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Les fonctions de référence (jusqu'en seconde)

Fonction affine : \(f(x) = ax+b\)

1. Définition

Les fonctions affines sont toujours des droites. Elles répondent à la définition générale :

$$ \forall (a,b, x) \in \hspace{0.05em} \mathbb{R}^3, $$

$$f(x) = ax + b $$





Elles se composent de :

• \(a\) : le coefficient directeur (ou pente)

• \(b\) : l'ordonne à l'origine

Avec deux points distincts \(A(x_A; y_A)\) et \(B(x_B; y_B)\) de la courbe, on calcule d'abord \(a\) puis en déduit \(b\).

2. Le coefficient directeur : \(a\)

C'est ce qui indique l'inclinaison de la droite.

On calcule ce coefficent grâce à deux points \(A(x_A; y_A)\) et \(B(x_B; y_B)\) de la courbe :

$$ a = \frac{y_B - y_A}{x_B - x_A} = \frac{\Delta y}{\Delta x} $$





le calcul du coefficient directeur \(a\)

\(A(x_A; y_A)\) et \(B(x_B; y_B)\) appartiennent à \(\mathcal{C}_f\), la courbe de la fonction \(f\), donc :

$$ \Biggl \{ \begin{gather*} y_A = a x_A + b \qquad (1) \\ y_B = a x_B + b \qquad (2) \end{gather*} $$

En faisant l'opération \((2) - (1)\), on obtient :

$$y_B - y_A= a x_B + b - (a x_1 + b)$$

$$y_B - y_A = a x_B+ b - a x_1 - b $$

À ce stade, \(b\) et \(-b\) se sont annihilés :

$$y_B - y_A = a x_B - a x_1$$

On met \(a\) en facteur, puis :

$$y_2 - y_A = a(x_B - x_A) $$

Et enfin :

$$y_2 - y_A = a(x_B - x_A) $$

$$ a = \frac{y_B - y_A}{x_B - x_A} $$

On a bien \((x_B-x_A) \neq 0 \) car par hypothèse les deux points sont différents, soit \(x_A \neq x_B \).

3. L'ordonne à l'origine : \(b\)

Il existe deux possibilités pour obtenir \(b\).

1. en connaissant les coordonnées d'un point \(\Omega\) appartenant à la courbe

On l'obtient une fois avoir calculé \(a\) en connaissant un point \(\Omega(x_0; y_0)\) de la droite :

$$f(x_0) = ax_0 + b$$
$$f(x_0) - ax_0 = b$$

$$\Omega(x_0; y_0) \in \hspace{0.01em} \mathcal{C}_f \Longleftrightarrow b = f(x_0) -a x_0 $$

2. en connaissant uniquement la formule de l'équation

Dans ce cas, on peut simplement faire \(f(0)\) car :

$$f(0) = a \times 0 + b = b$$

$$b = f(0) $$




Cas particulier : si \(b=0\), on parlera de fonction linéaire.

$$ \forall (a, x) \in \hspace{0.05em} \mathbb{R}^2,$$

$$f(x) = ax $$





4. Signes et variations d'une fonction affine

Soit une fonction affine d'équation : \(f(x) = ax+b\).

Le sens de variations de cette fonction ne dépend que de la pente \(a\).

$$ x $$	$$ -\infty $$	$$ \hspace{3em}$$	$$ - \frac{b}{a} $$	$$ \hspace{3em}$$	$$ +\infty $$
$$\textcolor{#4A8051}{si \ a \ est \ +}$$	$$ \textcolor{#9C5353}{-} $$		$$ 0$$	$$ \textcolor{#4A8051}{+} $$
$$\textcolor{#9C5353}{si \ a \ est \ -}$$	$$ \textcolor{#4A8051}{+} $$		$$ 0$$	$$ \textcolor{#9C5353}{-} $$

Le signe d'une fonction affine

Soit une fonction affine, définie par : \(f(x) = ax+b\).

