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Exercices de type problème sur les encadrements et inéquations

Comparaison de nombres

Comparer ces différents nombres entre eux.

$\frac{1}{3}$ et $\frac{2}{7}$
$-\frac{4}{5}$ et $-1$
$5 \sqrt{2}$ et $4 \sqrt{3}$
$-4 \sqrt{7}$ et $-5 \sqrt{6}$

Pour comparer deux fractions, on doit les mettre au même dénominateur.

$\frac{1}{3}$ et $\frac{2}{7}$

$$\frac{1}{3}$$

$$\frac{1}{3} \textcolor{#6187B2}{\times \frac{7}{7} }$$

$$et$$

$$$$

$$\frac{2}{7}$$

$$\frac{2}{7} \textcolor{#6187B2}{\times \frac{3}{3} }$$

$$\frac{7}{21} > \frac{6}{21} $$

Alors,

$$\frac{1}{3} > \frac{2}{7}$$

$-\frac{4}{5}$ et $-1$

$$-\frac{4}{5}$$

$$-\frac{4}{5} $$

$$et$$

$$$$

$$-1$$

$$-1 \textcolor{#6187B2}{\times \frac{5}{5} }$$

$$-\frac{4}{5} > -\frac{5}{5} $$

Alors,

$$-\frac{4}{5} > -1$$

$5 \sqrt{2}$ et $4 \sqrt{3}$

Ensuite, pour comparer deux nombres ayant des racines carres, on doit s'assurer qu'il soit bien sur la même partie continue et montone de la fonction carrée; c'est bien le cas.

$$5 \sqrt{2}$$

$$\textcolor{#6187B2}{( } 5 \sqrt{2} \textcolor{#6187B2}{)^2}$$

$$5^2 \sqrt{2}^2$$

$$25 \times 2 = 50$$

$$et$$

$$$$

$$4 \sqrt{3}$$

$$\textcolor{#6187B2}{( } 4 \sqrt{3} \textcolor{#6187B2}{)^2}$$

$$4^2 \sqrt{3}^2$$

$$16 \times 3 = 48$$

$$50 > 48$$

Comme nous comparons deux nombres positifs, leurs carrés respectifs seront rangés dans le même ordre.

Alors,

$$5 \sqrt{2} > 4 \sqrt{3}$$

$-4 \sqrt{7}$ et $-5 \sqrt{6}$

Idem, ici aussi on est bien sur la même partie continue et montone de la fonction carrée.

$$-4 \sqrt{7}$$

$$\textcolor{#6187B2}{( } -4 \sqrt{7} \textcolor{#6187B2}{)^2}$$

$$4^2 \sqrt{7}^2$$

$$16 \times 7 = 112$$

$$et$$

$$$$

$$-5 \sqrt{6}$$

$$\textcolor{#6187B2}{( } -5 \sqrt{6} \textcolor{#6187B2}{)^2}$$

$$5^2 \sqrt{6}^2$$

$$25 \times 6 = 150$$

$$112 < 150$$

Comme nous comparons deux nombres négatifs, leurs carrés respectifs seront rangés dans l'ordre inverse.

Alors,

$$-4 \sqrt{7} >-5 \sqrt{6}$$

Encadrement simple

Sachant que :

$$ 1.41 < \sqrt{2} < 1.42$$

Donner un encadrement du nombre : $1 - \frac{7\sqrt{2}}{3}$

On démarre de l'inéquation :

$$ 1.41 < \sqrt{2} < 1.42$$

Puis on applique à chaque fois les opérations dans l'ordre des priorités opératoires :

$$ \textcolor{#6187B2}{ \left(- \frac{7}{3} \right)} \times 1.41 > \textcolor{#6187B2}{ \left(- \frac{7}{3} \right)} \times \sqrt{2} > \textcolor{#6187B2}{ \left(- \frac{7}{3} \right)} \times 1.42$$

(en multipliant par un nombre négatif, le sens de l'inéquation change)

$$ - \frac{7 \times 1.41 }{3} \textcolor{#6187B2}{+1} > - \frac{7 \times \sqrt{2} }{3} \textcolor{#6187B2}{+1} > - \frac{7 \times 1.42 }{3} \textcolor{#6187B2}{+1}$$

$$ 1- \frac{7 \times 1.41 }{3} > 1 - \frac{7\sqrt{2}}{3} > 1 - \frac{7 \times 1.42 }{3} $$

