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Je souhaite préparer une fête pour mon anniversaire. Pour cet évèvenement, j'ai prévu 25 bouteilles de soda et 12 gâteaux pour mes 30 convives.
J'apprends quelques temps avant qu'un ami à moi est né le même jour et nous souhaiterions faire une grande fête commune avec ses amis en plus, qui sont 24 de son côté.
Combien de bouteilles de soda et de gâteaux doit-on finalement prévoir pour cet évèvement commun, afin de conserver les mêmes proportions de soda et de gâteaux par personne ?
On pourra faire un produit un croix.
Comme nous faisons une fête commune, il y aura 54 convives.
Nous souhaitons que le ratio de bouteilles et de gâteaux par personne reste le même que pour la fête prévue au départ. On fait donc un produit en croix.
Soit \(b = 45 \) bouteilles.
Et on applique la même chose pour les sodas.
Soit \(\textit{ĝ} \approx 21.6 \) et donc \(22\) gâteaux.
C'est jour de soldes et je me rends au centre commercial pour faire des achats.
Dans une premier magasin, un T-shirt qui vaut normalement 30€ est affiché à -30%.
En rentrant dans un deuxième magasin, je vois le même T-shirt, au même de 30€, mais avec cette fois deux remises consécutives : -20% puis -10%.
Dans lequel des deux magasins l'achat de ce T-shirt est-il une meilleure affaire ?
Indice : Retirer \(x \%\) à un prix \(P\), revient à le multiplier par \((100-x)\%\).
Faire une réduction de \(30 \%\) revient à multiplier par \(70 \%\).
Alors, pour le premier T-shirt on a un prix après réduction de :
Pour le second T-shirt soldé, on applique une première réduction de \(20 \%\) :
On applique ensuite le deuxième réduction de \(10 \%\) sur le prix trouvé :
La meilleure affaire est le T-shirt soldé dans le premier magasin.
Lorsque l'on effectue des prestations de services sous le régime de la micro-entreprise, on a deux taxes à payer sur le chiffre d'affaires :
$$ \Biggl \{ \begin{gather*} cotisations \ sociales : 21,1 \% \\ impôts : 1,7 \% \end{gather*} $$
Ce mois-ci, j'ai généré un chiffre d'affaires de 1 459€.
L'imposition est calculée de la manière suivante :
$$ B\textit{é}n\textit{é}fice = CA - CA \times t \qquad avec \enspace \Biggl \{ \begin{gather*} CA : chiffres \ d'affaires \ (€) \\ t : taux \ d'imposition \end{gather*} $$
Combien va-t-il me rester après paiement des impôts ?
Le bénéfice représente ce qu'il reste après paiement des taxes diverses. Nous avons deux taux \(t_1\) et \(t_2\) à retirer sur la base du chiffre d'affaires.
Soit,
On arrondi généralement au centime du dessus. Alors on aura comme bénéfice :
$$B\textit{é}n\textit{é}fice = 1126.35 \ €$$
On peut éventuellement factoriser par \(CA\), on obtient :
Le taux de taxe total est la somme des taux. Alors, on calcule à partir de ce taux général :
Un charpentier effectue un devis pour un client en lui appliquant une TVA à 5,5%.
Un prix avec la TVA (\(P_{TTC}\)) se calcule comme ceci :
$$P_{TTC} = P_{HT} \times (1+t) \qquad avec \enspace \Biggl \{ \begin{gather*} P_{TTC} : prix \ apr\textit{è}s \ taxe \ (€) \\ P_{HT} : prix \ avant \ taxe \ (€) \\ t : taux \ d'imposition \end{gather*} $$
Le devis étant estimé à 436€, le prix devient :
Mais l'artisan décide finalement, par commun accord de lui épargner cette TVA. Avec le prix obtenu, il recalcule le prix \(P_{HT}\) :
Où sont passés les \(1,32 \ € \) ?