On cherche à résoudre ces trois équations, pour déterminer le signe dans tous les cas de figure :

$$ f(x) > 0$$

$$ ax+b > 0$$

$$ ax > -b$$

$$\left \{ \begin{gather*} \textcolor{#4A8051}{si \ a \ est \ +}, \ x > -\frac{b}{a} \\ \\ \textcolor{#9C5353}{si \ a \ est \ -}, \ x < -\frac{b}{a} \end{gather*} \right \} $$

$$ f(x) = 0$$

$$ ax+b = 0$$

$$ ax = -b$$

$$ x = -\frac{b}{a} $$

$$ f(x) < 0$$

$$ ax+b < 0$$

$$ ax < -b$$

$$\left \{ \begin{gather*} \textcolor{#4A8051}{si \ a \ est \ +}, \ x < -\frac{b}{a} \\ \\ \textcolor{#9C5353}{si \ a \ est \ -}, \ x > -\frac{b}{a} \end{gather*} \right \} $$

$$ x $$	$$ -\infty $$	$$ \hspace{3em}$$	$$ - \frac{b}{a} $$	$$ \hspace{3em}$$	$$ +\infty $$
$$\textcolor{#4A8051}{si \ a \ est \ +}$$	$$ \textcolor{#9C5353}{-} $$		$$ 0$$	$$ \textcolor{#4A8051}{+} $$
$$\textcolor{#9C5353}{si \ a \ est \ -}$$	$$ \textcolor{#4A8051}{+} $$		$$ 0$$	$$ \textcolor{#9C5353}{-} $$




Les variations d'une fonction affine

Le coefficient directeur calcul la variation entre deux points \(A(x_A; y_A)\) et \(B(x_B; y_B)\) par :

$$ a = \frac{y_B - y_A}{x_B - x_A} $$

Comme \((x_A < x_B)\) sur l'axe des abscisses, par conséquent on a toujours \((x_B - x_A > 0)\) :

$$ a = \frac{y_B - y_B}{\underbrace{x_B - x_A} _\text{toujours \(> 0\)}} $$

Le signe de \(a\) est alors uniquement déterminé par le numérateur \((y_2 - y_1)\).

$$ \textcolor{#4A8051}{si \ a \ est \ +}, $$

$$ y_B -y_A > 0$$

$$ y_A < y_B $$

Et dans cas,

$$ \bigl[ x_A < x_B \bigr] \land \Bigl[ f(x_A) < f(x_B) \Bigr] $$

Les abscisses et les images sont dans le même ordre :

\(\Longrightarrow\) la fonction est croissante

$$ \textcolor{#9C5353}{si \ a \ est \ -},$$

$$ y_B -y_A < 0$$

$$ y_A > y_B $$

Et dans cas,

$$ \bigl[ x_A < x_B \bigr] \land \Bigl[ f(x_A) > f(x_B) \Bigr] $$

Les abscisses et les images sont dans l'ordre contraire :

\(\Longrightarrow\) la fonction est décroissante

Exemple :

$$f(x) = -3x + 1 $$

La pente est négative, donc la fonction est strictement décroissante.

$$ x $$	$$ -\infty $$	$$ \frac{1}{3} $$	$$ +\infty $$
signe de \(f\)	$$ \textcolor{#4A8051}{+} $$	$$ 0$$	$$ \textcolor{#9C5353} {-} $$
variations de \(f\)

$$ x $$	$$ -\infty $$	$$ $$	$$ +\infty $$
signe de \(f\)	$$ $$	$$ 0$$	$$ $$
variations de \(f\)

5. Point d'intersection entre deux fonctions affines : \(f_1 = f_2\)

Soit deux fonction affines \((f_1, \ f_2)\).

$$ \Biggl \{ \begin{gather*} f_1(x) = a_1 x + b_1 \\ f_2(x) = a_2 x + b_2 \end{gather*} \hspace{4em} \Bigl( avec \ (a_1 \neq a_2) \Bigr) $$