Éventuellement, on met au même dénominateur :

$$ \frac{3}{3} - \frac{7 \times 1.41 }{3} > 1 - \frac{7\sqrt{2}}{3} > \frac{3}{3} - \frac{7 \times 1.42 }{3} $$

$$ \frac{3-7 \times 1.41}{3} > 1 - \frac{7\sqrt{2}}{3} > \frac{3-7 \times 1.42}{3} $$

Représentation des réels sur une droite graduée

Soit les intervalles suivants :

$I = \Bigl] -2; 4 \Bigr]$

$J = \Bigl] -\frac{1}{2}; \frac{3}{2} \Bigr[$

$K = \Bigl] -\infty; 2 \Bigr[$

$L = \Bigl] 1; + \infty \Bigr[$

Sur la droite des réels :

Représenter ces intervalles.

Représenter l'intervalle résultant de $(I \cup J)$.

Représenter l'intervalle résultant de $(K \cap L)$.

Quelle note pour avoir la moyenne ?

Ce trimestre, un élève a les notes suivantes avec leur coefficient respectif :

Note (sur 20)	Coefficient
$$9$$	$$3$$
$$8$$	$$1$$
$$11$$	$$2$$

Il reste une seule évaluation coefficient $2$, avant la fin du trimestre.

Note (sur 20)	Coefficient
$$X$$	$$2$$

Quelle note va-t-il devoir obtenir à cette dernière éval pour obtenir la moyenne à la fin du trimestre ?

La moyenne de cet élève, avec coefficient et sans la note à venir, vaut :

$$Moy = \frac{9 \times \textcolor{#6187B2}{3} + 9 \times \textcolor{#6187B2}{1} + 11 \times \textcolor{#6187B2}{2}}{\textcolor{#6187B2}{3} + \textcolor{#6187B2}{1} + \textcolor{#6187B2}{2}}$$

$$Moy \approx 9.6 / 20$$

On appelle $X$ cette note à venir.

Sachant que la prochaine évaluation sera coefficient $2$, on peut la rajouter de manière théorique dans la précédente moyenne :

$$Moy (X)= \frac{9 \times \textcolor{#6187B2}{3} + 8 \times \textcolor{#6187B2}{1} + 11 \times \textcolor{#6187B2}{2} + X \times \textcolor{#6187B2}{2} }{\textcolor{#6187B2}{3} + \textcolor{#6187B2}{1} + \textcolor{#6187B2}{2} + \textcolor{#6187B2}{2}}$$

$$Moy (X)= \frac{57 + 2X }{\textcolor{#6187B2}{8}}$$

L'élève souhaite avoir la moyenne, alors il faut résoudre l'inéquation suivante $(I)$ :

$$Moy (X) \geqslant 10 \qquad (I)$$

Soit :

$$\frac{57 + 2X }{\textcolor{#6187B2}{8}} \geqslant 10$$

$$ 8 \times \frac{57 + 2X }{\textcolor{#6187B2}{8}} \geqslant 8 \times 10 \qquad (\times 8)$$

$$57 + 2X \geqslant 80$$

$$ 2X \geqslant 80 - 57 \qquad \left(- 57 \right) $$

$$ 2X \geqslant 23 $$

$$ \frac{1}{2} \times 2X \geqslant \frac{1}{2} \times 23 \qquad \left(\times \frac{1}{2} \right) $$

$$X \geqslant 11.5 $$

Alors, l'élève va devoir avoir au moins $11.5/20$ à cette évaluation à venir.

La salle de sports

Un club de sports propose deux tarifs :

abonnement à $50 € / mois$ et chaque séance à $5 €$
pas d'abonnement mais chaque séance vaut $12 €$

À partir de combien de séances par mois le prix sans abonnement n'est plus rentable ?

On appelle $X$ le nombre de séances à la salle de sports.

