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Exercices sur les généralités et les fonctions de référence

Fonction carrée : détermination de variations et intersection

Soit la fonction \(\Gamma\) suivante :

1. Déterminer l'ensemble de définition \(D_{\Gamma}\) de la fonction \(\Gamma\).

La fonction \(\Gamma\) est définie partout, n'ayant aucune valeur interdite.

$$ D_{\Gamma} = \mathbb{R} $$

2. Déterminer les variations de \(\Gamma\) sur \(\mathbb{R^+}\) et \(\mathbb{R^-}\), puis tracer ces variations dans un tableau.

   On pourra s'aider d'un encadrement déterminer ces variations :

   $$\forall x \in \mathbb{R^+}, \ f(x) = x^2 \ est \ strictement \ croissante, $$

   Alors,

   $$\forall (a,b) \in \bigl[ \mathbb{R^+} \bigr]^2, \ a \leqslant b \Longleftrightarrow a^2 \leqslant b^2 $$

   $$\forall x \in \mathbb{R^-}, \ f(x) = x^2 \ est \ strictement \ d\textit{é}croissante, $$

   Alors,

   $$\forall (a,b) \in \bigl[ \mathbb{R^+} \bigr]^2, \ a \leqslant b \Longleftrightarrow a^2 \geqslant b^2 $$

Pour \(x < 0\) :

$$ a \leqslant b$$

$$ a^2 \geqslant b^2 $$

$$ -\frac{1}{2} a^2 \leqslant -\frac{1}{2} b^2 $$

$$ \Gamma(a) \leqslant \Gamma(b) $$

$$ a \leqslant b \Longrightarrow \Gamma(a) \leqslant \Gamma(b) $$

Alors, la fonction \(\Gamma\) est croissante sur \(\mathbb{R}^*_-\).

Pour \(x \geqslant 0\) :

$$ a \leqslant b$$

$$ a^2 \leqslant b^2 $$

$$ -\frac{1}{2} a^2 \geqslant -\frac{1}{2} b^2 $$

$$ \Gamma(a) \geqslant \Gamma(b) $$

$$ a \leqslant b \Longrightarrow \Gamma(a) \geqslant \Gamma(b) $$

Alors, la fonction \(\Gamma\) est décroissante sur \(\mathbb{R}^+\).

$$ x $$	$$ -\infty $$		$$ 0 $$				$$ +\infty $$
$$ \Gamma(x) = -\frac{1}{2}x^2 $$			$$ 0$$

3. Soit une autre fonction \(\Delta\) :

   $$\Delta(x) = -\frac{1}{4}x$$

   Trouver les intervalles de solutions pour \(x\) de l'équation suivante :

   $$\Gamma(x) = \Delta(x)$$
$$\Gamma(x) = \Delta(x) \qquad (E) $$

$$-\frac{1}{2}x^2 = -\frac{1}{4}x$$

$$-\frac{1}{2}x^2 +\frac{1}{4}x = 0$$

$$\frac{1}{2}x \left( -x + \frac{1}{2} \right) = 0$$

$$ \frac{1}{2}x = 0 $$

$$ x = 0 $$

ou

$$ -x + \frac{1}{2} = 0 $$

$$ x = \frac{1}{2} $$

Alors, l'intervalle des solutions pour \((E)\) est :

