Problèmes sur les conversions et puissances

Une goutte d'eau dans l'océan

L'eau des océans est estimée à environ $1.4 $ milliards de $km^3 $.

Une goutte d'eau représente un volume de $0.001 \ L$.

Combien y a-i-il de gouttes d'eau dans l'océan ?

Mettons tout sous la même unité, le mieux est l'unité standard, le $m^3$ :

Pour le volume total des océans :

$$ V_{oceans} = 1.4 \times 10^{9} \times \big[km^3\bigr] $$

$$ V_{oceans} = 1.4 \times 10^{9} \times \ (10^3)^3 \big[m^3\bigr] $$

$$ V_{oceans} = 1.4 \times 10^{9} \times 10^9 \big[m^3\bigr] $$

$$ V_{oceans} = 1.4 \times 10^{18} \big[m^3\bigr] $$

Pour le volume d'eau par goutte d'eau :

$$ V_{goutte} = 1 \times 10^{-3} \frac{\big[L\bigr]}{\big[goutte\bigr]} $$

$$ V_{goutte} = 1 \times 10^{-3} \times 10^{-3} \frac{\big[m^3\bigr]}{\big[goutte\bigr]} $$

$$ V_{goutte} = 1 \times 10^{-6} \frac{\big[m^3\bigr]}{\big[goutte\bigr]} $$

En divisant le premier résultat par le second :

$$ N_{gouttes} = \frac{1.4 \times 10^{18} \big[m^3\bigr]}{1 \times 10^{-6} \frac{\big[m^3\bigr]}{\big[goutte\bigr]}} $$

$$ N_{gouttes} = 1.4 \times 10^{18} \big[m^3\bigr] \times \frac{1}{10^{-6}} \times \frac{\big[goutte\bigr] }{\big[m^3\bigr]} $$

$$ N_{gouttes} = 1.4 \times 10^{18} \cancel{\big[m^3\bigr]} \times 10^{6} \times \frac{\big[goutte\bigr] }{\cancel{\big[m^3\bigr]}} $$

$$N_{gouttes} = 1.4 \times 10^{24} \big[goutte\bigr] $$

Il y a environ $1.4 $ millions de milliards de milliards de gouttes dans les océans.

$$(1.4 \times 10^{6} \times 10^{9} \times 10^{9})$$

La vitesse maximale aérobie

La vitesse maximale aérobie $(VMA)$ est la vitesse de course à pied à partir de laquelle un coureur consomme son volume d'oxygène maximum $(V_{O_2}max)$. Un bon sportif peut tenir en moyenne entre $4$ et $6$ minutes à une telle vitesse.

On calcule la $VMA$ par la formule suivante :

$$VMA = \frac{V_{O_2}max}{3.5} \qquad avec \enspace \Biggl \{ \begin{gather*} VMA : vitesse \ maximale \ a\textit{é}robie \ (km/h) \\ V_{O_2}max : consommation \ maximum \ d'oxyg\textit{è}ne \ (mL/kg/min) \end{gather*} $$

Lors de tests à Clairefontaine, N'Golo Kanté a enregistré une $VMA$ proche des $5.83 \ m/s$. À combien cela correspond en $km/h$ ?

On souhaite convertir 5.83 $m/s$ en $km/h$. On a :

$$ VMA_{Kanté}= \frac{5.83 \bigl[m \bigr]}{1 \big[s \bigr]} =\frac{X \bigl[km \bigr]}{1 \big[h \bigr]} ? $$

On convertit en démarrant de ce qui est connu :

$$ \Biggl \{ \begin{gather*} 1 \bigl[km \bigr] = 1 \ 000 \bigl[m \bigr] \Longleftrightarrow \frac{1}{1 \ 000} \bigl[km \bigr] = 1 \bigl[m \bigr] \\ 1 \bigl[h \bigr] = 3 \ 600 \bigl[m \bigr] \Longleftrightarrow \frac{1}{3 \ 600} \bigl[h \bigr] = 1 \bigl[s \bigr] \end{gather*} $$

On remplace dans la formule de départ, ce que valent respectivement $1 \bigl[m \bigr]$ et $1 \bigl[s \bigr]$.

