Résolution de systèmes linéaires à deux inconnues
Soit un système \((\mathcal{S})\) à deux inconnues \((x,y)\) suivant :
$$ (\mathcal{S}) \enspace \Biggl \{ \begin{gather*}
a x + b y = c \\
\alpha x + \beta y = \gamma \\
\end{gather*} $$
$$ avec \enspace \Biggl \{ \begin{gather*}
(a,b,c) \in \hspace {0.01em} \mathbb{R}^3 \\
(\alpha, \beta, \gamma) \in \hspace {0.01em} \mathbb{R}^3
\end{gather*} $$
On cherche à trouver un couple unique \((x,y)\), solution de ce système. Plusieurs méthodes de résolution sont possibles :
Pour les trois méthodes, nous allons utiliser le même système en exemple :
$$ (\mathcal{S}) \enspace \Biggl \{ \begin{gather*}
3 x -2 y = 4 \hspace{4em} (L_1) \\
-x + 4 y = -1 \hspace{3em} (L_2) \\
\end{gather*} $$
Par combinaison
À partir du système \((S)\) :
$$ (\mathcal{S}) \enspace \Biggl \{ \begin{gather*}
3 x -2 y = 4 \hspace{4em} (L_1) \\
-x + 4 y = -1 \hspace{3em} (L_2) \\
\end{gather*} $$
On va chercher à éliminer une des deux inconnues \((x,y)\) en manipulant les lignes du système par des opérations élémentaires.
Par exemple, on peut multiplier \((L_2)\) par \(3\) :
$$ (\mathcal{S}) \enspace \Biggl \{ \begin{gather*}
3 x -2 y = 4 \hspace{8em} (L_1) \\
-\textcolor{#4A8051}{3}x + \textcolor{#4A8051}{3 \times} 4 y = \textcolor{#4A8051}{3 \times} (-1)\hspace{3em} (\textcolor{#4A8051}{3}L_2) \\
\end{gather*} $$
$$ (\mathcal{S}) \enspace \Biggl \{ \begin{gather*}
3 x -2 y = 4 \hspace{8em} (L_1) \\
-3x + 12 y = -3 \hspace{6em} (3L_2) \\
\end{gather*} $$
À présent, on peut effecteur l'opération \((L_1) + (3L_2)\) pour éliminer \(x\) :
\((L_1) + (3L_2)\) :
$$3x - 2y -3x + 12y = 4 - 3$$
$$10y = 1$$
$$y = \frac{1}{10}$$
Enfin, on peut remplacer la valeur de \(y\) dans une des deux expressions de départ, par exemple \((L_1)\), pour déterminer la valeur de \(x\) :
$$\hspace{8em} 3 x -2 y = 4 \hspace{8em} (L_1) $$
$$3 x -2 \times \textcolor{#4A8051}{\frac{1}{10}} = 4 $$
$$3 x = 4 + \frac{2}{10}$$
$$3 x = 4 \textcolor{#6187B2}{\times \frac{10}{10}} + \frac{2}{10}$$
$$3 x = \frac{40}{10} + \frac{2}{10}$$
$$3 x = \frac{42}{10} $$
$$x = \frac{42}{10 \times 3} $$
$$x = \frac{14 \times \cancel{3}}{10 \times \cancel{3}} = \frac{7 \times \cancel{2}}{5 \times \cancel{2}} $$
$$x = \frac{7}{5} $$
On alors déterminé le couple de solutions \((x,y)\) solution de \((S)\) par combinaison :
$$\mathcal{S} = \left \{ x = \frac{7}{5}, \ y = \frac{1}{10} \right \} $$
Par substitution
À partir du système \((S)\) :
$$ (\mathcal{S}) \enspace \Biggl \{ \begin{gather*}
3 x -2 y = 4 \hspace{4em} (L_1) \\
-x + 4 y = -1 \hspace{3em} (L_2) \\
\end{gather*} $$
On va chercher à obtenir une expression d'une des deux inconnues et l'injecter dans la seconde expression.