$$ \mathcal{S} = x \in \left \{ 0, \frac{1}{2} \right \} $$

Ensembles de définition

1. Déterminer les ensembles de définition des fonctions suivantes :

$$f(x) = \frac{1}{\sqrt{x}}$$
$$g(x) = \frac{1}{x-1}$$
$$h(x) = \sqrt{2x+1}$$
$$i(x) = \frac{1}{x} + \frac{1}{x-1} + \frac{1}{x-2}$$
$$j(x) = \frac{1}{1-x} + \sqrt{2x} $$
$$f(x) = \frac{1}{\sqrt{x}}$$
Pour que la fonction \(\sqrt{x}\) soit définie, il faut que :
$$x \geqslant 0$$
et
Pour que le dénominateur ne s'annule pas, il faut que :
$$\sqrt{x} \neq 0$$
$$x \neq 0$$
Soit comme intersection des deux :
$$(x \geqslant 0) \land (x \neq 0) = x > 0 $$
$$ \mathcal{D}_f = \mathbb{R^*_+} $$
---
$$g(x) = \frac{1}{x-1}$$
Pour que le dénominateur ne s'annule pas, il faut que :
$$x-1 \neq 0$$
$$x \neq 1$$
$$ \mathcal{D}_g = \mathbb{R} \hspace{0.2em} \backslash \left\{ 1 \right\} $$
---
$$h(x) = \sqrt{2x+1}$$
Pour que la fonction \(\sqrt{2x+1}\) soit définie, il faut que :
$$2x+1 \geqslant 0$$
$$2x \geqslant -1 $$
$$x \geqslant -\frac{1}{2}$$
$$ \mathcal{D}_h = \left[ -\frac{1}{2} ; +\infty\right] $$
---
$$i(x) = \frac{1}{x} + \frac{1}{x-1} + \frac{1}{x-2}$$
Pour que la fonction \(i\) soit définie, il faut qu'aucun dénominateur ne s'annule, soit :
$$x \neq 0$$
et
$$x -1 \neq 0$$
$$x \neq 1$$
et
$$x -2 \neq 0$$
$$x \neq 2$$
$$ \mathcal{D}_i = \mathbb{R} \hspace{0.2em} \backslash \bigr\{ 0, 1, 2 \bigl\} $$
---
$$j(x) = \frac{1}{1-x} + \sqrt{2x} $$
Pour que la fonction \(j\) soit définie, il faut que :
$$1-x \neq 0$$
$$x \neq 1$$
$$2x \geqslant 0$$
$$x \geqslant 0$$
Soit comme intersection des deux :
$$(x \neq 1) \land (x \geqslant 0) = \mathbb{R}^+ \hspace{0.2em} \backslash \bigr\{ 1 \bigl\} $$
$$ \mathcal{D}_j = \mathbb{R}^+ \hspace{0.2em} \backslash \bigr\{ 1 \bigl\} $$

Parités de fonctions

Pour ces différentes fonctions, indiquer leur parité.

1. Pour ces différentes fonctions, indiquer leur parité (paire, impaire ou aucune des deux) :

$$f(x) = \frac{1}{x} + x $$
$$g(x) = \frac{1}{x^2} $$
$$h(x) = |x| - 1 $$
$$i(x) = x^3 + x^2 $$
$$j(x) = x + x^3 - x^5 $$
$$f(x) = \frac{1}{x} + x $$

Calcul de \(f(-x)\)

$$f(-x) = \frac{1}{-x} - x $$

$$f(-x) = -\frac{1}{x} - x $$

$$f(-x) = - \left( \frac{1}{x} + x \right) $$

$$f(-x) = - f(x) $$

Alors, c'est une fonction impaire.

---

$$g(x) = \frac{1}{x^2} $$

Calcul de \(g(-x)\)

$$g(-x) =\frac{1}{(-x)^2}$$

$$g(-x) =\frac{1}{x^2}$$

$$g(-x) = g(x)$$

Alors, c'est une fonction paire.

---

$$h(x) = |x| - 1 $$

Calcul de \(h(-x)\)

$$h(-x) = |-x| - 1 $$

$$h(-x) = |x| - 1 $$

$$h(-x) = h(x)$$

Alors, c'est une fonction paire.

---

$$i(x) = x^3 + x^2 $$

Calcul de \(i(-x)\)

$$i(-x) = (-x)^3 + (-x)^2 $$

$$i(-x) = -x^3 + x^2 $$

$$i(-x) \neq i(x)$$

Cette fonction n'est pas paire.

Calcul de \(-i(x)\)

$$ -i(x) = -\left( x^3 + x^2 \right) $$

$$ -i(x) = -x^3 - x^2 $$

$$i(-x) \neq -i(x)$$

Cette fonction n'est pas impaire.




Alors, cette fonction n'est ni paire, ni impaire.

---

$$j(x) = x + x^3 - x^5 $$

Calcul de \(j(-x)\)

$$j(-x) = -x + (-x)^3 + (-x)^5 $$

$$j(-x) = -x - x^3 - x^5 $$

$$j(-x) = - \left( x + x^3 - x^5 \right) $$

$$j(-x) = -j(x) $$

Alors, c'est une fonction paire.

