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Le raisonnement par l'absurde

Le raisonnement par l'absurde est utilisé lorsque ce que la proposition que l'on cherche à démontrer est soit vraie, soit fausse.

Il se fait en trois étapes :

On suppose que ce que l'on cherche à démontrer est vrai;
On démontre que ça ne peut pas l'être car cela mène à une contradiction;
On en conclue que ce que l'on avait supposé vrai est nécessairement faux.

Exemple :

Supposons qu'il ait plu ce matin.
S 'il avait plu, alors l'extérieur serait humide. Or, il semble que ce n'est pas le cas.
Donc, c'est impossible qu'il ait plu ce matin.

Le nombre $\frac{1}{3}$ n'est pas un nombre décimal

Soit $d$ un nombre décimal.

Par sa définition, on sait que ce nombre décimal s'écrit sous la forme :

$$d = \frac{a}{10^b} \qquad (a \in \mathbb{Z}, \ b \in \mathbb{N})$$

Alors, si l'on part de l'hypothèse que $\frac{1}{3}$ est un nombre décimal, il s'écrit aussi sous la forme : (étape 1 : supposition que c'est vrai)

$$\frac{1}{3} = \frac{a}{10^b} \qquad (a \in \mathbb{Z}, \ b \in \mathbb{N})$$

Or, en appliquant un produit en croix on obtient :

$$3a = \hspace{0.03em} 10^b $$

Puis :

$$a = \frac{10^b}{3}$$

Par hypothèse, $b$ est un entier naturel, donc positif, et $a$ est un entier relatif.

- Si $b=0$ :

$$a = \frac{1}{3}$$

- Sinon, si $b>0$, en décomposant le numérateur en puissances de facteurs premiers.

$$a = \frac{2^b \times 5^b}{3}$$

Peu importe la valeur de $b$, le numérateur ne sera jamais un multiple de $3$, car il ne possède pas $3$ comme facteur.

Donc le nombre $a$ ne pourra jamais de simplifier par $3$ et ne sera alors jamais un nombre entier. Ce qui contredie l'hypothèse de départ pour les nombres décimaux : à savoir que $a$ et $b$ sont entiers $(a \in \mathbb{Z}$ et $b \in \mathbb{N})$. (étape 2 : contradiction)

En conclusion, le nombre $\frac{1}{3}$ ne peut être un nombre décimal. (étape 3 : conclusion)

Ce qui explique pourquoi son écriture sous forme de nombre à virgule n'est jamais finie :

$$\frac{1}{3} = 0.33333333...etc.$$

Le nombre $\sqrt{2}$ est irrationnel

Supposons que le nombre $\sqrt{2}$ soit rationnel, alors il pourrait s'écrire sous forme de fraction irréductible telle que : (étape 1 : supposition que c'est vrai)

$$\sqrt{2} = \frac{a}{b} \qquad (a \in \mathbb{Z}, \ b \in \mathbb{N}^*) \qquad (H) $$

À partir de cette hypothèse, on obtient :

$$b \sqrt{2} =a $$

En mettant les deux membres de l'équation au carré, on obtient :

$$\left(b \sqrt{2}\right)^2 = a^2 $$

$$2b^2 = a^2 \qquad (1) $$

L'équation $(1)$ nous permet d'affirmer que le nombre $a^2$ est un nombre pair. Or, si le carré d'un nombre est pair, alors ce nombre l'est aussi.

Lemme :

$$ \forall n \in \mathbb{Z}, \ n^2 \ est \ pair \Longrightarrow n \ est \ pair$$

Définition : un lemme est un théorème déjà démontré qu'on réutilise dans une nouvelle démonstration.

Par conséquent, le nombre $a$ est pair, et il peut donc d'écrire sous la forme :

$$a = 2k \qquad (k \in \mathbb{Z}) \qquad (2) $$

En injectant maintenant la valeur de $a$ présente dans $(2)$ dans la relation $(1)$, on a :

$$2b^2 = (2k)^2 $$

$$2b^2 = 2^2 k^2 $$

$$b^2 = 2 k^2 $$

Toujours d'après le lemme précédent, on en déduit que $b$ est aussi un nombre pair, et peut ainsi s'écrire sous la forme :

$$b = 2k' \qquad (k' \in \mathbb{N}^*) \qquad (3) $$

(ici $k'$ appartient nécessairement à l'ensemble $\mathbb{N}^*$ pour rester cohérent avec l'hypothèse de départ $(H)$).

Maintenant, en injectant les expressions $(2)$ et $(3)$ par leur valeur respective dans l'hypothèse de départ $(H)$, on a :

$$\sqrt{2} = \frac{2k}{2k'} \qquad (k \in \mathbb{Z}, \ k' \in \mathbb{N}^*) \qquad (H) $$

Ce qui est en contradiction avec l'hypothèse de départ, qui veut qu'un nombre rationnel est écrit sous forme de fraction irréductible. (étape 2 : contradiction)

Ce résultat nous indique que le nombre $\sqrt{2}$ ne peut pas être un nombre rationnel. Il est donc nécessairement irrationnel. (étape 3 : conclusion)