Le tarif de la première salle de sports peut se modéliser par :

$$P_1(X) = 50 + 5X $$

Le tarif de la seconde salle de sports peut lui se modéliser par :

$$P_2(X) = 12X $$

L'abonnement de la seconde salle de sports ne sera plus rentable à partir du moment où elle sera plus chère que l'autre, autrement dit si :

$$P_2(X) > P_1(X) $$

On remplace par nos expressions de départ :

$$12X > 50 + 5X $$

Et on résoud.

$$12X - 5X > 50 $$

$$7X > 50 $$

$$X > \frac{50}{7} $$

Comme $ \frac{50}{7} \approx 7.14$, on prendra le nombre entier qui suit cette valeur approchée

Alors, le prix sans abonnement ne sera plus rentable à partir de la $8^{i\textit{è}me}$ séance.

Résolution d'équations du premier degré

Résoudre dans $\mathbb{R}$ les équations suivantes :

Pour toutes ces équations du premier degré, c'est toujours la même stratégie :

ranger les nombres attachés à $x$ d'un côté, et les nombres seuls de l'autre
isoler $x$ en suivant la progression inverse des priorités opréatoires

$ 3x - 1 < 2x - 3 $

$$3x - 1 < 2x - 3$$

$$3x -2x < - 3 +1 $$

$$x < -2 $$

Soit,

$$x \in \Bigl] -\infty; -2 \Bigr[$$

$ -4x -1 < x + 2 $

$$ -4x -1 < x + 2 $$

$$ -4x -x < 2 +1 $$

$$ -5x < 3 $$

En mutlipliant les deux côtés par $ \left(-\frac{1}{5} \right)$, on change le sens de l'inéquation :

$$ \textcolor{#6187B2}{ \left(-\frac{1}{5} \right) \times } \left(-5x\right) < 3 \textcolor{#6187B2}{ \times \left(-\frac{1}{5} \right)} $$

$$ \frac{-5}{-5}x > -\frac{3}{5} $$

$$ \frac{\cancel{-5}}{\cancel{-5}}x > -\frac{3}{5} $$

$$ x > -\frac{3}{5} $$

Soit,

$$x \in \Bigl] -\frac{3}{5}; +\infty \Bigr[$$

$ -\frac{2}{3} + 5 \geqslant -\frac{2}{7} -1 $

$$ -\frac{2}{3}x + 5 \geqslant -\frac{2}{7}x -1 $$

$$ -\frac{2}{3}x + \frac{2}{7}x \geqslant -1 -5 $$

Ensuite, pour la partie sous forme de fractions, on met tout sous le même dénominateur :

$$ -\frac{2}{3}x \textcolor{#6187B2}{ \times \frac{7}{7} } + \frac{2}{7}x \textcolor{#6187B2}{ \times \frac{3}{3} } \geqslant -6 $$

$$ -\frac{14}{21}x + \frac{6}{21}x \geqslant -6 $$

Et on additionne :

$$ -\frac{8}{21}x \geqslant -6 $$

Enfin, on se débarrasse de la fraction accollée à $x$ en multipliant par son inverse :

$$ \textcolor{#6187B2}{ \left( \frac{21}{8} \right) \times } \left( -\frac{8}{21}x \right) \geqslant \left( -6 \right) \textcolor{#6187B2}{ \times \left( \frac{21}{8 }\right) } $$

$$ - \frac{ \cancel{21}}{\cancel{8}} \times \frac{\cancel{8}}{\cancel{21}} x \geqslant - \frac{21 \times 6}{8} $$

$$ -x \geqslant - \frac{21 \times 6}{8} $$

Et du signe $(-)$ en changeant le sens de l'inéquation :

$$ \textcolor{#6187B2}{ (-1) \times } \left( -x \right) \geqslant \left( - \frac{21 \times 6}{8} \right) \textcolor{#6187B2}{ \times (-1) } $$

$$x \leqslant \frac{63}{4} $$

Soit,

$$x \in \Bigl] -\infty; \frac{63}{4} \Bigr]$$

Résolution d'équations du second degré

Résoudre dans $\mathbb{R}$ les équations suivantes :

Pour toutes ces équations du second degré, c'est toujours la même stratégie :

obtenir zéro à droite
factoriser l'expression
dresser un tableau de signes

Pour chaque inéquation, on notera par une lettre majuscule $(A) $ la forme de départ, et sa forme développée avec une apostrophe $(A') $.