2. Démontrer qu'une fonction somme de deux fonctions paires est une fonction paire.

Soit deux fonctions \((f,g)\) telles que :

$$ \Biggl \{ \begin{gather*} f(x) = f(-x) \\ g(x) = g(-x) \end{gather*} $$

On introduit aussi une nouvelle fonction somme \(\Sigma(x)\) telle que :

$$\Sigma(x) = f(x) + g(x)$$

Alors,

$$\Sigma(-x) = f(-x) + g(-x)$$

$$\Sigma(-x) = f(x) + g(x)$$

$$\Sigma(-x) = \Sigma(x)$$

Alors, on a démontré que la somme de deux fonctionspaires était aussi une fonction paire.

3. Démontrer qu'une fonction somme de deux fonctions impaires est une fonction impaire.

Soit deux fonctions \((f,g)\) telles que :

$$ \Biggl \{ \begin{gather*} f(-x) = -f(x) \\ g(-x) = -g(x) \end{gather*} $$

On introduit aussi une nouvelle fonction somme \(\Sigma(x)\) telle que :

$$\Sigma(x) = f(x) + g(x)$$

Alors,

$$\Sigma(-x) = f(-x) + g(-x) $$

$$\Sigma(-x) = -f(x) - g(x) $$

$$\Sigma(-x) = - \bigl(f(x) + g(x) \bigr) $$

$$\Sigma(-x) = - \Sigma(x) $$

Alors, on a démontré que la somme de deux fonctions impaires était aussi une fonction impaire.

4. Démontrer qu'une fonction produit d'une fonction impaire et d'une fonction paire est une fonction impaire.

Soit deux fonctions \((f,g)\) telles que :

$$ \Biggl \{ \begin{gather*} f(-x) = -f(x) \\ g(-x) = g(x) \end{gather*} $$

On introduit aussi une nouvelle fonction produit \(\Pi(x)\) telle que :

$$\Pi(x) = f(x) g(x)$$

Alors,

$$\Pi(-x) = f(-x) g(-x) $$

$$\Pi(-x) = -f(x) g(x) $$

$$\Pi(-x) = -\Pi(x) $$

Alors, on a démontré que le produit d'une fonction impaire et d'une fonction paire était une fonction impaire.

Fonction carré : modélisation de la température dans le désert

L'évolution de la température (en \(°C\)) dans un désert a été modélisée sur une journée (\(t\) en \(h\)) par :

1. Représenter la courbe de cette fonction sur le graphique suivant.





2. À quelle heure de la journée la température semble être maximale ?

La témpérature semble être maximale à \((t=12)\), c'est-à-dire à midi.

3. Cette fonction admet semble admettre un axe de symétrie en \((x=12)\), vérifier alors que :

   $$T(12-t) = T(12+t) $$

Calcul de \(T(12-t)\) :

$$T(12-t) = -\frac{9}{25}((12- t) -12)^2 + 42 $$

$$T(12-t) = -\frac{9}{25}(-t)^2 + 42 $$

$$T(12-t) = -\frac{9}{25}t^2 + 42 $$

Calcul de \(T(12+t)\) :

$$T(12+t) = -\frac{9}{25}((12 + t) -12)^2 + 42 $$

$$T(12+t) = -\frac{9}{25}t^2 + 42 $$

On a bien vérifié que :

$$T(12-t) = T(12+t) $$

4. Quelle sont les températures à \((t = 0)\) et \((t = 24)\) ? Cela semble-t-il cohérent ?

$$T(0) = -9.84 $$

$$T(24) = -9.84 $$

Cela vérifie bien la symétrie précédemment étudiée.

5. Résoudre graphiquement :

   $$ T(t) \geqslant 26$$

   Puis vérifier ce résultat par le calcul.