Comme ces deux droites ne sont pas parallèles, on peut trouver ce point d'intersection en résolvant : \(f_1(x) = f_2(x)\). Alors :

$$\forall (a_1, a_2) \in \hspace{0.03em} \mathbb{R}^2, \ \forall (b_1, b_2) \in \hspace{0.03em} \mathbb{R}^2,$$
$$ \Bigl[ a_1 x + b_1 = a_2 x + b_2 \Bigr] \Longleftrightarrow x = - \frac{b_2- b_1}{a_2 - a_1} = - \frac{\Delta b}{\Delta a} $$

$$ \Bigl( avec \ (a_1 \neq a_2) \Bigr)$$

Le point d'intersection entre deux fonctions affines non parallèles

Pour trouver le point d'intersection entre deux fonctions affines non parallèles, on résoud l'équation :

$$f_1(x) = f_2(x)$$

Soit :

$$a_1 x + b_1 = a_2 x + b_2 $$

$$a_1 x - a_2 x = b_2 - b_1$$

$$x(a_1 - a_2) = b_2 - b_1$$

$$x = \frac{b_2- b_1}{a_1 - a_2} $$

On s'arrange pour sortir le signe \((-)\) au dénominateur :

$$x = \frac{b_2- b_1}{-(a_2 - a_1)} $$

$$x = - \frac{b_2- b_1}{a_2 - a_1} = - \frac{\Delta b}{\Delta a} $$

$$ \Bigl( avec \ (a_1 \neq a_2) \Bigr)$$

Fonction carrée : \(f(x) = x^2\)

1. Définition

La fonction carrée répond à la définition générale :

$$ \forall x \in \mathbb{R}, $$

$$f(x) = x^2 $$





2. Parité

C'est une fonction paire, car :

$$ \forall x \in \mathbb{R}, $$

$$(-x)^2 = x^2 $$

Toutes les fonctions de type \(f(x) = x^{n}\), c'est-à-dire avec un exposant \(n\) pair, seront des fonctions paires.

La raison fondamentale est que toutes ces fonctions sont tous des carrés :

$$ x^n \ avec \ n \ pair \Longleftrightarrow x^{2m}$$
$$ \left(avec \ m = \frac{n}{2} \right)$$

Exemples :

$$x^4 = \left(x^2 \right)^2$$
$$x^{24}= \left(x^{12} \right)^2$$

3. Résolution d'équations

Lorsque l'on souhaite résoudre une équation de type :

$$x^2 = A \qquad (A \in \mathbb{R})$$

On aura les trois cas possibles, soit :

• deux solutions si \(A \neq 0 \) :

$$ \mathcal{S} = \Bigl \{ \sqrt{A}, -\sqrt{A} \Bigr \} $$





• une seule solution si \(A = 0 \) :

$$ \mathcal{S} = \bigl \{ 0 \bigr \} $$

• pas de solution si \(A < 0 \) :

$$\mathcal{S} = \cancel{O}$$

À retenir : un carré est toujours positif.

Fonction racine carrée : \(f(x) = \sqrt{x}\)

1. Définition

La fonction racine carrée répond à la définition générale :

$$ \forall x \in \hspace{0.05em} \mathbb{R}^+, $$

$$f(x) = \sqrt{x} $$





Elle n'est définie que pour des nombres positifs, car tout carré étant positif, il n'existe pas de racine carrée d'un nombre négatif.

Sur la courbe, on voit que sa courbe est la symétrique de celle de la fonction carrée, par rapport à la droite d'équation \((y = x)\), appellée aussi l'identité.

2. Formules

Les formules des racines carrées fonctionnent comme celles des puissances :

$$\forall (a,b) \in \hspace{0.03em} \left[ \mathbb{R}^+ \right]^2,$$

$$ \sqrt{ab} = \sqrt{a} \times \sqrt{b} $$

$$\forall a \in \hspace{0.05em} \mathbb{R}^+, \ \forall b \in \mathbb{R}^*_+, $$

$$ \sqrt{\frac{a}{b}} = \frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}} $$

