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Exercices de type problème sur les conversions et puissances

Le temps d'une vie

Combien de secondes se sont écoulées depuis le début de votre vie ?

Les années bissextiles ont été les années : 2008, 2012, 2016, 2020, 2024.

Je suis né le 04/08/2008 à 16h10.

- Fin de la 1 ère journée : Il reste \(7h50\) pour terminer la journée. Soit :

$$t_1 = 7 \big[h\bigr] \times \frac{3600 \big[s\bigr]}{\big[h\bigr]} + 50 \big[min\bigr] \times \frac{60 \big[s\bigr]}{\big[min\bigr]} $$
$$t_1 =28 \ 200 \ s $$

- Fin du 1 er mois : Il reste \(27 \ jours\) pour terminer le mois d'août. Soit :

Mois

Janvier

Février

Mars

Avril

Mai

Juin

Nombre de jours

31

28

31

30

31

30

Mois

Juillet

Août

Septembre

Octobre

Novembre

Décembre

Nombre de jours

31

31

30

31

30

31
$$t_2 = 27 \big[j\bigr] \times \frac{24 \big[h\bigr]}{\big[j\bigr]} \times \frac{3600 \big[s\bigr]}{\big[h\bigr]} $$
$$t_2 = 2 \ 332 \ 800 \ s $$

- Fin de la 1 ère année : Il reste \(122 \ jours\) pour terminer l'année. Soit :

$$t_3 = 122 \big[j\bigr] \times \frac{24 \big[h\bigr]}{\big[j\bigr]} \times \frac{3600 \big[s\bigr]}{\big[h\bigr]} $$
$$t_3 = 10 \ 540 \ 800 \ s $$

- Du 1 er janvier 2009 au 1 er janvier 2024 : Il s'est écoulé \(15 \ ans\). Soit :

$$t_4 = 15 \big[ans\bigr] \times \frac{365 \big[j\bigr]}{\big[ans\bigr]} \times \frac{24 \big[h\bigr]}{\big[j\bigr]} \times \frac{3600 \big[s\bigr]}{\big[h\bigr]} $$
$$t_4 = 473 \ 040 \ 000 \ s $$

- Jusqu'à maintenant (23/09/2024, 18h45) : Il s'est écoulé \(266 \ jours \), \(18h \) et \(45min \). Soit :

$$t_5 = 266 \big[j\bigr] \times \frac{24 \big[h\bigr]}{\big[j\bigr]} \times \frac{3600 \big[s\bigr]}{\big[h\bigr]} + 18 \big[h\bigr] \times \frac{3600 \big[s\bigr]}{\big[h\bigr]} + 45 \big[min\bigr] \times \frac{60 \big[s\bigr]}{\big[min\bigr]} $$
$$t_5 = 23 \ 063 \ 400 \ s $$

- Années bissextiles : Il y aura eu 4 années bissextiles (2012, 2016, 2020 et 2024). Il faut alors ajouter \(4 \ jours\) :

$$t_6 = 4 \big[j\bigr] \times \frac{24 \big[h\bigr]}{\big[j\bigr]} \times \frac{3600 \big[s\bigr]}{\big[h\bigr]} $$
$$t_6 = 345 \ 600 \ s $$

-Total : Il se sera écoulé :

$$t_{total} = t_1 + t_2 + t_3 + t_4 + t_5 + t_6$$
$$t_{total} = 509 \ 350 \ 600 \ s $$

Depuis ma naissance, il se sera écoulé \(509 \ 350 \ 600 \ s\).

La production électrique française

La consommation électrique en France est répartie par secteur de la manière suivante :

Consommation finale d'électricité en France par secteur sur la séquence 1990-2020 (source: Ministère de la transition écologique)

  1. Faire un graphique type camembert avec les pourcentages des productions respectives par secteur pour l'année 2020.

  2. La consommation électrique d'une personne sur une année complète est de \(2 \ 223 \ kWh\).

    Estimer le nombre de personnes dont on a pu couvrir les besoins en électricité sur cette année.