$$ VMA_{Kanté}= \frac{5.83 \bigl[m \bigr]}{1 \big[s \bigr]} = \frac{5.83 \times \frac{1}{1 \ 000} \bigl[km \bigr] }{1 \times \frac{1}{3 \ 600} \bigl[h \bigr]} $$

$$ VMA_{Kanté}= \frac{5.83 \times \frac{1}{1 \ 000} \bigl[km \bigr] }{\frac{1}{3 \ 600} \bigl[h \bigr]} $$

Diviser par un nombre, revient à multiplier par son inverse :

$$ VMA_{Kanté}= 5.83 \times \frac{1}{1 \ 000} \times 3600 \ \frac{\bigl[km \bigr]}{\bigl[h \bigr]} $$

$$ VMA_{Kanté} \approx 21 \ km/h $$

Quelle a alors été à ce moment sa $V_{O_2}max$ durant ses tests ?

À partir de la formule de départ :

$$ VMA = \frac{V_{O_2}max}{3.5} $$

En faisant un produit en croix, on a :

$$ V_{O_2}max = VMA \times 3.5 $$

Soit pour Kanté,

$$ V_{O_2}max \approx 21 \times 3.5\approx 73.5 \ mL/kg/min $$

L'année-lumière

La lumière se propage dans le vide à la vitesse de $300 \ 000 \ 000 \ m/s$. On pourra écrire cette vitesse sous la forme scientifique :

$$ V_{vide} = 3.0 \times 10^8 \ m/s $$

À combien cela correspond en $km/h$ ?

$$ V_{vide} = \frac{3 \times 10^8 \bigl[m \bigr]}{1 \big[s \bigr]} =\frac{X \bigl[km \bigr]}{1 \big[h \bigr]} ? $$

On convertit en partant de ce que l'on connaît, puis on ajuste :

Ensuite, on remplace :

$$ V_{vide} = \frac{3 \times 10^8 \times \frac{1}{1 \ 000} \bigl[km \bigr]}{1 \times \frac{1}{3 \ 600} \bigl[h \bigr]} $$

Diviser par un nombre revient à multiplier par l'inverse :

$$ V_{vide} = 3 \times 10^8 \times \frac{1}{1 \ 000} \times 3 \ 600 \frac{\bigl[km \bigr]}{ \bigl[h \bigr]} $$

$$ V_{vide} = 1.08 \times 10^9 \ km/h $$

Cela correspond environ à un milliard de km/h.

La lune se trouve à environ $384 \ 400 \ km$ de la Terre.

Combien de temps un faisceau de lumière envoyé depuis la Terre mettrait à arriver sur la lune ?

On peut faire un produit en croix :

$$ \frac{3 \times 10^8 \bigl[m \bigr]}{1 \big[s \bigr]} =\frac{384 \ 400 \bigl[km \bigr]}{t \big[s \bigr]} $$

On convertit d'abord tout dans les mêmes unités, avant de faire le calcul :

$$ \frac{3 \times 10^5 \bigl[km \bigr]}{1 \big[s \bigr]} =\frac{384 \ 400 \bigl[km \bigr]}{t \big[s \bigr]} $$

$$ t = \frac{384 \ 400 }{3 \times 10^5 } \bigl[s \bigr] $$

$$ t = 1.28 \ s $$

Une année lumière correspond à la distance parcourue par la lumière dans l'espace pendant un an.

À combien s'évalue cette distance en $km$ ?

$$ d_{AL} = 3 \times 10^8 \frac{ \big[m\bigr]}{\big[s\bigr]} \times \frac{ 3600 \big[s\bigr]}{\big[h\bigr]} \times \frac{ 24 \big[h\bigr]}{\big[j\bigr]} \times \frac{ 365 \big[j\bigr]}{\big[an\bigr]} \times 1 \big[an\bigr] $$

$$d_{AL} \approx 9.5 \times 10^{15} \ m $$

Cela correspond environ à dix mille milliards de km.

La production électrique française

La consommation électrique en France est répartie par secteur de la manière suivante :

Consommation finale d'électricité en France par secteur sur la séquence 1990-2020 (source: Ministère de la transition écologique)

Faire un graphique type camembert avec les pourcentages des productions respectives par secteur pour l'année 2020.