Et uniquement pour les nombres positifs, on aura :

$$\forall a \in \hspace{0.05em} \mathbb{R}^+,$$

$$ \sqrt{a}^2 = \sqrt{a^2} = a $$

3. Inégalité de la racine carrée

L'inégalité de la racine carrée est la suivante :

$$\forall (a,b) \in \hspace{0.03em} \left[ \mathbb{R}^+ \right]^2,$$

$$ \sqrt{a + b} \leqslant \sqrt{a} + \sqrt{b} $$

L'inégalité de la racine carrée

Lemme :

Deux nombres positifs sont dans un certain ordre, si et seulement leurs carrés respectifs le sont aussi.

$$\forall (a,b) \in \hspace{0.03em} \left[ \mathbb{R}^+ \right]^2,$$

$$a \leqslant b \Longleftrightarrow a^2 \leqslant b^2 $$

Calculons alors les carrés respectifs de chaque membre, et comparons-les.

$$ \left(\sqrt{a + b}\right)^2 = a + b \qquad (1) $$

$$ \left(\sqrt{a} + \sqrt{b}\right)^2 = a \textcolor{#4A8051}{+ 2\sqrt{a} \sqrt{b} } + b \qquad (2) $$

Dans la seconde expression, on remarque qu'il y a un terme positif en plus. C'est donc celui-qui est le plus grand.

Grâce au lemme, on peut directement conclure que :

$$ \left[ \left(\sqrt{a + b}\right)^2 \leqslant \left(\sqrt{a} + \sqrt{b}\right)^2 \right] \Longleftrightarrow \left[ \sqrt{a + b}\leqslant \sqrt{a} + \sqrt{b} \right] $$

Et finalement, on a bien prouvé que :

$$\forall (a,b) \in \hspace{0.03em} \left[ \mathbb{R}^+ \right]^2,$$

$$\sqrt{a + b} \leqslant \sqrt{a} + \sqrt{b} $$

Fonction cube : \(f(x) = x^3\)

1. Définition

La fonction cube répond à la définition générale :

$$ \forall x \in \mathbb{R}, $$

$$f(x) = x^3$$





2. Parité

C'est une fonction impaire, car :

$$ \forall x \in \mathbb{R}, $$

$$(-x)^3 = -x^3 $$

Toutes les fonctions de type \(f(x) = x^n\), avec un exposant \(n\) impair seront des fonctions impaires.

3. Résolution d'équations

Lorsque l'on souhaite résoudre une équation de type :

$$x^3 = A \qquad (A \in \mathbb{R})$$

La fonction étant strictement croissante, on aura toujours qu'une seule solution :

$$ \mathcal{S} = \Bigl \{ \sqrt[3]{A} \Bigr \} $$

Fonction inverse : \(f(x) = \frac{1}{x}\)

La fonction inverse répond à la définition générale :

$$f(x) = \frac{1}{x} $$

Elle renvoie l'inverse de n'importe quel nombre.

Exemples :

1. Parité

C'est une fonction impaire, car :

$$ \forall x \in \hspace{0.05em} \mathbb{R}^*, $$

$$\frac{1}{-x} = -\frac{1}{x} $$

Fonction valeur absolue : \(f(x) = |x|\)

La fonction valeur absolue répond à la définition générale :

$$f(x) = |x|$$

Et plus précisément :

$$f(x) = \Biggl \{ \begin{gather*} -x \hspace{2em} (si \ x < 0) \\ \hspace{0.6em} x \hspace{2em} (si \ x \geqslant 0) \end{gather*} $$

Elle renvoie la valeur positive de la valeur en entrée.

1. Parité

C'est une fonction paire, car :

$$ \forall x \in \mathbb{R}, $$

$$ | -x | = | x | $$

2. Formules

Les formules des valeurs absolues fonctionnent aussi comme celles des puissances :

$$\forall (a,b) \in \hspace{0.05em} \mathbb{R} ^2,$$

$$ |ab| = |a| \times |b| $$

$$\forall a \in \mathbb{R}, \ \forall b \in \hspace{0.05em} \mathbb{R}^*, $$

$$ \left| \frac{a}{b} \right| = \frac{|a|}{|b|} $$