Manipuler les formules de puissances

Dans cette partie méthode, on a besoin principalement de ces trois formules de cours :

$$ (x^a)^b = (x^b)^a = x^{ab} $$

(puissance de puissance)

$$ x^{-1} = \frac{1}{x} $$

(inverse de puissance)

Reconnaître un carré $: a^{2} $

Lorsqu'il y aura un nombre pair à l'exposant, on aura un carré à décomposer.

$$ a^{2n} = a^{2 \times n} $$

$$ a^{2n} = \left(a^{n} \right)^{2} = \left(a^{2} \right)^{n} $$

Alors, soit :

$$a^{2n} = \left(a^{n} \right)^{2} $$

$$a^{2n} = \left(a^{2} \right)^{n} $$

Exemples :

$$ 10^{6} = \left( 10^2 \right)^{3} $$

$$ 10^{-12} = \left( 10^{-6} \right)^2 $$

Reconnaître un inverse $: a^{-1} $

Lorsqu'on aura un signe $(-)$ à l'exposant, c'est nécessairement un inverse à décomposer.

$$ a^{-n} = a^{n \times (-1)} = a^{(-1) \times n} $$

$$ a^{-n} = \left(a^{n} \right)^{-1} = \left(a^{-1} \right)^{n} $$

Alors, soit :

$$a^{-n} = \left(a^{n} \right)^{-1} $$

$$a^{-n} = \left(a^{-1} \right)^{n} $$

Dans les deux cas, on aura bien $a^{-n}$ comme l'inverse de $a^{n}$ :

$$a^{-n} = \frac{1}{a^n} $$

Exemples :

$$ 1 \ micron = 10^{-6} = \left(10^6\right)^{-1} = \frac{1}{10^6} $$

(un millionième)