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Généralités sur les fonctions

Une fonction

Une fonction est une opération qui transforme un nombre \((x)\), en une image unique \((f(x))\).

De manière générale, on écrira pour définir une fonction avec comme variable \(x\) :

$$f :x \longmapsto f(x) $$

« une fonction \(f\), qui associe à un antécédent \(x\) une image \(f(x)\) »

Image/antécédent

Les antécédents se situent sur l'axe horizontal \(x\).

Les images se situent sur l'axe vertical \(y\).

Lorsqu'on a qu'une seule courbe sur un graphique, on peut noter l'image générale : \(y = f(x)\).

Ensemble de définition

On désigne par ensemble de définition, toutes les valeurs possibles de \(x\) pour lesquelles la fonction \(f(x)\) pourra exister.

Dans les faits, on préfère s'intéresser aux valeurs pour lesquelles elle n'est pas définie, et retirer ces valeurs interdites de la totalité.

On notera un ensemble de définition \(\mathcal{D}_f\).

1. Exemple 1 : une fonction avec une valeur interdite

L'ensemble de définition de la fonction :

$$f:x \longmapsto \frac{1}{x}$$

En mathématiques, il est interdit de diviser par \(0\), donc la seule contrainte ici sera que \((x \neq 0)\).

Soit l'ensemble de définition suivant :

$$ \mathcal{D}_f = \Bigl ] - \infty;\ 0 \Bigr[ \cup \Bigl ] 0 ; + \infty \Bigr [ $$

Ou plus simplement :

$$ \mathcal{D}_f = \mathbb{R}^* $$

2. Exemple 2 : une fonction avec plusieurs valeurs interdites

L'ensemble de définition de la fonction :

$$f:x \longmapsto \frac{1}{x} + \sqrt{x}$$

Les deux ensembles de définition respectifs des deux fonctions additionnées sont :

$$ \mathcal{D}\left(\frac{1}{x} \right) = \Bigl ] - \infty;\ 0 \Bigr[ \cup \Bigl ] 0 ; + \infty \Bigr [ $$
$$ \mathcal{D}\left(\sqrt{x} \right) = \Bigl [ 0 ; + \infty \Bigr [ $$

Alors, l'ensemble de définition est l'intersection des ensembles de définition :

$$ \mathcal{D}\left(\frac{1}{x} \right) \cap \mathcal{D}\left(\sqrt{x} \right) = \Bigl ] 0 ; + \infty \Bigr [ $$

Cela équivaut à dire que l'ensemble de définition totale est l'ensemble des réels, moins toutes les valeurs interdites qui est l'union des valeurs interdites.

Car en logique :

$$ non(A \ ou \ B) = non(A) \ et \ non(B) $$

$$ \Bigl(avec \ (A,\ B) : valeurs \ interdites \Bigr) $$

Sens de variations

Soit deux nombre \(a\) et \(b\) avec \((a < b)\).

1. Fonctions croissantes

$$ f \ est \ strictement \ croissante \Longleftrightarrow \Bigl[ \ a < b \Longrightarrow f(a) < f(b) \Bigr] $$





Alors, les images seront rangés dans le même ordre que les antécédants.




On aura aussi, mais plus rarement des fonctions croissantes (qui peuvent admettre une stagnation avant de croître à nouveau).

Dans ce cas :

$$ f \ est \ croissante \Longleftrightarrow \Bigl[ \ a < b \Longrightarrow f(a) \leqslant f(b) \Bigr] $$

2. Fonctions décroissantes

$$ f \ est \ strictement \ d\textit{é}croissante \Longleftrightarrow \Bigl[ \ a < b \Longrightarrow f(a) > f(b) \Bigr] $$





Alors, les images seront rangés dans l'ordre contraire à celui des antécédants.




De la même manière, on pourra envisager des fonctions croissantes.

$$ f \ est \ d\textit{é}croissante \Longleftrightarrow \Bigl[ \ a < b \Longrightarrow f(a) \geqslant f(b) \Bigr] $$

3. Fonction monotone

On dit qu'une fonction est monotone sur un certain intervalle \(I\), si et seulement si elle est soit strictement croissante, soit strictement décroissante sur cet intervalle.

$$ f \ est \ monotone \Longleftrightarrow \Bigl[ \bigl( f \ est \ strictement \ croissante \bigr) \ ou \ \bigl( f \ est \ strictement \ d\textit{é}croissante \bigr) \Bigr] $$

4. Tableau de variations

Pour représenter les variations d'une fonction, on pourra utiliser un tableau comme celui-ci :

Exemple : la fonction carrée

$$ x $$	$$ -\infty $$	$$ \hspace{3em}$$	$$ 0 $$	$$ \hspace{3em}$$			$$ +\infty $$
$$ f(x) = x^2 $$			$$ 0$$

Minimum/maximum

On appelle minimum et maximum d'une fonction \(f\), les points \(m\) et \(M\) tels que :

$$ \forall x \in \hspace{0.03em} \mathcal{D}_f, \ \Biggl \{ \begin{gather*} f(x) \geqslant m \\ f(x) \leqslant M \end{gather*} $$

Parité d'une fonction

Soit une fonction \(f\) et son ensemble de définition \(\mathcal{D}_f\).

1. Fonctions paires

Une fonction paire se définit par :

$$ \forall x \in \hspace{0.03em} \mathcal{D}_f, $$

$$f(-x) = f(x) $$

Toute fonction paire admet une symétrie axiale par rapport à l'axe des ordonnées.

Exemples : \(x^2\), \(x^4\), \(cos(x)\)...





2. Fonctions impaires

Une fonction impaire se définit par :

$$ \forall x \in \hspace{0.03em} \mathcal{D}_f, $$

$$f(-x) = -f(x) $$

Toute fonction impaire admet une symétrie centrale par rapport à l'origine \(O(0; \ 0 )\).

Exemples : \(x^3\), \(x^5\), \(sin(x)\)...

Fonctions périodiques

Une fonction périodique est une fonction qui admet une répétition à l'infini sur son ensemble de définition.

Soit une fonction \(f\) et son ensemble de définition \(\mathcal{D}_f\), ainsi que \(T\) la période.

$$ f(x + T) = f(x)$$

1. Exemple 1 : la fonction sinus





Cette fonction est \(2\pi\)-périodique.

$$ \forall x \in \hspace{0.03em} \mathbb{R}, $$

$$ sin(x + 2 \pi) = sin(x)$$

2. Exemple 1 : la fonction cosinus





Idem, elle est aussi \(2\pi\)-périodique, mais ne démarre pas du même endroit.

$$ \forall x \in \hspace{0.03em} \mathbb{R}, $$

$$ cos(x + 2 \pi) = cos(x)$$