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Problèmes de géométrie euclidienne

L'aire d'un trapèze droit

L'aire d'un trapèze droit (avec \(a\) comme plus grand côté et \(b\) comme plus petit côté) vaut :

Démontrer cette proposition.

Construction d'un hexagone régulier

Sur la figure suivante :

1. Construction

1. Construire un cercle \( \mathscr{C}\) de centre \(O\), et de rayon \((R = 4) \).

2. Prendre la mesure du rayon au compas, et reporter une marque sur cercle du côté droit.

3. Répéter ce processus, jusqu'à retomber sur point de départ.

4. Répéter ce processus, jusqu'à retomber sur point de départ.

2. Démonstrations

Rejoindre les trois droites passant par les sommets, et par le centre du cercle.

1. Démontrer alors par un raisonnement simple, que les six triangles internes à un hexagone sont des triangles équilatéraux.

2. Que vaut la somme des angles d'un hexagone ?

3. Que vaut l'aire d'un hexagone, exprimée en fonction du rayon \(R\) ?

L'équation d'un cercle

Sur la figure suivante, dessiner un cercle \( \mathscr{C}\), de centre \(O\), et de rayon \((R = 3) \).

Sur ce cercle, on imagine un point mobile \(M\left[ x; y \right] \). L'équation du cercle \( \mathscr{C}\) est l'intégralité des points \(M\) possibles en fonction de \((x,y)\).

1. En appliquant le théorème de Pythagore au point \(M\), déterminer l'équation de \( \mathscr{C}\).

2. Prendre un point au hasard sur \( \mathscr{C}\), prendre ses coordonnées et vérifier si l'équation fonctionne bien avec ce dernier.

Deux triangles rectangles imbriqués

Soit \(ABC\), triangle rectangle en \(B\).

On a ajouté \(K\), le milieu de \(\bigl[BC \bigr]\) et on a projeté la droite \((MK)\) se projetant orthogonalement sur le côté \(\bigl[ AC \bigr]\) au point \(M\).

On dispose des valeurs suivantes :

Que valent les longueurs \(MK\), \(MC\) et \(AM\) ?

Le quadrilatère inscrit dans un quadrilatère

Dessiner un quadrilaètre quelconque \(ABCD\).

Ajouter à cette figure les points \((I, J, K, L)\) qui sont les milieux respectifs de \( \Bigl(\bigl[AB \bigr], \bigl[BC \bigr], \bigl[CD \bigr], \bigl[DA \bigr] \Bigr)\).

1. Quelle semble être la nature du quadrilatère \(ABCD\) ?

2. Démontrer cette proposition à l'aide de théorèmes.

Démonstration des formules du sinus

À l'aide des formules de trigonométrie suivantes :

Et des valeurs remarquables du cercle :

Démontrer les formules suivantes :

1. Périodicité

$$ \forall \theta \in \mathbb{R}, \ \forall k \in \hspace{0.03em} \mathbb{Z}, $$
$$sin(\theta + 2k \pi) = sin(\theta)$$

2. En fonction de \(\pi\)

1. Addition

$$ \forall \theta \in \mathbb{R}, $$
$$sin(\pi + \theta) = - sin(\theta)$$

2. Soustraction

$$ \forall \theta \in \mathbb{R}, $$
$$sin(\pi - \theta) = sin(\theta)$$

3. En fonction de \(\pi \over 2 \)

1. Addition

$$ \forall \theta \in \mathbb{R}, $$
$$sin\left(\frac{ \pi}{2} + \theta \right) = cos(\theta)$$

2. Soustraction

$$ \forall \theta \in \mathbb{R}, $$
$$sin\left(\frac{ \pi}{2} - \theta \right) = cos(\theta)$$

Relations trignonmétriques

Soit un triangle rectangle ordinaire \(\bigl \{ a, b, c\bigr\}\) :

On a :

1. Calculer les autres rapports trigonométriques de l'angle \(\alpha\) : (\(cos(\alpha), \ tan(\alpha)\)).

Aide :

Prendre la racine carrée d'un carré revient à prendre la valeur absolue :

$$\sqrt{x^2} = |x| $$




La valeur absolue de \(cos(\alpha)\) vaut :

$$ \forall k \in \hspace{0.03em} \mathbb{Z}, \ \forall \alpha \in \mathbb{R}, $$

$$ \bigl|cos(\alpha) \bigr| = \left \{ \begin{gather*} cos(\alpha) \hspace{2em} \left(si \ -\frac{\pi}{2} + 2k\pi \leqslant \alpha \leqslant \frac{\pi}{2} + 2k\pi \right) \\ -cos(\alpha) \hspace{2em} \left(si \ \frac{\pi}{2} + 2k\pi < \alpha < \frac{3\pi}{2} + 2k\pi \right) \end{gather*} \right \} $$





2. En déduire des rapports trigonométriques de l'angle \(\beta\).

3. Que valent les angles \(\alpha\) et \(\beta\) ?

Le yin/yang

Le yin/yang est un des emblèmes de la philosophie chinoise. Beaucoup utilisé dans le taoïsme, il symbolise :

• la nature double des choses (le féminin/masculin, le vide/plein, le chaud/froid, le dur/souple...etc.)

• le mouvement perpétuel de la vie.

La partie sombre représente la partie féminine, et la partie claire la partie masculine.

Étant en mouvement perpétuel, les deux aires - sombre et claire - le sont elles aussi.

Sur la figure suivante, on a représenté le diamètre \(\bigl[AB \bigr]\), ainsi qu'un point mobile sur ce diamètre, le point \(K\) :

Montrer que le rapport entre les deux aires est proportionnel au rapport entre les deux longueurs séparées par \(K\), à savoir :

Deux cercles tangents

On dispose de deux cercle tangents entre eux, de rayon respectif \(R\) et \(r\), et de centres respectifs \(O\) et \(O'\).

On a tracé un de leurs rayons respectifs \( \bigl[AB \bigr] \) et \( \bigl[A'B' \bigr] \), en faisant en sorte qu'ils soient parallèles entre eux :

1. Justifier que les points \((O, O', K)\) sont alignés.

2. En fonction de \((R, \ r)\), déterminer la valeur de \( \bigl[OO' \bigr] \), puis en déduire la valeur de \( \bigl[OK \bigr] \) ainsi que de \( \bigl[O'K \bigr] \).

Le calcul de la ligne droite Rennes-Seattle

On dispose des coordonnées GPS suivantes :

On admettra par approximation que ces deux villes ont la même latitude.

Que représente cette distance en restant à cette même latitude ? Sachant que le rayon de la Terre est de \((R = 6 \ 378 \ km)\).

Théorème de Pythagore et demi-circonférences

Soit un triangle \(ABC\), rectangle en \(A\).

Sur ce triangle, on y a ajouté les trois cironférences (côté haut) des côtés \(\bigl[AB\bigr]\), \(\bigl[BC\bigr]\) et \(\bigl[AC\bigr]\), et tel que la figure suivante.

On appelle \(S_{ABC}\) la surface du triangle \(ABC\).

De plus, on introduit les deux sommes \((S_1, \ S_2)\), étant les surfaces respectives des demi-circonférences issues de \(\bigl[AB\bigr]\) et \(\bigl[AC\bigr]\), et auxquelles on a retiré la partie de la demi-circonférence issue de \(\bigl[BC\bigr]\).

Démontrer que :