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Les relations d'ordre et intervalles

Relations d'ordre

Ci-dessous la manière dont sont notées les différentes relations d'ordre entre les nombres :

Intervalles

Un intervalle

Un intervalle est une distance entre deux nombres, pouvant comprendre une infinité de valeurs intermédiaires.

1. Les différents types d'intervalle

Type d'intervalle	Écriture mathématique	Intervalle
Intervalle fermé	$$ x \in \bigl [a; b \bigr] $$
Intervalle ouvert	$$ x \in \bigl ]a; b \bigr[ $$
Intervalle mixte	$$ x \in \bigl [a; b \bigr[ $$
Intervalle ouvert sur moins l'infini	$$ x \in \bigl ] - \infty; b \bigr] $$
Intervalle ouvert sur plus l'infini	$$ x \in \bigl[ a; + \infty \bigr[$$

2. Lien avec les ensembles de nombres

Pour simplifier certains intervalles, on pourra utiliser directement les ensembles de nombres.

Exemples :

$$ x \in \bigl]- \infty; + \infty \bigr[ \Longleftrightarrow x \in \mathbb{R}$$
$$ x \in \bigl[0; + \infty \bigr[ \Longleftrightarrow x \in \mathbb{R}^*$$
$$ x \in \bigl]0; + \infty \bigr[ \Longleftrightarrow x \in \mathbb{R}_+^*$$

3. Intersections/unions d'intervalles

Soit deux intervalles \(A\) et \(B\).

1. Union de deux intervalles : \(A \cup B\)

L'union \(A \cup B\) de deux intervalles est ce qui est en commun entre deux intervalles \(A\) et \(B\), plus ce qui leur est propre à chacun.



On prend ce qui est soit dans l'un, soit dans l'autre intervalle :



2. Intersection de deux intervalles : \(A \cap B\)

L'intersection \(A \cap B\) de deux intervalles est ce qui est en commun entre deux intervalles \(A\) et \(B\).



On prend ce qui est exactement commun aux deux intervalles :



Astuce : Lorsqu'on étudiera des fonctions avec plusieurs valeurs interdites, il faudra prendre l'intersection des différents ensembles de définition.

Exemple : la fonction \(f(x) = \frac{1}{x} + \frac{1}{x + 1}\)

(ensemble \(A\))

$$x \neq 0 $$

(ensemble \(B\))

$$(x + 1 )\neq 0 $$

$$x\neq -1 $$

L'intersection de ces deux ensemble est :

$$x \in \Bigl] - \infty; -1 \Bigr[ \cup \Bigl] -1; 0 \Bigr[ \cup \Bigl] 0; + \infty \Bigr[ $$
$$\Bigl( (x \neq 0 )\ et \ (x \neq -1 ) \Bigr) $$

Attention : Dans l'intervalle final de l'exemple, il est écrit sous forme d'union (point d'après).

Comparaison de deux nombres

De manière générale, lorsqu'on applique une fonction entre deux nombres dont on connaît l'ordre, il faut s'assurer que ces derniers soient tous les deux dans un intervalle continue et monotone.

1. Comparaison de deux fractions

Pour comparer deux fractions entre elles, on met tout simplement au même dénominateur :

Exemple : \(\frac{3}{7}\) et \(4 \sqrt{9}\)

$$ \frac{3}{7} = \frac{3}{7} \textcolor{#54915C}{\times \frac{9}{9}} = \frac{21}{63} $$
$$ \frac{4}{9} = \frac{4}{9} \textcolor{#54915C}{\times \frac{7}{7}} = \frac{28}{63} $$

Il est alors évident après cela que :

$$ \frac{3}{7} < \frac{4}{9} $$

On applique le carré de chaque côté.

2. Comparaison de deux racines carrées

Comme la fonction carrée est :

$$\Biggl \{ \begin{gather*} d\textit{é}croissante \ sur \ \mathbb{R}^- \\ croissante \ sur \ \mathbb{R}^+ \end{gather*} $$



On ne comparer deux nombres avec une racine carrée seulement si ils sont soit tous les deux négatifs, soit tous les deux positifs car la fonction est centrée en \(0\).

Car on sait que pour deux nombres négatifs :

$$\forall (a, b) \in \hspace{0.03em} \mathbb{R}^-, \ a < b,$$

$$ a^2 < b^2 \Longleftrightarrow a > b $$

Mais pour les nombres positifs :

$$\forall (a, b) \in \hspace{0.03em} \mathbb{R}^+, \ a < b,$$

$$ a^2 < b^2 \Longleftrightarrow a < b $$

Exemple : \(2 \sqrt{3}\) et \(3 \sqrt{2}\)

On applique le carré de chaque côté.

$$ (2 \sqrt{3})^2 = 4 \times 3 = 12$$
$$ (3 \sqrt{2})^2 = 9 \times 2 = 18$$

Et comme ce sont deux nombres positifs, ils seront rangés dans le même ordre que leurs carrés :

$$ (2 \sqrt{3})^2 < (3 \sqrt{2})^2 \Longleftrightarrow 2 \sqrt{3} < 3 \sqrt{2} $$

Soit,

$$ 2 \sqrt{3} < 3 \sqrt{2} $$

Distance absolue

1. Définition

La valeur absolue d'un nombre est une opération qui revient la valeur positive de ce nombre.

$$|x| = \Biggl \{ \begin{gather*} -x \hspace{2em} (si \ x < 0) \\ \hspace{0.7em} x \hspace{2em} (si \ x \geqslant 0) \end{gather*} $$

Cette opération est notamment utile pour calculer des distances entre deux points :



Sur la figure précédente, on a \(a < b\), alors :

$$(b-a) > 0 \Longrightarrow distance \ positive $$

Mais,

$$(a-b) < 0 \Longrightarrow distance \ n\textit{é}gative $$

En prenant la valeur absolue, on récupère une distance positive quoiqu'il arrive car pour la distance négative \((a-b)\) :

$$|a-b| = -(a-b) = b-a $$



Soit de manière générale, la distance absolue entre deux points \(a\) et \(b\) est :

$$ d_{abs} = |a-b| = |b-a| $$

2. Distance absolue à l'intérieur d'un intervalle

Lorsqu'on se retrouve avec un intervalle formé d'une valeur centrale \((a)\), et un rayon \((r)\) déterminant la longueur de cet intervalle, d'une valeur totale de \(2r\).



Alors, dire que \(x \in \bigl[a-r \ ; a +r \bigr] \) revient à dire que :

$$(partie \ n\textit{é}gative)$$
$$a-r \leqslant x \leqslant a$$
$$-r \leqslant x-a \leqslant 0 $$
$$(partie \ positive) $$
$$a \leqslant x \leqslant a + r$$
$$0 \leqslant x-a \leqslant r $$

La fonction valeur absolue est strictement décroissante sur \(\bigl]- \infty; \ 0\bigr]\) et croissante sur \(\bigl[0; +\infty \bigr[\).



On doit donc changer le sens de l'inéquation pour l'intervalle ou la fonction est décroissante.

$$|x-a| \leqslant r$$
$$|x-a| \leqslant r$$

Et dans tous les cas, on a bien :

$$ x \in \bigl[a-r \ ; a +r \bigr] \Longleftrightarrow |x-a| \leqslant r$$