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Les fonctions affines

Définition

Une fonction affine

Les fonctions affines sont toujours des droites. Elles répondent à la définition générale :

$$ \forall (a,b, x) \in \hspace{0.05em} \mathbb{R}^3, $$
$$f(x) = ax + b $$
la fonction affine : \(f(x) = ax+b\)

Elles se composent de :

Avec deux points distincts \(M_1\bigl[ x_1; \ y_1 \bigr]\) et \(M_2\bigl[ x_2; \ y_2 \bigr]\) de la courbe, on calcule d'abord \(a\) puis en déduit \(b\).

Le coefficient directeur : \(a\)

C'est ce qui indique l'inclinaison de la droite.

On calcule ce coefficent grâce à deux points \(M_1\bigl[ x_1; \ y_1 \bigr]\) et \(M_2\bigl[ x_2; \ y_2 \bigr]\) de la courbe :

$$ a = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1} = \frac{\Delta y}{\Delta x} $$
le calcul du coefficient directeur \(a\)

le calcul du coefficient directeur \(a\)

Soit \(f\) une fonction linéaire.

Soient \(M_1\bigl[ x_1; \ y_1 \bigr]\) et \(M_2\bigl[ x_2; \ y_2 \bigr]\) deux points distincts qui appartiennent à \(\mathcal{C}_f\), la courbe de la fonction \(f\), donc :

$$ \Biggl \{ \begin{gather*} y_1 = a x_1 + b \qquad (1) \\ y_2 = a x_2 + b \qquad (2) \end{gather*} $$
$$ avec \enspace \Biggl \{ \begin{gather*} (a, b) \in \hspace{0.01em} \mathbb{R}^2 \\ (x_1 \neq x_2) \ et \ (y_1 \neq y_2) \end{gather*} $$

En faisant l'opération \((2) - (1)\), on obtient :

$$y_2 - y_1= a x_2 + b - (a x_1 + b)$$
$$y_2 - y_1 = a x_2+ b - a x_1 - b $$

À ce stade, \(b\) et \(-b\) se sont annihilés :

$$y_2 - y_1 = a x_2 - a x_1$$

On met \(a\) en facteur, puis :

$$y_2 - y_1 = a(x_2 - x_1) $$

Et enfin :

$$y_2 - y_1 = a(x_2 - x_1) $$
$$ a = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1} $$

On a bien \((x_2-x_1) \neq 0 \) car par hypothèse les deux points sont différents, soit \(x_1 \neq x_2 \).

L'ordonne à l'origine : \(b\)

  1. Détermination de \(b\)

    2. Il existe deux possibilités pour obtenir \(b\).

    1. en connaissant les coordonnées d'un point \(\Omega\) appartenant à la courbe

      2. On l'obtient une fois avoir calculé \(a\) en connaissant un point \(\Omega(x_0; y_0)\) de la droite :

      $$f(x_0) = ax_0 + b$$
      $$f(x_0) - ax_0 = b$$
      $$\Omega(x_0; y_0) \in \hspace{0.01em} \mathcal{C}_f \Longleftrightarrow b = f(x_0) -a x_0 $$

    2. en connaissant uniquement la formule de l'équation

      3. Dans ce cas, on peut simplement faire \(f(0)\) car :

      $$f(0) = a \times 0 + b = b$$
      $$b = f(0) $$

  2. Cas particulier : fonction linéaire

    3. Si \((b=0)\), alors l'expression générale \(ax+b\) est réduite à \(ax\), et dans ce cas on parlera de fonction linéaire.

    $$ \forall (a, x) \in \hspace{0.05em} \mathbb{R}^2,$$
    $$f(x) = ax $$
    la fonction linéaire : \(f(x) = ax\)

Signes et variations d'une fonction affine

Soit une fonction affine d'équation : \(f(x) = ax+b\).

Le sens de variations de cette fonction ne dépend que de la pente \(a\).

$$ x $$
$$ -\infty $$
$$ - \frac{b}{a} $$
$$ +\infty $$
$$\textcolor{#4A8051}{si \ a \ est \ +}$$
$$ \textcolor{#9C5353}{-} $$
$$ 0$$
$$ \textcolor{#4A8051}{+} $$
$$\textcolor{#9C5353}{si \ a \ est \ -}$$
$$ \textcolor{#4A8051}{+} $$
$$ 0$$
$$ \textcolor{#9C5353}{-} $$
signes d'une fonction affine : \(f(x) = ax+b\)
Le signe d'une fonction affine

Soit une fonction affine, définie par : \(f(x) = ax+b\).

