Problèmes sur les systèmes d'équations à deux inconnues
Le ferme de lapins et de poules
Une ferme d'élevage ne contient que des lapins et des poules. On sait aussi que :
Combien y a-t-il de lapins et de poules dans cette ferme ?
L'énoncé nous amène à résoudre le système suivant :
$$ (\mathcal{S}) \enspace \Biggl \{ \begin{gather*}
p + l = 12 \hspace{5em} (L_1) \\
2p + 4l = 30 \hspace{4em} (L_2)
\end{gather*} $$
$$ avec \enspace \Biggl \{
\begin{gather*}
p : nombre \ de \ poules \\
l : nombre \ de \ lapins
\end{gather*} $$
Cette exercice est une occasion de montrer les trois méthodes.
-
1 ère méthode : combinaison
$$ (\mathcal{S}) \enspace \Biggl \{ \begin{gather*}
p + l = 12 \hspace{5em} (L_1) \\
2p + 4l = 30 \hspace{4em} (L_2)
\end{gather*} $$
On multiplie la première ligne par \(2\) par la mettre à niveau de la seconde.
$$ (\mathcal{S}) \enspace \Biggl \{ \begin{gather*}
\textcolor{#AB6464}{2}p + \textcolor{#AB6464}{2}l = \textcolor{#AB6464}{2 \times}12 \hspace{5em} (\textcolor{#AB6464}{2}L_1) \\
2p + 4l = 30 \hspace{6.8em} (L_2)
\end{gather*} $$
$$ (\mathcal{S}) \enspace \Biggl \{ \begin{gather*}
2p + 2l = 24 \hspace{5em} (2L_1) \\
2p + 4l = 30 \hspace{5.4em} (L_2)
\end{gather*} $$
À présent, on peut faire l'opération \((L_2) - (2L_1)\) :
$$ (L_2) - (2L_1) $$
$$ \Longleftrightarrow $$
$$ 2p + 4l - (2p + 2l) = 30 - 24 $$
$$ 2p + 4l - 2p - 2l = 6 $$
$$ 2l = 6 $$
$$ l = \frac{6}{2}$$
$$ p = 9 $$
-
2 ème méthode : substitution
$$ (\mathcal{S}) \enspace \Biggl \{ \begin{gather*}
p + l = 12 \hspace{5em} (L_1) \\
2p + 4l = 30 \hspace{4em} (L_2)
\end{gather*} $$
$$ (\mathcal{S}) \enspace \Biggl \{ \begin{gather*}
\textcolor{#6187B2}{p} = 12 - l \hspace{5em} (L_1') \\
2\textcolor{#6187B2}{p} + 4l = 30 \hspace{4em} (L_2)
\end{gather*} $$
On peut maintenant injecter la valeur de \(p\) présente dans \((L_1')\) dans son équivalent dans \((L_2)\) :
$$ (L_1') \longmapsto (L_2) $$
$$ \Longleftrightarrow $$
$$ 2\textcolor{#6187B2}{(12 - l)} + 4l = 30 $$
$$ 24 -2l + 4l = 30 $$
$$ 2l = 30 - 24 $$
$$ 2l = 6 $$
$$ l = \frac{6}{2}$$
$$ p = 9 $$
-
3 ème méthode : intersection de deux fonctions affines
$$ (\mathcal{S}) \enspace \Biggl \{ \begin{gather*}
p + l = 12 \hspace{5em} (L_1) \\
2p + 4l = 30 \hspace{4em} (L_2)
\end{gather*} $$
$$ (\mathcal{S}) \enspace \Biggl \{ \begin{gather*}
p = 12 - l \hspace{5em} \\
2p = 30 - 4l \hspace{4em}
\end{gather*} $$
$$ (\mathcal{S}) \enspace \left \{ \begin{gather*}
p = 12 - l \hspace{5em} (L_1^*) \\ \\
p = \frac{30 - 4l}{2} \hspace{4em} (L_2^*)
\end{gather*} \right \} $$
Comme on cherche un couple unique \((p,\ l)\) qui convient, on \((p = p)\), et de fait :
$$ p = p $$
$$ \Longleftrightarrow $$
$$ 12 - l = \frac{30 - 4l}{2} $$
On peut multiplier chaque membre par \(2\) pour simplifier :
$$ \textcolor{#AB6464}{2}(12 - l) = \textcolor{#AB6464}{2 \times \biggl(}\frac{30 - 4l}{2}\textcolor{#AB6464}{\biggr)} $$
$$ 24 - 2l = 30 - 4l $$
$$ 4l - 2l = 30 - 24 $$
$$ 2l = 6 $$
$$ l = \frac{6}{2}$$
$$ p = 9 $$
-
Déduction du second paramètre
Pour déterminer \(p\), on reprend une des lignes de notre système :
$$ p + \textcolor{#6187B2}{l} = 12 \hspace{3em} (L_1) $$
$$ p + \textcolor{#6187B2}{3} = 12 $$
$$ p = 12 - 3 $$
$$ p = 9 $$
Au final, on a trouvé le résultat suivant :
$$\mathcal{S} = \Bigl \{ p = 9, \ l = 3 \Bigr \} $$
Les prix du marché
Deux amis ont acheté tous deux des pommes de terres ainsi que des carottes au marché :
Quels sont les prix respectifs des pommes de terre et des carottes ?
