Expression de l'équation cartésienne d'une droite dans le plan
À partir d'un vecteur directeur \(\overrightarrow{u}\begin{pmatrix} \alpha \\ \beta\end{pmatrix}\) et d'un point \(A\bigl[ x_0 ; y_0 \bigr]\) de la droite \(\mathscr{D}\), on peut déterminer l'équation cartésienne de cette droitedans le plan. Et cette droite a pour équation :
$$\forall M\bigl[ x ; y \bigr] \in \hspace {0.01em} \mathbb{R}^2, $$
$$ et \enspace \Biggl \{ \begin{gather*}
a = \alpha \\
b = -\beta \\
c = \beta x_0 - \alpha y_0 \end{gather*} $$
Déterminer l'expression d'une droite dans le plan
Soit une droite \(\mathscr{D}\) dont on souhaite déterminer l'expression, à partir d'un vecteur directeur \(\overrightarrow{u}\begin{pmatrix} \alpha \\ \beta\end{pmatrix}\) et d'un point fixe \(A\bigl[ x_0 ; y_0 \bigr]\) appartenant à cette droite.
De même, utilise un point mobile de la droite, le point \(M\bigl[ x ; y \bigr]\). On a alors :
$$ \exists k \in \mathbb{R}, \hspace{2em} \overrightarrow{u}\begin{pmatrix} \alpha \\ \beta\end{pmatrix} = k \times \overrightarrow{AM}\begin{pmatrix} x - x_0\\ y - y_0 \end{pmatrix} $$
un vecteur \(\overrightarrow{u}\) dirigeant une droite \(\mathscr{D}\)
Or deux vecteurs sont colinéaires si et seulement si leur déterminant est nul, soit :
$$ det \left(\overrightarrow{u}, \ k \times \overrightarrow{AM} \right) = 0 $$
On a alors :
$$ \alpha \times k (y - y_0) - \beta \times k (x - x_0) = 0 $$
On peut mettre \(k\) en facteur :
$$ k \times \Bigl( \alpha (y - y_0) - \beta \times k (x - x_0) \Bigr) = 0 $$
puis l'éliminer puisqu'il ne joue plus :
$$ \alpha y - \alpha y_0 - \beta x + \beta x_0 = 0 $$
$$ \alpha y - \alpha y_0 - \beta x + \beta x_0 = 0 $$
$$ \alpha y - \beta x + \underbrace { \beta x_0 - \alpha y_0 } _\text{c} = 0 $$
$$ et \enspace \Biggl \{ \begin{gather*}
a = \alpha \\
b = -\beta \\
c = \beta x_0 - \alpha y_0 \end{gather*} $$
Exemple :
À partir d'un vecteur directeur d'un vecteur directeur \(\overrightarrow{u}\begin{pmatrix} 2 \\ 3 \end{pmatrix}\) et d'un point fixe \(A\bigl[ 1 ; 4 \bigr]\) appartenant à cette droite , cherchons l'équation cartésienne de la droite \(\mathscr{D}\) dans le plan. On a :
$$ \exists k \in \mathbb{R}, \hspace{2em} \overrightarrow{u}\begin{pmatrix} 2 \\ 3 \end{pmatrix} = k \times \overrightarrow{AM}\begin{pmatrix} x - 1\\ y - 4 \end{pmatrix} $$
Comme ces deux vecteurs ont un rapport de proportionnalité, on a :
$$ det \left(\overrightarrow{u}, \ k \times \overrightarrow{AM} \right) = 0 $$
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