Graphiquement, on trouve que :

$$ T(t) \geqslant 26 \Longrightarrow t \in \bigl[\approx 5.3; \ \approx 18.6 \bigr] $$




Maintenant, algébriquement :

$$ T(t) \geqslant 26 \qquad(E) $$

$$ -\frac{9}{25}(t-12)^2 + 42 \geqslant 26 $$

$$ -\frac{9}{25}(t-12)^2 \geqslant 26 - 42$$

$$ -\frac{9}{25}(t-12)^2 \geqslant -16 $$

$$ (t-12)^2 \geqslant -16 \times \left( -\frac{25}{9} \right) $$

$$ (t-12)^2 \geqslant \frac{16 \times 25}{9} $$

$$ (t-12)^2 - \frac{16 \times 25}{9} \geqslant 0 $$

$$ (t-12)^2 - \frac{4^2 \times 5^2}{3^2} \geqslant 0 $$

$$ (t-12)^2 - \left( \frac{4\times 5}{3} \right)^2 \geqslant 0 $$

$$ (t-12)^2 - \left( \frac{20}{3} \right)^2 \geqslant 0 $$

On peut maintenant factoriser avec la troisième identité remarquable, on a :

$$ \left[(t-12) - \frac{20}{3} \right ] \left[(t-12) + \frac{20}{3} \right ] \leqslant 0 $$

$$ \left[\textcolor{#6187B2}{\frac{3}{3} \times } (t-12) - \frac{20}{3} \right ] \left[ \textcolor{#6187B2}{\frac{3}{3} \times }(t-12) + \frac{20}{3} \right ] \leqslant 0 $$

$$ \left(\frac{3t- 36 -20 }{3} \right ) \left(\frac{3t- 36 + 20 }{3} \right) \leqslant 0 $$

$$ \left(\frac{3t-56}{3} \right) \left(\frac{3t-16 }{3} \right ) \leqslant 0 $$

$$ \bigl(3t-56\bigr) \bigl(3t-16 \bigr ) \leqslant 0 \qquad(E') $$




Pour les racines des différents facteurs :

$$ 3t-56 = 0 $$

$$ 3t = 56 $$

$$ t = \frac{56}{3} $$

$$ 3t-16 = 0 $$

$$ 5t = 16 $$

$$ t = \frac{16}{3} $$

$$ x $$	$$ -\infty $$		$$ \frac{16}{3} $$		$$ \frac{56}{3} $$		$$ +\infty $$
$$ 3t-56 $$	$$ \textcolor{#9C5353}{-} $$		$$ \textcolor{#9C5353}{-} $$	$$ \textcolor{#9C5353}{-} $$	$$ 0 $$	$$ \textcolor{#4A8051}{+} $$
$$ 3t-16 $$	$$ \textcolor{#9C5353}{-} $$		$$ 0 $$	$$ \textcolor{#4A8051}{+} $$	$$ \textcolor{#4A8051}{+} $$	$$ \textcolor{#4A8051}{+} $$
$$ \bigl(3t-56 \bigr) \bigl(3t-16 \bigr ) $$	$$ \textcolor{#4A8051}{+} $$		$$ 0 $$	$$ \textcolor{#9C5353}{-} $$	$$ 0 $$	$$ \textcolor{#4A8051}{+} $$

Les solutions pour \((E')\) et donc pour \((E)\) sont :

$$ \mathcal{S} = x \in \left[ \frac{16}{3}; \frac{56}{3} \right]$$

C'est cohérent avec la lecture graphique car :

$$\frac{16}{3} \approx 5.3$$

$$\frac{56}{3} \approx 18.6$$

Résolution d'inéquations avec les fonctions de référence

Pour chaque cas, résoudre graphiquement, puis algébriquement :

1. la fonction inverse et une fonction constante :



$$ \frac{1}{x} \geqslant 2 \qquad(E) $$

1. Intervalle de travail

On travaille sur l'intersection des ensembles de définition respectifs de chaque fonction :

$$f(x) = \frac{1}{x}$$
$$ \mathcal{D}_f = \mathbb{R}^* $$
$$g(x) = 2$$
$$ \mathcal{D}_g =\mathbb{R} $$
$$ \mathcal{D}_E = \mathcal{D}_f \cap \mathcal{D}_g $$
$$ \mathcal{D}_E = \mathbb{R}^* \cap \mathbb{R}$$
$$ \mathcal{D}_E = \mathbb{R}^* $$

