Problèmes sur le calcul élémentaire

Fête d'anniversaire

Je souhaite préparer une fête pour mon anniversaire. Pour cet évèvenement, j'ai prévu $25$ bouteilles de soda et $12$ gâteaux pour mes $30$ convives.

J'apprends quelques temps avant qu'un ami à moi est né le même jour et nous souhaiterions faire une grande fête commune avec ses amis en plus, qui sont $24$ de son côté.

Combien de bouteilles de soda et de gâteaux doit-on finalement prévoir pour cet évèvement commun, afin de conserver les mêmes proportions de soda et de gâteaux par personne ?

Comme nous faisons une fête commune, il y aura $54$ convives.

Nous souhaitons que le ratio de bouteilles et de gâteaux par personne reste le même que pour la fête prévue au départ. On fait donc un produit en croix.

$$ \frac{25 \ \Bigl[bouteilles\Bigr]}{30 \ \Bigl[personnes \Bigr]} = \frac{b \ \Bigl[bouteilles\Bigr]}{54 \ \Bigl[personnes \Bigr]} \Longleftrightarrow b = \frac{25 \times 54}{30} $$

Soit $b = 45 $ bouteilles.

Et on applique la même chose pour les sodas.

$$ \frac{12 \ \Bigl[g\textit{â}teaux\Bigr]}{30 \ \Bigl[personnes \Bigr]} = \frac{\textit{ĝ} \ \Bigl[g\textit{â}teaux\Bigr]}{54 \ \Bigl[personnes \Bigr]} \Longleftrightarrow \textit{ĝ} = \frac{12 \times 54}{30} $$

Soit $\textit{ĝ} \approx 21.6 $ et donc $22$ gâteaux.

La pièce variable

À partir d'une pièce carrée, de côté $a$, un architecte souhaite créer une pièce interne carrée de côté variable $x$ à déterminer.

Une pièce carrée fixe et une pièce carrée interne variable

Le cahier des charges du maître d'œuvre impose que la surface de cette pièce interne soit égale à celle du reste la pièce initiale, tel que sur la figure suivante.

Quelle sera alors la valeur de $x$ (en fonction de $a$) pour que ce souhait soit respecté ?

Pour que la surface rouge égale la surface bleue, il faut que :

$$ x^2 = a^2 - x^2 $$

Soit,

$$ 2x^2 = a^2 $$

$$ \frac{2x^2 }{2} = \frac{a^2 }{2} $$

$$ x^2 = \frac{a^2 }{2} $$

Pour retirer le carré, on passe sous la racine

$$ x^2 = \sqrt{\frac{a^2 }{2} } $$

Soit :

$$ x = \frac{a}{\sqrt{2} } $$

Les gâteaux à partager

Pour une fête d'anniversaire, on prévoit 4 gâteaux.

À la fin de la journée, il en restera un tiers du total des gâteaux.

Le lendemain, au petit-déjeuner, on en mange encore trois quarts de ce qu'il restait.

Combien reste-t-il comme proportion de gâteau ?

On note $G$ ce que représente un gâteau entier.

On part de 4 gâteaux au départ, et il en reste un tiers. On note $R_1$ ce premier reste.

$$ R_1 = 4G \times \frac{1}{3} $$

$$ R_1 = \frac{4}{3}G $$

Par la suite, on mange encore trois quarts de ce reste, on note ce second reste $R_2$.

$$ R_2 = R_1 - \frac{3}{4}R_1 $$

On remplace par la valeur trouvée avant, et :

$$ R_2 = \frac{4}{3}G - \frac{3}{4}\frac{4}{3}G $$

$$ R_2 = \frac{4}{3}G - G $$

$$ R_2 = \frac{4}{3}G - \frac{3}{3}G $$

$$ R_2 = \frac{1}{3}G $$

Finalement, il restera un tiers de gâteau.