La consommation électrique d'une personne sur une année complète est de $2 \ 223 \ kWh$.

Estimer le nombre de personnes dont on a pu couvrir les besoins en électricité sur cette année.

Sur le graphique on lit environ $140 \ TWh$ pour le secteur résidentiel.

Alors, pour trouver le nombre de personnes que cela couvre, on a :

$$ N_{personnes} = \frac{ \frac{140 \Bigl[TWh\Bigr]}{ \Bigl[an\Bigr]}}{ \frac{ 2 \ 223 \Bigl[kWh\Bigr]}{ \Bigl[an\Bigr]\Bigl[personne\Bigr]}} $$

$$ N_{personnes} =\frac{ \frac{ 140 \times 10^{12} \Bigl[Wh\Bigr]}{ \Bigl[an\Bigr]}}{ \frac{ 2 \ 223 \times 10^3 \Bigl[Wh\Bigr]}{ \Bigl[an\Bigr]\Bigl[personne\Bigr]}} $$

On transforme la division en multipliant par l'inverse :

$$ N_{personnes} = \frac{ 140 \times 10^{12} \Bigl[Wh\Bigr]}{ \Bigl[an\Bigr]} \times \frac{\Bigl[an\Bigr]\Bigl[personne\Bigr]}{ 2 \ 223 \times 10^3 \Bigl[Wh\Bigr] } $$

On élimine en haut et en bas ce qui est commun :

$$ N_{personnes} = \frac{ 140 \times 10^{12} \cancel{\Bigl[Wh\Bigr]}}{ \cancel{\Bigl[an\Bigr]}} \times \frac{\cancel{\Bigl[an\Bigr]}\Bigl[personne\Bigr]}{ 2 \ 223 \times 10^3 \cancel{\Bigl[Wh\Bigr]} } $$

Soit,

$$ N_{personnes} = \frac{ 140 \times 10^{12} }{ 2 \ 223 \times 10^3} \ \Bigl[personne\Bigr] $$

$$ N_{personnes} = 62 \ 977 \ 957 \ personnes $$

Une personne qui pédalerait elle-même pour produire sa propre électricité pourrait fournir une puissance moyenne de $75 \ W$ pendant $2 \ h$.

Quelle quantité d'énergie électrique cela représente ?

Cela représente une énergie de :

$$ 75 \ [W] \times 2 \ [h]= 150 \ [Wh] $$

Combien de temps devrait-elle pédaler en une journée pour couvrir ses propres besoins quotidiens en électricité ?

Ses besoins sont de $ 2 \ 223 \times 10^3 \ Wh$ à l'année, soit environ $ 6.1 \times 10^3 \ Wh$ par jour

Alors on peut faire un produit en croix :

$$ \frac{150 \ [Wh] }{ 2 \ [h] } = \frac{ 6.1 \times 10^3 \ [Wh]}{X \ [h]} $$

$$ X = \frac{ 6.1 \times 10^3 \ [Wh] \times 2 \ [h]}{150 \ [Wh]} $$

$$ X = 81 \ [h] $$

Le temps d'une vie

Combien de secondes se sont écoulées depuis le début de votre vie ?

Les années bissextiles ont été les années : 2008, 2012, 2016, 2020, 2024.

Je suis né le 04/08/2008 à 16h10.

- Fin de la 1 ^ère journée : Il reste $7h50$ pour terminer la journée. Soit :

$$ t_1 = 7 \big[h\bigr] \times \frac{3600 \big[s\bigr]}{\big[h\bigr]} + 50 \big[min\bigr] \times \frac{60 \big[s\bigr]}{\big[min\bigr]} $$

$$ t_1 =28 \ 200 \ s $$

- Fin du 1 ^er mois : Il reste $27 \ jours$ pour terminer le mois d'août. Soit :