2. Factorisation

$$ \frac{1}{x} \geqslant 2 $$
$$ \frac{1}{x} - 2 \geqslant 0 $$
$$ \frac{1}{x} - \frac{2x}{x} \geqslant 0 $$
$$ \frac{1 -2x}{x} \geqslant 0 \qquad(E') $$

3. Tableau de signes

Pour les racines des différents facteurs :

$$1-2x = 0 $$
$$1 = 2x$$
$$x = \frac{1}{2}$$
$$x = 0 $$

$$ x $$	$$ -\infty $$		$$ 0 $$		$$ \frac{1}{2} $$		$$ +\infty $$
$$1 - 2x$$	$$ \textcolor{#4A8051}{+} $$		$$ \textcolor{#4A8051}{+} $$	$$ \textcolor{#4A8051}{+} $$	$$ 0 $$	$$ \textcolor{#9C5353}{-} $$
$$ x $$	$$ \textcolor{#9C5353}{-} $$		$$ 0 $$	$$ \textcolor{#4A8051}{+} $$	$$ \textcolor{#4A8051}{+} $$	$$ \textcolor{#4A8051}{+} $$
$$ \frac{1 -2x}{x} $$	$$ \textcolor{#9C5353}{-} $$			$$ \textcolor{#4A8051}{+} $$	$$ 0 $$	$$ \textcolor{#9C5353}{-} $$

4. Conclusion

Les solutions pour \((E')\) :

$$ \frac{1 -2x}{x} \geqslant 0 \qquad(E') $$

et donc aussi pour \((E)\) sont :

$$ \mathcal{S} = x \in \left] 0; \frac{1}{2} \right]$$

2. la fonction inverse et la fonction identité :



$$ \frac{1}{x} \geqslant x \qquad(F) $$

1. Intervalle de travail

On travaille sur l'intersection des ensembles de définition respectifs de chaque fonction :

$$f(x) = \frac{1}{x}$$
$$ \mathcal{D}_f = \mathbb{R}^* $$
$$g(x) = x$$
$$ \mathcal{D}_g =\mathbb{R} $$
$$ \mathcal{D}_F = \mathcal{D}_f \cap \mathcal{D}_g $$
$$ \mathcal{D}_F = \mathbb{R}^* \cap \mathbb{R}$$
$$ \mathcal{D}_F = \mathbb{R}^* $$

2. Factorisation

$$ \frac{1}{x} \geqslant x $$
$$ \frac{1}{x} - x \geqslant 0 $$
$$ \frac{1}{x} - \frac{x^2}{x} \geqslant 0 $$
$$ \frac{1 -x^2}{x} \geqslant 0 $$
$$ \frac{(1-x)(1+x)}{x} \geqslant 0 \qquad(F') $$

3. Tableau de signes

Pour les racines des différents facteurs :

$$1-x = 0 $$
$$1 = x$$
$$1+x = 0 $$
$$x = -1$$
$$x = 0 $$

$$ x $$	$$ -\infty $$		$$ -1 $$		$$ 0 $$		$$ 1 $$		$$ +\infty $$
$$1 - x$$	$$ \textcolor{#4A8051}{+} $$		$$ \textcolor{#4A8051}{+} $$	$$ \textcolor{#4A8051}{+} $$	$$ \textcolor{#4A8051}{+} $$	$$ \textcolor{#4A8051}{+} $$	$$ 0 $$	$$ \textcolor{#9C5353}{-} $$
$$1 + x$$	$$ \textcolor{#9C5353}{-} $$		$$ 0 $$	$$ \textcolor{#4A8051}{+} $$	$$ \textcolor{#4A8051}{+} $$	$$ \textcolor{#4A8051}{+} $$	$$ \textcolor{#4A8051}{+} $$	$$ \textcolor{#4A8051}{+} $$
$$ x$$	$$ \textcolor{#9C5353}{-} $$		$$ \textcolor{#9C5353}{-} $$	$$ \textcolor{#9C5353}{-} $$	$$0 $$	$$ \textcolor{#4A8051}{+} $$	$$ \textcolor{#4A8051}{+} $$	$$ \textcolor{#4A8051}{+} $$
$$ \frac{1 -2x}{x} $$	$$ \textcolor{#4A8051}{+} $$		$$ 0 $$	$$ \textcolor{#9C5353}{-} $$		$$ \textcolor{#4A8051}{+} $$	$$ 0 $$	$$ \textcolor{#9C5353}{-} $$