Exprimons \(x\) en fonction de \(y\) dans la première ligne \((L_1)\) :
$$\hspace{4em} 3 x -2 y = 4 \hspace{4em} (L_1)$$
$$3 x = 4 + 2y $$
$$x = \frac{4 + 2y}{3} \hspace{4em} (L_1') $$
Maintenant, injectons cette expression \((L_1')\) dans la seconde ligne restée inctacte \((L_2)\) :
\((L_1') \longrightarrow (L_2)\) :
$$-x + 4 y = -1 \hspace{3em} (L_2) $$
$$ \hspace{3em} -\frac{4 + 2y}{3} + 4 y = -1 \hspace{3em} (L_1') \longrightarrow (L_2) $$
$$ \hspace{3em} \frac{-4 - 2y}{3} + 4 y \textcolor{#6187B2}{\times \frac{3}{3}} = -1$$
$$ \frac{-4 -2y + 12y}{3} = -1$$
$$ \textcolor{#6187B2}{(-3) \times } \left(-\frac{10y}{3} \right) = (-1) \textcolor{#6187B2}{\times (-3)}$$
$$ 4 +10y = 3$$
$$ 10y = 3 - 4$$
$$10y = 1$$
$$y = \frac{1}{10}$$
À cette étape, on peut faire la même chose que précédemment en injectant la valeur de \(y\) dans une des deux expressions, prenons cette fois \((L_2)\) :
$$\hspace{3em} -x + 4 y = -1 \hspace{3em} (L_2) $$
$$-x + 4 \times \textcolor{#4A8051}{\frac{1}{10}} = -1 $$
$$ -x + \frac{4}{10} = -1 $$
$$ -x = -1 \textcolor{#6187B2}{\times \frac{10}{10}}- \frac{4}{10} $$
$$ -x = -\frac{10}{10}- \frac{4}{10} $$
$$ -x = -\frac{14}{10} $$
$$ x = \frac{7 \times \cancel{2}}{5 \times \cancel{2}} $$
$$x = \frac{7}{5} $$
On alors déterminé le couple de solutions \((x,y)\) solution de \((S)\) par substitution :
$$\mathcal{S} = \left \{ x = \frac{7}{5}, \ y = \frac{1}{10} \right \} $$
En transformant le système en deux fonctions affines
À partir du système \((S)\) :
$$ (\mathcal{S}) \enspace \Biggl \{ \begin{gather*}
3 x -2 y = 4 \hspace{4em} (L_1) \\
-x + 4 y = -1 \hspace{3em} (L_2) \\
\end{gather*} $$
On peut aussi considérer les deux expressions du système comme deux fonctions affines.
On va alors exprimer \(y = f(x)\) pour les deux lignes :
$$ (\mathcal{S}) \enspace \Biggl \{ \begin{gather*}
3 x -2 y = 4 \hspace{4em} (L_1) \\
-x + 4 y = -1 \hspace{3em} (L_2) \\
\end{gather*} $$
$$ (\mathcal{S}) \enspace \Biggl \{ \begin{gather*}
-2 y = 4 - 3 x \hspace{4em} \\
4 y = -1 + x \hspace{3em} \\
\end{gather*} $$
$$ (\mathcal{S}) \enspace \left \{ \begin{gather*}
\textcolor{#4A8051} {\left( -\frac{1}{2} \right) \times } (-2 y) = \textcolor{#4A8051} {\left( -\frac{1}{2} \right) \times } (4 - 3 x) \\
\textcolor{#4A8051} {\left( \frac{1}{4} \right) \times } 4 y = \textcolor{#4A8051} {\left( \frac{1}{4} \right) \times } (-1 + x) \\
\end{gather*} \right \} $$
$$ (\mathcal{S}) \enspace \left \{ \begin{gather*}
y = -2 + \frac{3}{2} x \hspace{4em} (y_1) \\
\\
y = -\frac{1}{4} + \frac{1}{4}x \hspace{3em} (y_2) \\
\end{gather*} \right \} $$
On résoud maintenant l'équation \((y_1 = y_2) \) comme l'intersection de deux fonctions affines.
\((y_1) = (y_2)\) :
$$ \Bigl[ y = y \Bigr] \Longleftrightarrow \left[ -2 + \frac{3}{2} x = -\frac{1}{4} + \frac{1}{4}x \right] $$
$$ \frac{3}{2} x - \frac{1}{4}x = -\frac{1}{4} + 2 $$
$$ \frac{3}{2} x \textcolor{#4A8051}{\times \frac{2}{2}} - \frac{1}{4}x = -\frac{1}{4} + 2 \textcolor{#4A8051}{\times \frac{4}{4}} $$
$$ \frac{6}{4} x - \frac{1}{4}x = -\frac{1}{4} + \frac{8}{4} $$
$$ \frac{5}{4} x = \frac{7}{4} $$
$$ \textcolor{#4A8051}{\frac{4}{5} \times } \frac{5}{4} x = \textcolor{#4A8051}{\frac{4}{5} \times } \frac{7}{4} $$
$$x = \frac{7}{5} $$
Enfin, on détermine l'image \(y\) unique en prenant une de deux expressions de départ, et comme précédemment on trouve :
$$y = \frac{1}{10}$$
On alors déterminé le couple de solutions \((x,y)\) solution de \((S)\) par transformation du système en deux fonctions affines :
$$\mathcal{S} = \left \{ x = \frac{7}{5}, \ y = \frac{1}{10} \right \} $$
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