$x^2 < 81 $

$$x^2 < 81 \qquad (A)$$

$$x^2 - 81 < 0 $$

$$x^2 - 9^2 < 0$$

$$(x-9)(x+9) < 0 \qquad (A') $$

On cherche les racines des deux facteurs :

$$x-9 = 0$$

$$x = 9$$

$$x+9 = 0$$

$$x = - 9$$

$$ x $$	$$ -\infty $$	$$ - 9 $$	$$ \hspace{3em}$$	$$ 9 $$	$$ \hspace{3em}$$
$$x -9 $$	$$ \textcolor{#B75F5F}{-} $$	$$ $$	$$ \textcolor{#B75F5F}{-} $$	$$ 0$$	$$ \textcolor{#54915C}{+} $$
$$ x + 9$$	$$ \textcolor{#B75F5F}{-} $$	$$ 0$$	$$ \textcolor{#54915C}{+} $$	$$$$	$$ \textcolor{#54915C}{+} $$
$$(x - 9)(x + 9) $$	$$ \textcolor{#54915C}{+} $$	$$ 0$$	$$ \textcolor{#B75F5F}{-} $$	$$ 0 $$	$$ \textcolor{#54915C}{+} $$

Alors, l'intervalle des solutions pour $(A)$ est :

$$x \in \Bigl] -9; 9 \Bigr[$$

$x^2 - 16 \geqslant 0 $

$$x^2 - 16 \geqslant 0 \qquad (B)$$

$$x^2 - 4^2 \geqslant 0 $$

$$(x -4)(x+4) \geqslant 0 \qquad (B') $$

On cherche les racines des deux facteurs :

$$x-4 = 0$$

$$x = 4$$

$$x+4 = 0$$

$$x = - 4$$

$$ x $$	$$ -\infty $$	$$ - 4 $$	$$ \hspace{3em}$$	$$ 4 $$	$$ \hspace{3em}$$
$$x -4 $$	$$ \textcolor{#B75F5F}{-} $$	$$ $$	$$ \textcolor{#B75F5F}{-} $$	$$ 0$$	$$ \textcolor{#54915C}{+} $$
$$ x + 4$$	$$ \textcolor{#B75F5F}{-} $$	$$ 0$$	$$ \textcolor{#54915C}{+} $$	$$$$	$$ \textcolor{#54915C}{+} $$
$$(x - 4)(x + 4) $$	$$ \textcolor{#54915C}{+} $$	$$ 0$$	$$ \textcolor{#B75F5F}{-} $$	$$ 0 $$	$$ \textcolor{#54915C}{+} $$

Alors, l'intervalle des solutions pour $(B)$ est :

$$x \in \Bigl] -\infty; -4 \Bigr] \cup \Bigl [ 4; +\infty \Bigl [ $$

$(x-3)^2 \geqslant (2x+ 1)^2 $

Méthode classique :

$$(x-3)^2 \geqslant (2x+ 1)^2 \qquad (C)$$

$$(x-3)^2 - (2x+ 1)^2 \geqslant 0 $$

$$\Bigl[(x-3)+(2x+ 1)\Bigr]\Bigl[(x-3)-(2x+ 1)\Bigr] \geqslant 0 $$

$$(3x-2)(x-3-2x- 1) \geqslant 0 $$

$$(3x-2)(-x-4) \geqslant 0 \qquad (C') $$

On cherche les racines des deux facteurs :

$$3x-2 = 0 $$

$$3x = 2$$

$$x = \frac{2}{3}$$

$$-x-4 = 0$$

$$x = - 4$$

$$ x $$	$$ -\infty $$	$$ - 4 $$	$$ \hspace{3em}$$	$$ \frac{2}{3} $$	$$ \hspace{3em}$$
$$3x-2 $$	$$ \textcolor{#B75F5F}{-} $$	$$ $$	$$ \textcolor{#B75F5F}{-} $$	$$ 0$$	$$ \textcolor{#54915C}{+} $$
$$ - x- 4 $$	$$ \textcolor{#54915C}{+} $$	$$ 0$$	$$ \textcolor{#B75F5F}{-}$$	$$$$	$$ \textcolor{#B75F5F}{-} $$
$$(x - 4)(x + 4) $$	$$ \textcolor{#B75F5F}{-} $$	$$ 0$$	$$\textcolor{#54915C}{+} $$	$$ 0 $$	$$ \textcolor{#B75F5F}{-} $$