4. Conclusion

Les solutions pour \((F')\) :

$$ \frac{(1-x)(1+x)}{x} \geqslant 0 \qquad(F') $$

et donc aussi pour \((F)\) sont :

$$ \mathcal{S} = x \in \bigl] -\infty; -1 \bigr] \cup \bigl] 0 ; 1 \bigr] $$

3. la fonction carré et la fonction cube :



$$ x^2 \geqslant x^3 \qquad(G) $$

1. Intervalle de travail

Comme il n'y a aucune valeur interdite, on travaille sur \(\mathbb{R}\).

$$ \mathcal{D}_G = \mathbb{R} $$

2. Factorisation

$$ x^2 \geqslant x^3 $$
$$ x^2 - x^3 \geqslant 0 $$
$$ x^2(1-x) \geqslant 0 \qquad(G') $$

3. Tableau de signes

Pour les racines des différents facteurs :

$$x^2= 0 $$
$$x = 0 $$
$$1-x = 0 $$
$$x = 1$$

$$ x $$	$$ -\infty $$		$$ 0 $$		$$ 1$$		$$ +\infty $$
$$x^2$$	$$ \textcolor{#4A8051}{+} $$		$$ 0 $$	$$ \textcolor{#4A8051}{+} $$	$$ \textcolor{#4A8051}{+} $$	$$ \textcolor{#4A8051}{+} $$
$$ 1-x $$	$$ \textcolor{#4A8051}{+} $$		$$ \textcolor{#4A8051}{+} $$	$$ \textcolor{#4A8051}{+} $$	$$ 0 $$	$$ \textcolor{#9C5353}{-} $$
$$ x^2(1-x) $$	$$ \textcolor{#4A8051}{+} $$		$$ 0 $$	$$ \textcolor{#4A8051}{+} $$	$$ 0 $$	$$ \textcolor{#9C5353}{-} $$

4. Conclusion

Les solutions pour \((G')\) :

$$ x^2(1-x) \geqslant 0 \qquad(G') $$

et donc aussi pour \((G)\) sont :

$$ \mathcal{S} = x \in \bigl] -\infty; 1 \bigr]$$

4. la fonction carré et la fonction carré inverse :



$$ x^2 \geqslant \frac{1}{x^2} \qquad(H) $$

1. Intervalle de travail

On travaille sur l'intersection des ensembles de définition respectifs de chaque fonction :

$$f(x) = x^2 $$
$$ \mathcal{D}_f = \mathbb{R} $$
$$g(x) = \frac{1}{x^2} $$
$$ \mathcal{D}_g = \mathbb{R}^* $$
$$ \mathcal{D}_H = \mathcal{D}_f \cap \mathcal{D}_g $$
$$ \mathcal{D}_H = \mathbb{R} \cap \mathbb{R}^* $$
$$ \mathcal{D}_H = \mathbb{R}^* $$

2. Factorisation

$$ x^2 \geqslant \frac{1}{x^2} $$
$$ x^2 - \frac{1}{x^2} \geqslant 0 $$
$$ \frac{x^4}{x^2} - \frac{1}{x^2} \geqslant 0 $$
$$ \frac{x^4 - 1}{x^2} \geqslant 0 $$
$$ \frac{(x^2 - 1)(x^2 + 1)}{x^2} \geqslant 0 $$
$$ \frac{(x - 1)(x+1)(x^2 + 1)}{x^2} \geqslant 0 \qquad(H') $$