    3. Sur le graphique on lit environ \(140 \ TWh\) pour le secteur résidentiel.

    Alors, pour trouver le nombre de personnes que cela couvre, on a :

    $$ N_{personnes} = \frac{ \frac{140 \Bigl[TWh\Bigr]}{ \Bigl[an\Bigr]}}{ \frac{ 2 \ 223 \Bigl[kWh\Bigr]}{ \Bigl[an\Bigr]\Bigl[personne\Bigr]}} $$
    $$ N_{personnes} =\frac{ \frac{ 140 \times 10^{12} \Bigl[Wh\Bigr]}{ \Bigl[an\Bigr]}}{ \frac{ 2 \ 223 \times 10^3 \Bigl[Wh\Bigr]}{ \Bigl[an\Bigr]\Bigl[personne\Bigr]}} $$

    On transforme la division en multipliant par l'inverse :

    $$ N_{personnes} = \frac{ 140 \times 10^{12} \Bigl[Wh\Bigr]}{ \Bigl[an\Bigr]} \times \frac{\Bigl[an\Bigr]\Bigl[personne\Bigr]}{ 2 \ 223 \times 10^3 \Bigl[Wh\Bigr] } $$

    On élimine en haut et en bas ce qui est commun :

    $$ N_{personnes} = \frac{ 140 \times 10^{12} \cancel{\Bigl[Wh\Bigr]}}{ \cancel{\Bigl[an\Bigr]}} \times \frac{\cancel{\Bigl[an\Bigr]}\Bigl[personne\Bigr]}{ 2 \ 223 \times 10^3 \cancel{\Bigl[Wh\Bigr]} } $$

    Soit,

    $$ N_{personnes} = \frac{ 140 \times 10^{12} }{ 2 \ 223 \times 10^3} \ \Bigl[personne\Bigr]$$

    $$ N_{personnes} = 62 \ 977 \ 957 \ personnes$$

  3. Une personne qui pédalerait elle-même pour produire sa propre électricité pourrait fournir une puissance moyenne de \(75 \ W\) pendant \(2 \ h\).

    Quelle quantité d'énergie électrique cela représente ?

    Cela représente une énergie de :

    $$ 75 \ [W] \times 2 \ [h]= 150 \ [Wh] $$

    Combien de temps devrait-elle pédaler en une journée pour couvrir ses propres besoins quotidiens en électricité ?

    Ses besoins sont de \( 2 \ 223 \times 10^3 \ Wh\) à l'année, soit environ \( 6.1 \times 10^3 \ Wh\) par jour

    Alors on peut faire un produit en croix :

    $$ \frac{150 \ [Wh] }{ 2 \ [h] } = \frac{ 6.1 \times 10^3 \ [Wh]}{X \ [h]} $$
    $$ X = \frac{ 6.1 \times 10^3 \ [Wh] \times 2 \ [h]}{150 \ [Wh]} $$

    $$ X = 81 \ [h] $$

L'année-lumière

La lumière se propage dans le vide à la vitesse de \(300 \ 000 \ 000 \ m/s\). On pourra écrire cette vitesse sous la forme scientifique :

$$V_{vide} = 3.0 \times 10^8 \ m/s$$

  1. À combien cela correspond en \(km/h\) ?

    2. $$ V_{vide} = \frac{3 \times 10^8 \bigl[m \bigr]}{1 \big[s \bigr]} =\frac{X \bigl[km \bigr]}{1 \big[h \bigr]} ?$$

    On convertit en partant de ce que l'on connaît, puis on ajuste :

    $$ \Biggl \{ \begin{gather*} 1 \bigl[km \bigr] = 1 \ 000 \bigl[m \bigr] \Longleftrightarrow \frac{1}{1 \ 000} \bigl[km \bigr] = 1 \bigl[m \bigr] \\ 1 \bigl[h \bigr] = 3 \ 600 \bigl[m \bigr] \Longleftrightarrow \frac{1}{3 \ 600} \bigl[h \bigr] = 1 \bigl[s \bigr] \end{gather*} $$

    Ensuite, on remplace :

    $$ V_{vide} = \frac{3 \times 10^8 \times \frac{1}{1 \ 000} \bigl[km \bigr]}{1 \times \frac{1}{3 \ 600} \bigl[h \bigr]} $$

    Diviser par un nombre revient à multiplier par l'inverse :

    $$ V_{vide} = 3 \times 10^8 \times \frac{1}{1 \ 000} \times 3 \ 600 \frac{\bigl[km \bigr]}{ \bigl[h \bigr]} $$

    $$ V_{vide} = 1.08 \times 10^9 \ km/h $$

    Cela correspond environ à un milliard de km/h.