On cherche à résoudre ces trois équations, pour déterminer le signe dans tous les cas de figure :

$$ f(x) > 0$$
$$ ax+b > 0$$
$$ ax > -b$$
$$\left \{ \begin{gather*} \textcolor{#4A8051}{si \ a \ est \ +}, \ x > -\frac{b}{a} \\ \\ \textcolor{#9C5353}{si \ a \ est \ -}, \ x < -\frac{b}{a} \end{gather*} \right \} $$
$$ f(x) = 0$$
$$ ax+b = 0$$
$$ ax = -b$$
$$ x = -\frac{b}{a} $$
$$ f(x) < 0$$
$$ ax+b < 0$$
$$ ax < -b$$
$$\left \{ \begin{gather*} \textcolor{#4A8051}{si \ a \ est \ +}, \ x < -\frac{b}{a} \\ \\ \textcolor{#9C5353}{si \ a \ est \ -}, \ x > -\frac{b}{a} \end{gather*} \right \} $$
$$ x $$
$$ -\infty $$
$$ - \frac{b}{a} $$
$$ +\infty $$
$$\textcolor{#4A8051}{si \ a \ est \ +}$$
$$ \textcolor{#9C5353}{-} $$
$$ 0$$
$$ \textcolor{#4A8051}{+} $$
$$\textcolor{#9C5353}{si \ a \ est \ -}$$
$$ \textcolor{#4A8051}{+} $$
$$ 0$$
$$ \textcolor{#9C5353}{-} $$
signes d'une fonction affine : \(f(x) = ax+b\)

Les variations d'une fonction affine

Le coefficient directeur calcul la variation entre deux points \(M_1\bigl[ x_1; \ y_1 \bigr]\) et \(M_2\bigl[ x_2; \ y_2 \bigr]\) par :

$$ a = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1} $$

Comme \((x_1 < x_2)\) sur l'axe des abscisses, par conséquent on a toujours \((x_2 - x_1 > 0)\) :

$$ a = \frac{y_2 - y_2}{\underbrace{x_2 - x_1} _\text{toujours \(> 0\)}} $$

Le signe de \(a\) est alors uniquement déterminé par le numérateur \((y_2 - y_1)\).

$$ \textcolor{#4A8051}{si \ a \ est \ +}, $$
$$ y_2 -y_1 > 0$$
$$ y_1 < y_2 $$

Et dans cas,

$$ \bigl[ x_1 < x_2 \bigr] \land \Bigl[ f(x_1) < f(x_2) \Bigr] $$

Les abscisses et les images sont dans le même ordre :

\(\Longrightarrow\) la fonction est croissante

$$ \textcolor{#9C5353}{si \ a \ est \ -},$$
$$ y_2 -y_1 < 0$$
$$ y_1 > y_2 $$

Et dans cas,

$$ \bigl[ x_1 < x_2 \bigr] \land \Bigl[ f(x_1) > f(x_2) \Bigr] $$

Les abscisses et les images sont dans l'ordre contraire :

\(\Longrightarrow\) la fonction est décroissante

Exemple :

$$f(x) = -3x + 1 $$

La pente est négative, donc la fonction est strictement décroissante.

$$ x $$
$$ -\infty $$
$$ \frac{1}{3} $$
$$ +\infty $$
signe de \(f\)
$$ \textcolor{#4A8051}{+} $$
$$ 0$$
$$ \textcolor{#9C5353} {-} $$
variations de \(f\)
$$ x $$
$$ -\infty $$
$$ $$
$$ +\infty $$
signe de \(f\)
$$ $$
$$ 0$$
$$ $$
variations de \(f\)
signes et variations de la fonction affine : \(f(x) = -3x+1\)

Point d'intersection entre deux fonctions affines : \(f_1 = f_2\)

Soit deux fonction affines \((f_1, \ f_2)\) :

$$ \forall x \in \mathbb{R}, \ \Biggl \{ \begin{gather*} f_1(x) = a_1 x + b_1 \\ f_2(x) = a_2 x + b_2 \end{gather*} $$
$$ avec \enspace \Biggl \{ \begin{gather*} (a_1, \ b_1, \ a_2, \ b_2) \in \hspace{0.01em} \mathbb{R}^4 \\ a_1 \neq a_2 \end{gather*} $$

Comme ces deux droites ne sont pas parallèles, on peut trouver ce point d'intersection en résolvant : \(f_1(x) = f_2(x)\). Alors :

$$ f_1(x) = f_2(x) \Longrightarrow x = - \frac{b_2- b_1}{a_2 - a_1} = - \frac{\Delta b}{\Delta a} $$
Le point d'intersection entre deux fonctions affines non parallèles

Soit deux fonction affines \((f_1, \ f_2)\) non parallèles entre elles :

$$ \forall x \in \mathbb{R}, \ \Biggl \{ \begin{gather*} f_1(x) = a_1 x + b_1 \\ f_2(x) = a_2 x + b_2 \end{gather*} $$
$$ avec \enspace \Biggl \{ \begin{gather*} (a_1, \ b_1, \ a_2, \ b_2) \in \hspace{0.01em} \mathbb{R}^4 \\ a_1 \neq a_2 \end{gather*} $$

Pour trouver le point d'intersection entre deux fonctions affines non parallèles, on résoud l'équation :

$$f_1(x) = f_2(x)$$

Soit :

$$a_1 x + b_1 = a_2 x + b_2 $$
$$a_1 x - a_2 x = b_2 - b_1$$
$$x(a_1 - a_2) = b_2 - b_1$$
$$x = \frac{b_2- b_1}{a_1 - a_2} $$

On s'arrange pour sortir le signe \((-)\) au dénominateur :

$$x = \frac{b_2- b_1}{-(a_2 - a_1)} $$
$$x = - \frac{b_2- b_1}{a_2 - a_1} = - \frac{\Delta b}{\Delta a} $$

$$ \Bigl( avec \ (a_1 \neq a_2) \Bigr)$$

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