3. Tableau de signes

Pour les racines des différents facteurs :

$$ x-1 = 0 $$
$$x = 1 $$
$$x + 1 = 0 $$
$$x = -1$$
$$x^2 + 1 = 0 $$
Pas de racine.
$$x^2 = 0 $$
$$x = 0 $$

$$ x $$	$$ -\infty $$		$$ -1 $$		$$ 0 $$		$$ 1 $$		$$ +\infty $$
$$ x - 1 $$	$$ \textcolor{#9C5353}{-} $$		$$ \textcolor{#9C5353}{-} $$	$$ \textcolor{#9C5353}{-} $$	$$ \textcolor{#9C5353}{-} $$	$$ \textcolor{#9C5353}{-} $$	$$ 0 $$	$$ \textcolor{#4A8051}{+} $$
$$ x + 1 $$	$$ \textcolor{#9C5353}{-} $$		$$ 0 $$	$$ \textcolor{#4A8051}{+} $$	$$ \textcolor{#4A8051}{+} $$	$$ \textcolor{#4A8051}{+} $$	$$ \textcolor{#4A8051}{+} $$	$$ \textcolor{#4A8051}{+} $$
$$ x^2 + 1 $$	$$ \textcolor{#4A8051}{+} $$		$$ \textcolor{#4A8051}{+} $$	$$ \textcolor{#4A8051}{+} $$	$$ \textcolor{#4A8051}{+} $$	$$ \textcolor{#4A8051}{+} $$	$$ \textcolor{#4A8051}{+} $$	$$ \textcolor{#4A8051}{+} $$
$$ x^2 $$	$$ \textcolor{#4A8051}{+} $$		$$ \textcolor{#4A8051}{+} $$	$$ \textcolor{#4A8051}{+} $$	$$0 $$	$$ \textcolor{#4A8051}{+} $$	$$ \textcolor{#4A8051}{+} $$	$$ \textcolor{#4A8051}{+} $$
$$ \frac{(x - 1)(x+1)(x^2 + 1)}{x^2} $$	$$ \textcolor{#4A8051}{+} $$		$$ 0 $$	$$ \textcolor{#9C5353}{-} $$		$$ \textcolor{#9C5353}{-} $$	$$ 0 $$	$$ \textcolor{#4A8051}{+} $$

4. Conclusion

Les solutions pour \((H')\) :

$$ \frac{(x - 1)(x+1)(x^2 + 1)}{x^2} \geqslant 0 \qquad(H') $$

et donc aussi pour \((H)\) sont :

$$ \mathcal{S} = x \in \bigl] -\infty; -1 \bigr] \cup \bigl[ 1; +\infty \bigr[ $$

5. la fonction valeur absolue et la fonction cube :



$$ |x| \geqslant x^3 \qquad(I) $$

1. Intervalle de travail

Aucune des deux fonctions n'admet de valeur interdite, donc :

$$ \mathcal{D}_I = \mathbb{R} $$

2. Factorisation

$$ |x| \geqslant x^3 $$

Lorsque l'on traite avec des valeurs absolues, le mieux est de procéder par disjonction de cas :

$$ \Biggl \{ \begin{gather*} |x| = -x, \qquad (si \ x < 0)\\ |x| = x, \qquad (si \ x \geqslant 0) \end{gather*} $$

Cas : \(x < 0\)

$$ -x \geqslant x^3 $$

$$ -x - x^3 \geqslant 0 $$

$$ x + x^3 \leqslant 0 $$

$$ x(1+x^2) \leqslant 0 \qquad(I') $$

Cas : \(x \geqslant 0\)

$$ x \geqslant x^3 $$

$$ x - x^3 \geqslant 0 $$

$$ x(1-x^2) \geqslant 0 $$

$$ x(1-x)(1+x) \geqslant 0 \qquad(I'') $$

3. Tableau de signes

Pour les racines des différents facteurs :

$$x = 0 $$
$$1 + x^2 = 0 $$
Pas de racine.
$$x - 1 = 0 $$
$$x = 1$$
$$x + 1 = 0 $$
$$x = -1$$

$$ x $$	$$ -\infty $$		$$ -1 $$
$$ x $$	$$ \textcolor{#9C5353}{-} $$		$$ \textcolor{#9C5353}{-} $$	$$ \textcolor{#9C5353}{-} $$
$$ 1 + x^2 $$	$$ \textcolor{#4A8051}{+} $$		$$ \textcolor{#4A8051}{+} $$	$$ \textcolor{#4A8051}{+} $$
$$ x(1+x^2) $$	$$ \textcolor{#9C5353}{-} $$		$$ \textcolor{#9C5353}{-} $$	$$ \textcolor{#9C5353}{-} $$

