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Exercices de type problème sur les fonctions

Fonctions affines : détermination d'équation et intersection

Soit deux fonctions affines \(f\) et \(g\) tels que la figure suivante :

$$ \Biggl \{ \begin{gather*} f(x) = a_1 x + b_1 \\ g(x) = a_2 x + b_2 \end{gather*} $$

1. Calculer pour chacune leur coefficient directeur respectif \((a_1, a_2)\)

2. En déduire leur ordonnée à l'origine \((b_1, b_2)\) ainsi que leur équation respectives.

3. Résoudre graphiquement : \(f(x) = g(x) \).

4. Vérifier cette solution de manière algébrique.

Fonctions affines : degrés Celsius/Farenheit

En voyage aux États-unis, on a relevé des températures avec un thermomètre français mais aussi avec un thermomètre acheté sur place.

On a relevé les différentes températures dans le tableau suivant :

1. Existe-t-il un rapport de proportionnalité entre ces deux unités ?




Modélisation : on souhaite modéliser une formule qui relierai ces deux unités entres elles, pour pouvoir effectuer des conversions par la suite.

2. Reporter sur le graphique suivant les données du tableau.



3. Que peut-on conjecturer sur le lien entre les deux unités ?

4. En déduire la formule donnant la température en degrés \(°F\) en fonction de la température en degrés \(°C\).

   $$T_{F} = f\bigl(T_{C} \bigr)$$

5. Grâce à la formule trouver, convertir en degrés \(°F\) les températures suivantes :

   $$0°C = \hspace{4em} °F $$

   $$-50°C = \hspace{4em} °F $$

   $$20°C = \hspace{4em} °F $$

Fonctions affines : modélisation de la luminosité d'un océan

La luminosité d'un océan (en \(\%\)), d'une profondeur maximum de \(250 \ m\), est modélisée en fonction de la profondeur \(p\) (en \(m\)) grâce à la formule suivante :

1. Quelle est la nature de cette fonction ?

2. Quelle est la valeur de la luminosité à la surface ?

3. À partir de quelle profondeur la luminosité sera inférieure à \(30 \%\) ?

Fonction carrée : détermination de variations et intersection

Soit la fonction \(\Gamma\) suivante :

1. Déterminer l'ensemble de définition \(D_{\Gamma}\) de la fonction \(\Gamma\).

2. Déterminer les variations de \(\Gamma\) sur \(\mathbb{R^+}\) et \(\mathbb{R^-}\), puis tracer ces variations dans un tableau.

   On pourra s'aider d'un encadrement déterminer ces variations :

   $$\forall x \in \mathbb{R^+}, \ f(x) = x^2 \ est \ strictement \ croissante, $$

   Alors,

   $$\forall (a,b) \in \bigl[ \mathbb{R^+} \bigr]^2, \ a \leqslant b \Longleftrightarrow a^2 \leqslant b^2 $$

   $$\forall x \in \mathbb{R^-}, \ f(x) = x^2 \ est \ strictement \ d\textit{é}croissante, $$

   Alors,

   $$\forall (a,b) \in \bigl[ \mathbb{R^+} \bigr]^2, \ a \leqslant b \Longleftrightarrow a^2 \geqslant b^2 $$

3. Soit une autre fonction \(\Delta\) :

   $$\Delta(x) = -\frac{1}{4}x$$

   Trouver les intervalles de solutions pour \(x\) de l'équation suivante :

   $$\Gamma(x) = \Delta(x)$$

Fonction carré : modélisation de la température dans le désert

L'évolution de la température (en \(°C\)) dans un désert a été modélisée sur une journée (\(t\) en \(h\)) par :

1. Représenter la courbe de cette fonction sur le graphique suivant.



2. À quelle heure de la journée la température semble être maximale ?

3. Cette fonction admet semble admettre un axe de symétrie en \((x=12)\), vérifier alors que :

   $$f(12-x) = f(12 + x) $$

4. Quelle sont les températures à \((t = 0)\) et \((t = 24)\) ? Cela semble-t-il cohérent ?

5. Résoudre graphiquement :

   $$ T(t) \geqslant 26$$

   Puis vérifier ce résultat par le calcul.

Résolution d'inéquations avec les fonctions de référence

Pour chaque cas, résoudre graphiquement, puis algébriquement :

1. la fonction inverse et une fonction constante :



2. la fonction inverse et la fonction identité :



3. la fonction carré et la fonction cube :



4. la fonction carré et la fonction carré inverse :



5. la fonction valeur absolue et la fonction cube :



6. la fonction carrée et la fonction valeur absolue :

Ensembles de définition

1. Déterminer les ensembles de définition des fonctions suivantes :

$$f(x) = \frac{1}{\sqrt{x}}$$
$$g(x) = \frac{1}{x-1}$$
$$h(x) = \sqrt{2x+1}$$
$$i(x) = \frac{1}{x} + \frac{1}{x-1} + \frac{1}{x-2}$$
$$j(x) = \frac{1}{1-x} + \sqrt{2x} $$

Parités de fonctions

Pour ces différentes fonctions, indiquer leur parité.

1. Pour ces différentes fonctions, indiquer leur parité (paire, impaire ou aucune des deux) :

$$f(x) = \frac{1}{x} + x $$
$$g(x) = \frac{1}{x^2} $$
$$h(x) = |x| - 1 $$
$$i(x) = x^3 + x^2 $$
$$j(x) = x + x^3 - x^5 $$

2. Démontrer qu'une fonction somme de deux fonctions paires est une fonction paire.

3. Démontrer qu'une fonction somme de deux fonctions impaires est une fonction impaire.

4. Démontrer qu'une fonction produit d'une fonction impaire et d'une fonction paire est une fonction impaire.