\bigr] + (R + r) \Bigr) = R\bigl[KO'\bigr] $$
$$ r \bigl[KO'\bigr] + r(R + r) = R\bigl[KO'\bigr] $$
$$ r \bigl[KO'\bigr] - R\bigl[KO'\bigr] = - r(R + r)$$
$$\bigl[KO'\bigr] \left(r - R\right) = - r(R + r)$$
$$\bigl[KO'\bigr] = - \frac{r(R + r)}{r - R} $$
$$\bigl[KO'\bigr] = \frac{r(R + r)}{R - r} $$

3. Valeur de \( \bigl[KO \bigr] \)

C'est simplement l'addition des deux, étant donné que les points sont alignés :

$$ \bigl[KO \bigr] = \bigl[OO' \bigr] + \bigl[KO' \bigr]$$
$$ \bigl[KO \bigr] = (R + r) + \frac{r(R + r)}{R - r} $$

Le calcul de la ligne droite Rennes-Seattle

On dispose des coordonnées GPS suivantes :

On admettra par approximation que ces deux villes ont la même latitude.

Que représente cette distance en restant à cette même latitude ? Sachant que le rayon de la Terre est de \((R = 6 \ 378 \ km)\).

Théorème de Pythagore et demi-circonférences

Soit un triangle \(ABC\), rectangle en \(A\).

Sur ce triangle, on y a ajouté les trois cironférences (côté haut) des côtés \(\bigl[AB\bigr]\), \(\bigl[BC\bigr]\) et \(\bigl[AC\bigr]\), et tel que la figure suivante.

On appelle \(S_{ABC}\) la surface du triangle \(ABC\).

De plus, on introduit les deux sommes \((S_1, \ S_2)\), étant les surfaces respectives des demi-circonférences issues de \(\bigl[AB\bigr]\) et \(\bigl[AC\bigr]\), et auxquelles on a retiré la partie de la demi-circonférence issue de \(\bigl[BC\bigr]\).

Démontrer que :

Le yin/yang

Le yin/yang est un des emblèmes de la philosophie chinoise. Beaucoup utilisé dans le taoïsme, il symbolise :

• la nature double des choses (le féminin/masculin, le vide/plein, le chaud/froid, le dur/souple...etc.)

• le mouvement perpétuel de la vie.

La partie sombre représente la partie féminine, et la partie claire la partie masculine.

Étant en mouvement perpétuel, les deux aires - sombre et claire - le sont elles aussi.

Sur la figure suivante, on a représenté le diamètre \(\bigl[AB \bigr]\), ainsi qu'un point mobile sur ce diamètre, le point \(K\) :

Montrer que le rapport entre les deux aires est proportionnel au rapport entre les deux longueurs séparées par \(K\), à savoir :