$$ x $$	$$ 0 $$		$$ 1 $$		$$ +\infty $$
$$ x $$	$$ 0 $$	$$ \textcolor{#4A8051}{+} $$	$$ \textcolor{#4A8051}{+} $$	$$ \textcolor{#4A8051}{+} $$
$$ 1 - x $$	$$ \textcolor{#4A8051}{+} $$	$$ \textcolor{#4A8051}{+} $$	$$ 0 $$	$$ \textcolor{#9C5353}{-} $$
$$ 1 + x $$	$$ \textcolor{#4A8051}{+} $$	$$ \textcolor{#4A8051}{+} $$	$$ \textcolor{#4A8051}{+} $$	$$ \textcolor{#4A8051}{+} $$
$$ x(1-x)(1+x) $$	$$ 0 $$	$$ \textcolor{#4A8051}{+} $$	$$ 0 $$	$$ \textcolor{#9C5353}{-} $$

4. Conclusion

Les solutions pour \((I')\) et \((I'')\) :

Cas : \(x < 0\)

$$ x(1+x^2) \leqslant 0 \qquad(I') $$

Cas : \(x \geqslant 0\)

$$ x(1-x)(1+x) \geqslant 0 \qquad(I'') $$

et donc aussi pour \((I)\) sont :

$$ \mathcal{S} = x \in \bigl] -\infty; 1 \bigr] $$

6. la fonction carrée et la fonction valeur absolue :



$$ x^2 \geqslant \sqrt{x} \qquad(J) $$

1. Intervalle de travail

On travaille sur l'intersection des ensembles de définition respectifs de chaque fonction :

$$f(x) = x^2 $$
$$ \mathcal{D}_f = \mathbb{R} $$
$$g(x) = \sqrt{x} $$
$$ \mathcal{D}_g = \mathbb{R}^+ $$
$$ \mathcal{D}_J = \mathcal{D}_f \cap \mathcal{D}_g $$
$$ \mathcal{D}_J = \mathbb{R} \cap \mathbb{R}^+ $$
$$ \mathcal{D}_J = \mathbb{R}^+ $$

Application de la fonction carrée

$$ x^2 \geqslant \sqrt{x} $$

Ici, comme on travaille où la fonction carrée est strictement positive, on peut l'appliquer de part et d'autre de l'équation :

$$ x^4 \geqslant x $$

2. Factorisation

$$ x^4 \geqslant x $$
$$ x^4 - x \geqslant 0 $$
$$ x(x^3-1) \geqslant 0 \qquad(J') $$

3. Tableau de signes

Pour les racines des différents facteurs :

$$x = 0 $$
$$ x^3-1 \geqslant 0 $$
$$ x^3 \geqslant 1 $$
$$ \textcolor{#6187B2}{\sqrt[3]{\textcolor{#5E864A}{x^3}}} \geqslant \textcolor{#6187B2}{\sqrt[3]{\textcolor{#5E864A}{1}}} $$
$$ x \geqslant 1 $$

$$ x $$	$$ 0 $$		$$ 1 $$		$$ +\infty $$
$$ x $$	$$ 0 $$	$$ \textcolor{#4A8051}{+} $$	$$ \textcolor{#4A8051}{+} $$	$$ \textcolor{#9C5353}{-} $$
$$ x^3 - 1 $$	$$ \textcolor{#9C5353}{-} $$	$$ \textcolor{#9C5353}{-} $$	$$ 0 $$	$$ \textcolor{#4A8051}{+} $$
$$ x(x^3-1) $$	$$ 0 $$	$$ \textcolor{#9C5353}{-} $$	$$ 0 $$	$$ \textcolor{#4A8051}{+} $$

4. Conclusion

Les solutions pour \((J')\) :

$$ x(x^3-1) \geqslant 0 \qquad(J') $$

et donc aussi pour \((J)\) sont :

$$ \mathcal{S} = x \in \bigl[ 0; \ 0 \bigr] \cup \bigl[ 1; +\infty \bigr[$$