Le testament

Suite à un décès, la famille applique alors les derniers souhaits du défunt pour l'utilisation du reste de sa fortune :

$\frac{1}{8}$ sera reversé à la SPA
$\frac{1}{5}$ sera reversé à la veuve du défunt
le reste sera partagé entre les sept enfants de manière équitable

Quelle part chacun des enfants recevra-t-il de la fortune ?

Dans un premier temps, on retire les parts reversées aux entités extérieures.

En appellant cette fortune $F$ et $R$ le reste à diviser entre les sept héritiers, on a :

$$ R = F - F \times \frac{1}{8} - F \times \frac{1}{5} $$

On factorise tout par $F$ :

$$ R = F \times \left ( 1 - \frac{1}{8} - \frac{1}{5} \right) $$

Pour additionner/soustraire des fractions, on doit tout mettre au même dénominateur :

$$ R = F \times \left ( 1 \textcolor{#8B6969} {\times \frac{5}{5}} \textcolor{#8B6969} {\times \frac{8}{8}} - \frac{1}{8} \textcolor{#8B6969} {\times \frac{5}{5}} - \frac{1}{5} \textcolor{#8B6969} {\times \frac{8}{8}} \right) $$

$$ R = F \times \left ( \frac{40}{40} - \frac{5}{40} - \frac{8}{40} \right) $$

$$ R = F \times \frac{27}{40} $$

Maintenant, en divisant de manière équitable entre les sept héritiers, on divise ce reste par $7$.

En appellant $P$ la part de chaque héritier, on aura :

$$ P = F \times \frac{27}{40} \times \frac{1}{7} $$

$$ P = F \times \frac{27}{280} \approx F \times 0.096 $$

Cette part représente alors $9.6 \ \%$ de l'héritage total $F$.

Le maître d'arts martiaux

Un maître d'arts martiaux dit un jour à son disciple : « Tu dois utiliser tes bras comme un fouet! ».

Pour comprendre ce que veut dire cette phrase, le disciple décida d'étudier l'énergie cinétique générée par un coup de poing.

L'énergie cinétique répond à la formule :

$$ E_c = \frac{1}{2}mV^2 \qquad avec \enspace \Biggl \{ \begin{gather*} m : masse \ de \ l'objet \ lanc\textit{é}\ (kg) \\ V : vitesse \ d'\textit{é}x\textit{é}cution \ (m/s) \end{gather*} $$

Il a alors essayé deux stratégies pour augmenter l'énergie de son coup de poing :

- La première a été de se muscler le bras, augmentant cette masse d'un tiers. Cependant, sa vitesse d'éxécution a été divisée par 2.

- La seconde a consisté à travailler uniquement sur la vitesse qui a doublé, conservant par ailleurs la masse de son bras intacte.

En fonction de $m$ et de $V$, exprimer les énergies générées dans les deux cas.

- Pour le premier cas, on obtient en remplaçant dans la formule :

$$ E_1 = \frac{1}{2}\left(\frac{4}{3}m\right)\left(\frac{V}{2}\right)^2 $$

On distribue les carrés de la fraction :

$$ E_1 = \frac{1}{2}\times \frac{4}{3} \times m \times \frac{V^2}{4} $$

Soit :

$$E_1 = \frac{1}{3} \times \frac{1}{2}mV^2 \Longleftrightarrow E_1 = \frac{1}{3} \times E_c $$

- Pour le second cas :

$$ E_2 = \frac{1}{2}m\left(2V\right)^2 $$

Idem, on distribue les carrés de la fraction :

$$ E_2 = \frac{1}{2}\times m \times 4V^2 $$

Soit :

$$E_2 = 4 \times \frac{1}{2}mV^2 \Longleftrightarrow E_2 =4 \times E_c $$

Quel est le rapport de proportionnalité entre l'énergie la plus puissante et celle la moins puissante ?