Après avoir effectué une multiplication d'un un nombre \(a\) par \(b\), pour revenir au nombre de départ \(a\), on divise par \(b\).
Or, au lieu de diviser le prix taxé par \((1+t)\), l'artisan a multiplié par \((1-t)\).
Donc, c'est de là que provient son erreur.
En réalité, il a multiplié son prix hors taxe par \((1+t)(1-t)\), ce qui est différent de \(1\).
En réalité ce nombre s'approche beaucoup à \(1\) car :
Dans ce cas précis,
Ce résultat est bien différent de \( 1\)...
Suite à un décès, la famille applique alors les derniers souhaits du défunt pour l'utilisation du reste de sa fortune :
\(\frac{1}{8}\) sera reversé à la SPA
\(\frac{1}{5}\) sera reversé à la veuve du défunt
le reste sera partagé entre les sept enfants de manière équitable
Quelle part chacun des enfants recevra-t-il de la fortune ?
Dans un premier temps, on retire les parts reversées aux entités extérieures.
En appellant cette fortune \(F\) et \(R\) le reste à diviser entre les sept héritiers, on a :
On factorise tout par \(F\) :
Pour additionner/soustraire des fractions, on doit tout mettre au même dénominateur :
Maintenant, en divisant de manière équitable entre les sept héritiers, on divise ce reste par \(7\).
En appellant \(P\) la part de chaque héritier, on aura :
Cette part représente alors \(9.6 \ \%\) de l'héritage total \(F\).
Un maître d'arts martiaux dit un jour à son disciple : « Tu dois utiliser tes bras comme un fouet! ».
Pour comprendre ce que veut dire cette phrase, le disciple décida d'étudier l'énergie cinétique générée par un coup de poing.
L'énergie cinétique répond à la formule :
$$E_c = \frac{1}{2}mV^2 \qquad avec \enspace \Biggl \{ \begin{gather*} m : masse \ de \ l'objet \ lanc\textit{é}\ (kg) \\ V : vitesse \ d'\textit{é}x\textit{é}cution \ (m/s) \end{gather*} $$
Il a alors essayé deux stratégies pour augmenter l'énergie de son coup de poing :
- La première a été de se muscler le bras, augmentant cette masse d'un tiers. Cependant, sa vitesse d'éxécution a été divisée par 2.
- La seconde a consisté à travailler uniquement sur la vitesse qui a doublé, conservant par ailleurs la masse de son bras intacte.
En fonction de \(m\) et de \(V\), exprimer les énergies générées dans les deux cas.
- Pour le premier cas, on obtient en remplaçant dans la formule :
On distribue les carrés de la fraction :
Soit :
$$E_1 = \frac{1}{3} \times \frac{1}{2}mV^2 \Longleftrightarrow E_1 = \frac{1}{3} \times E_c $$
- Pour le second cas :
Idem, on distribue les carrés de la fraction :
Soit :
$$E_2 = 4 \times \frac{1}{2}mV^2 \Longleftrightarrow E_2 =4 \times E_c $$
Quel est le rapport de proportionnalité entre l'énergie la plus puissante et celle la moins puissante ?
Le rapport de ces deux énergies est :
Les deux énergies cinétiques \(E_c\) s'annulent et il reste :
Diviser un nombre par une fraction revient à le mutiplier par l'inverse :
Soit :
$$R = 12$$
L'énergie \(E_2\) est douze fois plus forte que l'énergie \(E_1\).
Que penser alors de la phrase du maître ?
Cette phrase était totalement justifiée, car grâce au doublement de sa vitesse d'éxécution, il déploie douze fois plus de puissance que quelqu'un qui se concentre uniquement sur la musculation.
À partir d'une pièce carrée, de côté \(a\), un architecte souhaite créer une pièce interne carrée de côté variable \(x\) à déterminer.