Mois	Janvier	Février	Mars	Avril	Mai	Juin
Nombre de jours	31	28	31	30	31	30

Mois	Juillet	Août	Septembre	Octobre	Novembre	Décembre
Nombre de jours	31	31	30	31	30	31

$$ t_2 = 27 \big[j\bigr] \times \frac{24 \big[h\bigr]}{\big[j\bigr]} \times \frac{3600 \big[s\bigr]}{\big[h\bigr]} $$

$$ t_2 = 2 \ 332 \ 800 \ s $$

- Fin de la 1 ^ère année : Il reste $122 \ jours$ pour terminer l'année. Soit :

$$ t_3 = 122 \big[j\bigr] \times \frac{24 \big[h\bigr]}{\big[j\bigr]} \times \frac{3600 \big[s\bigr]}{\big[h\bigr]} $$

$$ t_3 = 10 \ 540 \ 800 \ s $$

- Du 1 ^er janvier 2009 au 1 ^er janvier 2024 : Il s'est écoulé $15 \ ans$. Soit :

$$ t_4 = 15 \big[ans\bigr] \times \frac{365 \big[j\bigr]}{\big[ans\bigr]} \times \frac{24 \big[h\bigr]}{\big[j\bigr]} \times \frac{3600 \big[s\bigr]}{\big[h\bigr]} $$

$$ t_4 = 473 \ 040 \ 000 \ s $$

- Jusqu'à maintenant (23/09/2024, 18h45) : Il s'est écoulé $266 \ jours $, $18h $ et $45min $. Soit :

$$ t_5 = 266 \big[j\bigr] \times \frac{24 \big[h\bigr]}{\big[j\bigr]} \times \frac{3600 \big[s\bigr]}{\big[h\bigr]} + 18 \big[h\bigr] \times \frac{3600 \big[s\bigr]}{\big[h\bigr]} + 45 \big[min\bigr] \times \frac{60 \big[s\bigr]}{\big[min\bigr]} $$

$$ t_5 = 23 \ 063 \ 400 \ s $$

- Années bissextiles : Il y aura eu 4 années bissextiles (2012, 2016, 2020 et 2024). Il faut alors ajouter $4 \ jours$ :

$$ t_6 = 4 \big[j\bigr] \times \frac{24 \big[h\bigr]}{\big[j\bigr]} \times \frac{3600 \big[s\bigr]}{\big[h\bigr]} $$

$$ t_6 = 345 \ 600 \ s $$

-Total : Il se sera écoulé :

$$ t_{total} = t_1 + t_2 + t_3 + t_4 + t_5 + t_6 $$

$$ t_{total} = 509 \ 350 \ 600 \ s $$

Depuis ma naissance, il se sera écoulé $509 \ 350 \ 600 \ s$.

L'origine du jeu d'échecs

Selon la légende, l'inventeur présumé des échecs indien aurait inventé un jeu pour démontrer au roi sa faiblesse sans la présence de son entourage. Pour le remercier, le roi lui proposa de choisir sa récompense, et il demanda alors seulement quelques grains de blé...

Il invita le roi à poser un premier grain de blé sur la première case, puis deux sur la deuxième, puis quatre sur la troisième...etc, en doublant à chaque fois jusque la soixante-quatrième case de l'échiquier.

Quel fut le nombre de grains de blé présents sur la dernière case de l'échiquier ?

Case	1	2	3	4	5	6	...
Nombre de grains	$1$	$2$	$4$	$8$	$16$	$32$	...
Nombre de grains $(2^x)$	$2^0$	$2^1$	$2^2$	$2^3$	$2^4$	$2^5$	...

On observe une correspondance entre le rang de la case et le nombre de grains exprimée sous forme de puissance de $2$.

Comme un échiquier est un carré de $8$ cases $ \times \ 8$ cases, alors il y a $64$ cases.

À la $64$^ème case, il y a aura $2^{63}$ grains de blé.

Soit en appellant $n$ le nombre de grains de blé :

$$ n = 2^{63} \hspace{0.05em} \approx \hspace{0.05em} 10^{19} \ grains $$

Cela représente un total de dix milliards de milliards de grains de blé.

Case	1	2	3	4	5	6	...
Nombre de grains	\(1\)	\(2\)	\(4\)	\(8\)	\(16\)	\(32\)	...
Nombre de grains \((2^x)\)	\(2^0\)	\(2^1\)	\(2^2\)	\(2^3\)	\(2^4\)	\(2^5\)	...