Le rapport de ces deux énergies est :

$$ R= \frac{E_2}{E_1} $$

$$ R= \frac{4 \times E_c}{\frac{1}{3} \times E_c} $$

Les deux énergies cinétiques $E_c$ s'annulent et il reste :

$$ R= \frac{4}{\frac{1}{3}} = 4 \times 3 $$

Diviser un nombre par une fraction revient à le mutiplier par l'inverse :

$$ R= 4 \times 3 $$

Soit :

$$R = 12 $$

L'énergie $E_2$ est douze fois plus forte que l'énergie $E_1$.

Que penser alors de la phrase du maître ?

Cette phrase était totalement justifiée, car grâce au doublement de sa vitesse d'éxécution, il déploie douze fois plus de puissance que quelqu'un qui se concentre uniquement sur la musculation.

La mystérieuse évolution de lapins

Dans une ferme un peu particulière, un éleveur souhaite faire s'accoupler des lapins à partir d'un couple de départ.

Un couple de ces lapins ne peut se reproduire qu'à partir du moment où il a atteint l'âge de sa maturité : $1 \ mois$.

Supposons maintenant que chaque nouveau mois qui passe, chaque couple de lapins en mesure de procréer, donne naissance à un nouveau couple de lapereaux.

Quel sera le nombre de couple de lapins total (lapereaux compris) au cours de chacun des cinq premiers mois ?

Au 1 ^er mois, il y en a $1$.

Au 2 ^ème mois, il y en a toujours $1$ car il vient d'atteindre l'âge de se reproduire.

Au 3 ^ème mois, il y en a maintenant $2$ car le premier couple donne naissance à un couple.

Au 4 ^ème mois, il y en $3$ car le premier couple donne naissance à un autre couple, mais le second ne peut pas encore se reproduire.

Enfin, au 5 ^ème mois, en reportant de la même manière les naissances au fur et à mesure, on arrive à $5$ couples.

L'éleveur se rend alors compte que l'évolution des naissances de couples de lapins suit un curieux pattern :

« Le nombre de naissances de couples à un mois donné $m$, correspond à l'addition du nombre de naissances du mois d'avant $(m-1)$ et de celui du mois d'encore avant $(m-2)$. »

En traduisant çà en termes mathématiques, si on note $N_m$ le nombre de lapins présent au mois $m$, on aura donc :

$$ N_m = N_{m-1} + N_{m-2} $$

Écrire alors quel seront les nombres de couples de lapins jusqu'au 10 ^ème mois.

En partant du 6 ^ème mois :

$$ N_6 = N_5 + N_4 = 5 + 3 = 8 $$

$$ N_7 = N_6 + N_5 = 8 + 5 = 13 $$

$$ N_8 = N_7 + N_6 = 13 + 8 = 21 $$

$$ N_9 = N_8 + N_8 = 21 + 13 = 34 $$

$$ N_{10} = N_9 + N_8 = 34 + 21= 55 $$

Enfin, cet éleveur voulant établir une statistique sur l'augmentation de sa population de couples de lapins, il décide d'étudier le rapport :

$$ R_m = \frac{N_{m} }{N_{m-1} } $$

Calculer ces rapports pour les 8 ^ème, 9 ^ème et 10 ^ème mois (arrondi à trois chiffres après la virgule).

En partant du 6 ^ème mois :

$$ R_8 = \frac{N_{8} }{N_{7} } = \frac{21}{13} \approx 1.615 $$

$$ R_9 = \frac{N_{9} }{N_{8} } = \frac{34}{21} \approx 1.619 $$

$$ R_{10} = \frac{N_{10} }{N_{9} } = \frac{55}{34} \approx 1.617 $$

On observe que ce rapport est à peu de choses près constant.

Il semble tendre vers une certaine valeur s'approchant de $1,62$.

Qu'a découvert l'éleveur en étudiant ces différents rapports ?

On observe que ce rapport est à peu de choses près constant.

Il semble tendre vers une certaine valeur s'approchant de $1,62$.