Le cahier des charges du maître d'œuvre impose que la surface de cette pièce interne soit égale à celle du reste la pièce initiale, tel que sur la figure suivante.
Quelle sera alors la valeur de \(x\) (en fonction de \(a\)) pour que ce souhait soit respecté ?
Pour que la surface rouge égale la surface bleue, il faut que :
Soit,
Pour retirer le carré, on passe sous la racine
Soit :
$$ x = \frac{a}{\sqrt{2} } $$
Selon la légende, l'inventeur présumé des échecs indien aurait inventé un jeu pour démontrer au roi sa faiblesse sans la présence de son entourage. Pour le remercier, le roi lui proposa de choisir sa récompense, et il demanda alors seulement quelques grains de blé...
Il invita le roi à poser un premier grain de blé sur la première case, puis deux sur la deuxième, puis quatre sur la troisième...etc, en doublant à chaque fois jusque la soixante-quatrième case de l'échiquier.
Quel fut le nombre de grains de blé présents sur la dernière case de l'échiquier ?
|
Case |
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
... |
|---|---|---|---|---|---|---|---|
|
Nombre de grains |
\(1\) |
\(2\) |
\(4\) |
\(8\) |
\(16\) |
\(32\) |
... |
|
Nombre de grains \((2^x)\) |
\(2^0\) |
\(2^1\) |
\(2^2\) |
\(2^3\) |
\(2^4\) |
\(2^5\) |
... |
On observe une correspondance entre le rang de la case et le nombre de grains exprimée sous forme de puissance de \(2\).
Comme un échiquier est un carré de \(8\) cases \( \times \ 8\) cases, alors il y a \(64\) cases.
À la \(64\)ème case, il y a aura \(2^{63}\) grains de blé.
Soit en appellant \(n\) le nombre de grains de blé :
$$ n = 2^{63} \approx 10^{19} \ grains$$
Cela représente un total de dix milliards de milliards de grains de blé.
Pour une fête d'anniversaire, on prévoit 4 gâteaux.
À la fin de la journée, il en restera un tiers du total des gâteaux.
Le lendemain, au petit-déjeuner, on en mange encore trois quarts de ce qu'il restait.
Combien reste-t-il comme proportion de gâteau ?
On note \(G\) ce que représente un gâteau entier.
On part de 4 gâteaux au départ, et il en reste un tiers. On note \(R_1\) ce premier reste.
Par la suite, on mange encore trois quarts de ce reste, on note ce second reste \(R_2\).
On remplace par la valeur trouvée avant, et :
Finalement, il restera un tiers de gâteau.
La vitesse maximale aérobie \((VMA)\) est la vitesse de course à pied à partir de laquelle un coureur consomme son volume d'oxygène maximum \((V_{O_2}max)\). Un bon sportif peut tenir en moyenne entre 4 et 6 minutes à une telle vitesse.
On calcule la \(VMA\) par la formule suivante :
$$VMA = \frac{V_{O_2}max}{3.5} \qquad avec \enspace \Biggl \{ \begin{gather*} VMA : vitesse \ maximale \ a\textit{é}robie \ (km/h) \\ V_{O_2}max : consommation \ maximum \ d'oxyg\textit{è}ne \ (mL/kg/min) \end{gather*} $$
Lors de tests à Clairefontaine, N'Golo Kanté a enregistré une \(VMA\) proche des 5.83 \(m/s\). À combien cela correspond en \(km/h\) ?
On souhaite convertir 5.83 \(m/s\) en \(km/h\). On a :
On convertit en démarrant de ce qui est connu :
$$ \Biggl \{ \begin{gather*} 1 \bigl[km \bigr] = 1 \ 000 \bigl[m \bigr] \Longleftrightarrow \frac{1}{1 \ 000} \bigl[km \bigr] = 1 \bigl[m \bigr] \\ 1 \bigl[h \bigr] = 3 \ 600 \bigl[m \bigr] \Longleftrightarrow \frac{1}{3 \ 600} \bigl[h \bigr] = 1 \bigl[s \bigr] \end{gather*} $$
On remplace dans la formule de départ, ce que valent respectivement \(1 \bigl[m \bigr]\) et \(1 \bigl[s \bigr]\).