Alors, l'intervalle des solutions pour $(C)$ est :

$$x \in \left[ -4; \frac{2}{3} \right]$$

Méthode "turque" :

$$(x-3)^2 \geqslant (2x+ 1)^2 \qquad (C)$$

On applique la racine carrée des deux côtés, on obtient des valeurs absolues :

$$|x-3| \geqslant |2x+ 1| \qquad (C^*) $$

On cherche les racines des deux facteurs :

$$x-3 = 0 $$

$$x =3$$

$$ \Longrightarrow |x-3| = \enspace \Biggl \{ \begin{gather*} -(x-3) \ pour \ x < 3 \\ \hspace{1em} x-3 \ pour \ x \geqslant 3 \end{gather*} $$

(car la fonction $\Bigl[ f(x) = x-3 \Bigr]$ est strictement croissante sur $ \mathbb{R}$)

$$2x+ 1$$

$$x = - \frac{1}{2} $$

$$ \Longrightarrow | 2x+ 1 | = \enspace \Biggl \{ \begin{gather*} -(2x+ 1) \ pour \ x < - \frac{1}{2} \\ \hspace{1em} 2x+ 1 \ pour \ x \geqslant - \frac{1}{2} \end{gather*} $$

(car la fonction $\Bigl[ f(x) = 2x+ 1 \Bigr]$ est strictement croissante sur $ \mathbb{R}$)

Comme nous avons deux valeurs pour les racines, il faut traiter trois intervalles différents.

$$x < - \frac{1}{2} \qquad (a) $$

$$- \frac{1}{2} \leqslant x \leqslant 3 \qquad (b) $$

$$3 \leqslant x \qquad (c) $$

- Cas $(a)$ : pour $x < - \frac{1}{2} $ :

$$|x-3| \geqslant |2x+ 1|$$

Comme on a : $x < - \frac{1}{2} < 3$, alors :

$$ \Biggl \{ \begin{gather*} |x-3|=-(x-3) \\ |2x+1|=-(2x+1) \end{gather*} $$

Soit,

$$ -x+3 \geqslant -2x-1 $$

$$-x + 2x \geqslant -1 -3 $$

$$ x \geqslant - 4 $$

- Cas $(b)$ : pour $ - \frac{1}{2} < x < 3 $ :

$$|x-3| \geqslant |2x+ 1|$$

Comme on a : $ - \frac{1}{2} \leqslant x \leqslant 3$, alors :

$$ \Biggl \{ \begin{gather*} |x-3|=-(x-3) \\ |2x+1|=2x+1 \end{gather*} $$

Soit,

$$ -x+3 \geqslant 2x+1 $$

$$ -x - 2x \geqslant 1 -3 $$

$$ -3x \geqslant 2 $$

$$ 3x \leqslant - 2 $$

$$x \leqslant \frac{2}{3}$$

- Cas $(c)$ : pour $3 < x $ :

$$|x-3| \geqslant |2x+ 1|$$

Comme on a : $- \frac{1}{2} < 3 < x $, alors :

$$ \Biggl \{ \begin{gather*} |x-3|=x-3 \\ |2x+1|=2x+1 \end{gather*} $$

Soit,

$$x-3 \geqslant 2x+1 $$

$$x -2x \geqslant 4$$

$$-x \geqslant 4$$

$$x \leqslant -4$$

(pas de solutions car en dehors de

l'intervalle du cas d'étude où $(x >3)$)

Alors, l'intervalles des solutions pour $(C^*)$ :

$$|x-3| \geqslant |2x+ 1| \qquad (C^*) $$

et donc aussi pour $(C)$, est l'intersection des deux intervalles trouvés en résultat (car on a traité différents cas à part), soit :

$$x \in \left[ -4; \frac{2}{3} \right]$$

$(3x +4)(1-x) \leqslant 3 - 3x $.