On a le système suivant :
$$ (\mathcal{S}) \enspace \Biggl \{ \begin{gather*}
2p + 3c = 13.60 \hspace{5.4em} (L_1) \\
1.5p + 3.5c = 14.20 \hspace{4em} (L_2)
\end{gather*} $$
$$ avec \enspace \Biggl \{
\begin{gather*}
p : le \ kg \ de \ pommes \ de \ terre \\
c : le \ kg \ de \ carottes
\end{gather*} $$
Le mieux pour ce problème est de résoudre par combinaison.
$$ (\mathcal{S}) \enspace \Biggl \{ \begin{gather*}
\textcolor{#AB6464}{3\times}2p + \textcolor{#AB6464}{3\times}3c = \textcolor{#AB6464}{3\times}13.60 \hspace{5.4em} (\textcolor{#AB6464}{3}L_1) \\
\textcolor{#AB6464}{4\times}1.5p + \textcolor{#AB6464}{4\times}3.5c = \textcolor{#AB6464}{4\times}14.20 \hspace{4em} (\textcolor{#AB6464}{4}L_2)
\end{gather*} $$
$$ (\mathcal{S}) \enspace \Biggl \{ \begin{gather*}
6p + 9c = 40.80 \hspace{6em} (3L_1) \\
6p + 14c = 56.80 \hspace{5.4em} (4L_2)
\end{gather*} $$
Maintenant, on peut faire la soustraction des deux lignes :
$$ (4L_2) - (3L_1) $$
$$ \Longleftrightarrow $$
$$ 6p + 14c - (6p + 9c) = 56.80 - 40.80 $$
$$ 6p + 14c - 6p - 9c = 16 $$
$$ 5c = 16 $$
$$ c = \frac{16}{5} $$
$$ c = 3.20 \ € $$
On en déduit \(p\) avec par exemple la ligne \((3L_1)\) :
$$ 6p + 9c = 40.80 \hspace{4em} (3L_1) $$
$$ 6p + 9\textcolor{#6187B2}{\times 3.20} = 40.80 $$
$$ 6p + 28.80 = 40.80 $$
$$ 6p = 40.80 - 28.80 $$
$$ 6p = 12 $$
$$ p = \frac{12}{2} $$
$$ p = 2 \ €$$
Soit le résultat suivant :
$$\mathcal{S} = \Bigl \{ p = 2, \ c = 3.20 \Bigr \} $$
Le système complexe
Soit \((a, b) \in \mathbb{N}\) deux entiers naturels.
Trouver la valeur du couple unique de solutions \((a, b)\) qui résoud le système \((S)\) suivant :
$$ (S) \enspace \Biggl \{ \begin{gather*}
a + b = 42 \\
a^2 - b^2 = 84
\end{gather*} $$
$$ (S) \enspace \Biggl \{ \begin{gather*}
a + b = 42 \hspace{5em} (L_1) \\
a^2 - b^2 = 84 \hspace{4em} (L_2)
\end{gather*} $$
On commence par factorisation \((L_2)\)
$$ (S) \enspace \Biggl \{ \begin{gather*}
a + b = 42 \hspace{8em} (L_1) \\
(a+b)(a-b) = 84 \hspace{4.2em} (L_2^*)
\end{gather*} $$
On peut maintenant injecter la valeur de \((a+b)\) de \((L_1)\) dans son équivalent dans \((L_2^*)\) :
$$ (S) \enspace \Biggl \{ \begin{gather*}
\textcolor{#6187B2}{a + b} = 42 \hspace{8em} (L_1) \\
\textcolor{#6187B2}{(a+b)}(a-b) = 84 \hspace{4.2em} (L_2^*)
\end{gather*} $$
$$ (S) \enspace \Biggl \{ \begin{gather*}
\textcolor{#6187B2}{a + b} = 42 \hspace{8em} (L_1) \\
\textcolor{#6187B2}{42}(a-b) = 84 \hspace{6.2em} (L_2^{**})
\end{gather*} $$
On développe \((L_2^{**})\), puis on se retrouve avec un nouveau système \((S')\) à résoudre :
$$ (S') \enspace \Biggl \{ \begin{gather*}
a + b = 42 \hspace{8em} (L_1) \\
42a - 42b = 84 \hspace{6.2em} (L_2^{**})
\end{gather*} $$
Résolvons--le par combinaison :
$$ (S') \enspace \Biggl \{ \begin{gather*}
\textcolor{#AB6464}{42}a + \textcolor{#AB6464}{42}b = \textcolor{#AB6464}{42 \times}42 \hspace{8em} (\textcolor{#AB6464}{42}L_1) \\
42a - 42b = 84 \hspace{10em} (L_2^{**})
\end{gather*} $$
$$ (S') \enspace \Biggl \{ \begin{gather*}
42a + 42b = 1764 \hspace{6em} (42L_1) \\
42a - 42b = 84 \hspace{7.4em} (L_2^{**})
\end{gather*} $$
On peut maintenant soustraire les deux lignes :
$$ (42L_1) - (L_2^{**}) $$
$$ \Longleftrightarrow $$
$$ 42a + 42b - (42a - 42b) = 1764 - 84 $$
$$ 42a + 42b - 42a + 42b = 1680 $$
$$ 84b = 1680 $$
$$ b = \frac{1680}{84} $$
$$ b = 20 $$
Enfin, on détermine l'autre paramétre grâce à une des lignes :
$$a + \textcolor{#6187B2}{b} = 42 \hspace{4em} (L_1) $$
$$a + \textcolor{#6187B2}{20} = 42 $$
$$a = 42 - 20 $$
$$ a = 22 $$
Soit le résultat suivant :
$$\mathcal{S} = \Bigl \{ a = 22, \ b = 20 \Bigr \} $$
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