Diviser par un nombre, revient à multiplier par son inverse :
$$ VMA_{Kanté} \approx 21 \ km/h $$
Quelle a alors été à ce moment sa \(V_{O_2}max\) durant ses tests ?
À partir de la formule de départ :
En faisant un produit en croix, on a :
Soit pour Kanté,
Lebron James est le meilleur marqueur de l'histoire de la NBA. Il a marqué en tout 40 474 points dans sa carrière (encore en cours).
Voici des statistiques en terme de points tous tirs confondus et de 3 points. Les statistiques sont notées de la façon suivante :
|
\(FG\) |
\(made\) |
\(attempted\) |
\(\%\) |
|---|---|---|---|
|
\(N_T\) |
\(29 \ 313\) |
\( \approx 50.6\%\) |
|
|
\(3pt\) |
\(made\) |
\(attempted\) |
\(\%\) |
|
\(N_{3pt}\) |
\(6 \ 926\) |
\( \approx 34.8 \%\) |
Il a réussi \(N_T\) paniers en tout et \(N_{3pt}\) paniers à 3-points.
Combien a-t-il réussi de paniers en tout, et de paniers à 3-points ?
Pour retrouver le nombre de paniers réussis en tout à partir du pourcentage, on pourra faire un produit en croix.
Soit \(N_T \approx 14 \ 837 \) paniers en tout réussis. (on obtient une valeur approchée car notre valeur de départ était déjà approchée)
Et on applique la même chose pour les paniers à 3-points.
Soit \(N_{3pt} \approx 2 \ 410 \) paniers à 3-points réussis.
Combien a-t-il alors réussi de paniers à 2-points uniquement ?
On note \(N_{2pt} \) le nombre de paniers réussis à 2-points. Alors :
Soit, en remplaçant :
Il a réussi \(12 \ 427 \) paniers à 2-points dans sa carrière.
On appellera \(P_{FG}\) le nombre de points marqués pendant les phases de jeu. Avec les valeurs trouvées précédemment, effectuer le calcul suivant :
En déduire le nombre de lancers francs \((N_{FT}) \) marqués pendant la carrière.
Le nombre de panier au total est la somme des paniers durant la phase de jeu et les lancers francs :
Soit, en remplaçant :
Chaque lancer franc valant \(1\) point, il a réussi \(8 \ 390 \) lancers francs dans sa carrière
Les nombres pairs
On caractérise un nombre pair \(P\) de la façon suivante :
Montrer que si un nombre P est pair, alors le carré de ce nombre l'est aussi.
Si \(P\) est pair, alors pour tout nombre \(a \in \mathbb{Z}\), \(P\) peut s'écrire : \(P = 2a\).
Alors, si l'on prend son carré, on obtient :
En faisant le carré d'un produit, les carrés se distribuent :
Par ailleurs, un carré est toujours positif, alors \(a^2\) est positif.
Ce qui implique que \(2a^2\) appartient à l'ensemble des entiers naturels : \(2a^2 \in \mathbb{N}\).
Le carré de \(P\) s'écrit donc finalement sous la forme :
$$P^2 = \ 2 A \qquad (avec \ A \in \mathbb{N})$$
C'est donc un nombre pair positif.
Que peut-on en déduire en utilisant la contraposée de ce résultat ?
Indice : Lorsqu'on a réussi à montrer que pour deux propositions données \(P\) et \(Q\) :
Il en resulte par sa contraposée que :
Comme on a réussi à montrer précédemment que pour tout nombre entier :
Alors par contraposée :
Les nombres impairs
De la même manière, on caractérise un nombre impair \(I\) par :
Montrer que si un nombre I est impair, alors le carré de ce nombre l'est aussi.