$$(3x +4)(1-x) \leqslant 3 - 3x \qquad (D)$$

$$(3x +4)(1-x) - (3 - 3x) \leqslant 0 $$

On peut trouver un facteur commun :

$$(3x +4)(1-x) - 3(1-x) \leqslant 0 $$

$$(1-x)\Bigl[(3x +4) - 3] \leqslant 0 $$

$$(1-x)(3x +1)\leqslant 0 \qquad (D') $$

On cherche les racines des deux facteurs :

$$1-x = 0 $$

$$x = 1$$

$$3x +1 = 0$$

$$3x = -1 $$

$$x = - \frac{1}{3} $$

$$ x $$	$$ -\infty $$	$$ - \frac{1}{3}$$	$$ \hspace{3em}$$	$$ 1 $$	$$ \hspace{3em}$$
$$1-x $$	$$ \textcolor{#54915C}{+} $$	$$ $$	$$ \textcolor{#54915C}{+} $$	$$ 0$$	$$ \textcolor{#B75F5F}{-} $$
$$ 3x+1$$	$$ \textcolor{#B75F5F}{-} $$	$$ 0$$	$$ \textcolor{#54915C}{+} $$	$$ $$	$$ \textcolor{#54915C}{+} $$
$$(1-x)(3x +1) $$	$$\textcolor{#B75F5F}{-} $$	$$ 0$$	$$ \textcolor{#54915C}{+} $$	$$ 0 $$	$$ \textcolor{#B75F5F}{-} $$

Alors, l'intervalle des solutions pour $(D)$ est :

$$x \in \Bigl[ -\infty; -\frac{1}{3} \Bigr] \cup \Bigl [ 1; +\infty \Bigl [ $$

$ (2x-1)x^2 < 6x -3 $.

$$(2x-1)x^2 < 6x -3 \qquad (E)$$

$$(2x-1)x^2 -( 6x -3) < 0 $$

$$(2x-1)x^2 - 3(2x-1) < 0 $$

$$(2x-1)(x^2 -3) < 0 $$

Ici, il faut faire une deuxième factorisation :

$$(2x-1)\left(x - \sqrt{3}\right)\left(x + \sqrt{3}\right) < 0 \qquad (E')$$

On cherche les racines des trois facteurs :

$$2x-1 = 0 $$

$$2x = 1$$

$$x = \frac{1}{2}$$

$$x - \sqrt{3} = 0 $$

$$x = \sqrt{3}$$

$$x + \sqrt{3} = 0 $$

$$x = -\sqrt{3}$$

$$ x $$	$$ -\infty $$	$$ -\sqrt{3} $$	$$ \hspace{3em}$$	$$ \frac{1}{2} $$	$$ \hspace{3em}$$	$$\sqrt{3} $$	$$ \hspace{3em}$$
$$2x-1 $$	$$ \textcolor{#B75F5F}{-} $$	$$ $$	$$ \textcolor{#B75F5F}{-} $$	$$ 0$$	$$ \textcolor{#54915C}{+} $$	$$$$	$$ \textcolor{#54915C}{+} $$
$$ x - \sqrt{3} $$	$$ \textcolor{#B75F5F}{-} $$	$$ $$	$$ \textcolor{#B75F5F}{-} $$	$$ $$	$$ \textcolor{#B75F5F}{-} $$	$$ 0 $$	$$ \textcolor{#54915C}{+} $$
$$ x + \sqrt{3} $$	$$ \textcolor{#B75F5F}{-} $$	$$ 0 $$	$$ \textcolor{#54915C}{+} $$	$$ $$	$$ \textcolor{#54915C}{+} $$	$$$$	$$ \textcolor{#54915C}{+} $$
$$ (2x-1)(x - \sqrt{3})(x + \sqrt{3})$$	$$ \textcolor{#B75F5F}{-} $$	$$ 0 $$	$$ \textcolor{#54915C}{+} $$	$$ 0 $$	$$ \textcolor{#B75F5F}{-} $$	$$ 0 $$	$$ \textcolor{#54915C}{+} $$

Alors, l'intervalle des solutions pour $(E)$ est :

$$x \in \Bigl] -\infty; -\sqrt{3} \Bigr[ \cup \Bigl] \frac{1}{2}; \sqrt{3} \Bigr[ $$

$ (2-3x)^2 \geqslant 0 $.

$$(2-3x)^2 \geqslant 0 \qquad (F)$$

C'est toujours vrai !

Car un carré est toujours positif...

Alors, l'intervalle des solutions pour $(F)$ est :

$$x \in \mathbb{R} $$