  2. La lune se trouve à environ \(384 \ 400 \ km\) de la Terre.

    Combien de temps un faisceau de lumière envoyé depuis la Terre mettrait à arriver sur la lune ?

    3. On peut faire un produit en croix :

    $$ \frac{3 \times 10^8 \bigl[m \bigr]}{1 \big[s \bigr]} =\frac{384 \ 400 \bigl[km \bigr]}{t \big[s \bigr]} $$

    On convertit d'abord tout dans les mêmes unités, avant de faire le calcul :

    $$ \frac{3 \times 10^5 \bigl[km \bigr]}{1 \big[s \bigr]} =\frac{384 \ 400 \bigl[km \bigr]}{t \big[s \bigr]} $$
    $$ t = \frac{384 \ 400 }{3 \times 10^5 } \bigl[s \bigr] $$

    $$ t = 1.28 \ s $$

  3. Une année lumière correspond à la distance parcourue par la lumière dans l'espace pendant un an.

    À combien s'évalue cette distance en \(km\) ?

    4. $$d_{AL} = 3 \times 10^8 \frac{ \big[m\bigr]}{\big[s\bigr]} \times \frac{ 3600 \big[s\bigr]}{\big[h\bigr]} \times \frac{ 24 \big[h\bigr]}{\big[j\bigr]} \times \frac{ 365 \big[j\bigr]}{\big[an\bigr]} \times 1 \big[an\bigr] $$

    $$d_{AL} \approx 9.5 \times 10^{15} \ m$$

    Cela correspond environ à dix mille milliards de km.

Une goutte d'eau dans l'océan

L'eau des océans est estimée à environ \(1.4 \) milliards de \(km^3 \).

Une goutte d'eau représente un volume de \(0.001 \ L\).


Combien y a-i-il de gouttes d'eau dans l'océan ?

Mettons tout sous la même unité, le mieux est l'unité standard, le \(m^3\) :

Pour le volume total des océans :

$$V_{oceans} = 1.4 \times 10^{9} \times \big[km^3\bigr]$$
$$V_{oceans} = 1.4 \times 10^{9} \times \ (10^3)^3 \big[m^3\bigr]$$
$$V_{oceans} = 1.4 \times 10^{9} \times 10^9 \big[m^3\bigr]$$
$$V_{oceans} = 1.4 \times 10^{18} \big[m^3\bigr]$$

Pour le volume d'eau par goutte d'eau :

$$V_{goutte} = 1 \times 10^{-3} \frac{\big[L\bigr]}{\big[goutte\bigr]} $$
$$V_{goutte} = 1 \times 10^{-3} \times 10^{-3} \frac{\big[m^3\bigr]}{\big[goutte\bigr]} $$
$$V_{goutte} = 1 \times 10^{-6} \frac{\big[m^3\bigr]}{\big[goutte\bigr]} $$

En divisant le premier résultat par le second :

$$N_{gouttes} = \frac{1.4 \times 10^{18} \big[m^3\bigr]}{1 \times 10^{-6} \frac{\big[m^3\bigr]}{\big[goutte\bigr]}} $$
$$N_{gouttes} = 1.4 \times 10^{18} \big[m^3\bigr] \times \frac{1}{10^{-6}} \times \frac{\big[goutte\bigr] }{\big[m^3\bigr]} $$
$$N_{gouttes} = 1.4 \times 10^{18} \cancel{\big[m^3\bigr]} \times 10^{6} \times \frac{\big[goutte\bigr] }{\cancel{\big[m^3\bigr]}} $$

$$N_{gouttes} = 1.4 \times 10^{24} \big[goutte\bigr] $$

Il y a environ \(1.4 \) millions de milliards de milliards de gouttes dans les océans.

$$(1.4 \times 10^{6} \times 10^{9} \times 10^{9})$$

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