Si \(I\) est impair, alors pour tout nombre \(a \in \mathbb{Z}\), \(I\) peut s'écrire : \(I = 2a + 1\).
Alors, si l'on prend son carré, on obtient :
On développe l'identité remarquable :
On peut factoriser une partie par \(2\) :
Et même une sconde fois :
Le nombre \((a^2 + 1)\) est toujours positif, et donc \(2(a^2 + 1)\) l'est aussi.
Ce qui implique que \(2(a^2 + 1)\) appartient à l'ensemble des entiers naturels : \(2(a^2 + 1) \in \mathbb{N}\).
Le carré de \(I\) s'écrit donc finalement sous la forme :
$$ I^2 = \ 2 A + 1 \qquad (avec \ A \in \mathbb{N})$$
C'est donc un nombre impair positif.
Exactement de la même manière que plus haut, que peut-on en déduire en utilisant la contraposée de ce résultat ?
Comme on a réussi à montrer précédemment que pour tout nombre entier :
Alors par contraposée :
Équivalences
En combinant les quatre résultats obtenus, écrire les deux équivalences qui en découlent.
Indice : Lorsqu'on a réussi à montrer une première implication pour \(P\) et \(Q\) :
Et aussi sa réciproque :
Alors, il y a équivalence :
$$ P \Longleftrightarrow Q $$
Cela veut dire qu'elles sont toutes les deux vraies (ou toutes les deux fausses) en même temps.
On a réussi à montrer les quatre implications suivantes :
Les propositions \((1)\) et \((2)\) donnent :
Et l propositions \((3)\) et \((4)\) donnent :
Dans une ferme un peu particulière, un éleveur souhaite faire s'accoupler des lapins à partir d'un couple de départ.
Un couple de ces lapins ne peut se reproduire qu'à partir du moment où il a atteint l'âge de sa amturité : \(1 \ mois\).
Supposons maintenant que chaque nouveau mois qui passe, chaque couple de lapins en mesure de procréer, donne naissance à couple de lapereaux.
Quel sera le nombre de couple de lapins total (lapereaux compris) au cours de chacun des cinq premiers mois ?
Au 1 er mois, il y en a \(1\).
Au 2 ème mois, il y en a toujours \(1\) car il vient d'atteindre l'âge de se reproduire.
Au 3 ème mois, il y en a maintenant \(2\) car le premier couple donne naissance à un couple.
Au 4 ème mois, il y en \(3\) car le premier couple donne naissance à un autre couple, mais le second ne peut pas encore se reproduire.
Enfin, au 5 ème mois, en reportant de la même manière les naissances au fur et à mesure, on arrive à \(5\) couples.
L'éleveur se rend alors compte que l'évolution des naissances de couples de lapins suit un curieux pattern :
« Le nombre de naissances de couples à un mois donné \(m\), correspond à l'addition du nombre de naissances du mois d'avant \((m-1)\) et de celui du mois d'encore avant \((m-2)\). »
En traduisant çà en termes mathématiques, si on note \(N_m\) le nombre de lapins présent au mois \(m\), on aura donc :
Écrire alors quel seront les nombres de couples de lapins jusqu'au 10 ème mois.
En partant du 6 ème mois :
Enfin, cet éleveur voulant établir une statistique sur l'augmentation de sa population de couples de lapins, il décide d'étudier le rapport :
Calculer ces rapports pour les 8 ème, 9 ème et 10 ème mois (arrondi à trois chiffres après la virgule).
En partant du 6 ème mois :
On observe que ce rapport est à peu de choses près constant.
Il semble tendre vers une certaine valeur s'approchant de \(1,62\).
Qu'a découvert l'éleveur en étudiant ces différents rapports ?
On observe que ce rapport est à peu de choses près constant.
Il semble tendre vers une certaine valeur s'approchant de \(1,62\).