Index
Index
C'est l'ensemble des entiers positifs.
$$\mathbb{N} = \Bigl \{ 0, \ 1, \ 2,\ 3, \ 4 \ ... etc\Bigr \}$$
C'est l'ensemble des entiers, positifs ou négatifs.
$$\mathbb{Z} = \Bigl \{...-4, -3, -2,-1, \ 0,\ 1,\ 2,\ 3,\ 4 \ ... \Bigr \}$$
C'est l'ensemble des nombres à virgules écrits sous forme finie.
Un nombre décimal \(d\) s'écrit sous la forme :
$$ d = \frac{a}{10^b} \qquad (a \in \mathbb{Z}, \ b \in \mathbb{N})$$
C'est l'ensemble des nombres s'écrivant sous forme de fraction irréductible.
Un nombre rationnel \(q\) s'écrit sous la forme :
$$ q = \frac{a}{b} \qquad (a \in \mathbb{Z}, \ b \in \mathbb{N}^*)$$
C'est l'ensemble des tous les nombres qui existent.
Par rapport à l'ensemble des rationnels précédent qui représente déjà beaucoup de nombres, on y ajoute les irrationnels.
Un irrationnel est, comme son nom l'indique, un nombre qu'on ne peut classer nulle part. Ce sont des nombres dont les chiffres après la virgule ne prennent jamais fin. On peut dire en quelque sorte que ce sont des concepts, que l'on peut utiliser mais sans jamais les calculer avec une infime précision. En voici quelques exemples :
|
Nombre |
Valeur |
Explication |
|---|---|---|
|
$$ \sqrt{2} $$
|
$$ \approx 1.414... $$
|
C'est le nombre qui, lorsqu'on le met au carré fait \(2\) |
|
$$ \pi $$
|
$$ \approx 3.141... $$
|
C'est le rapport du périmètre d'un cercle sur son diamètre |
|
$$ \phi $$
|
$$ \approx 1.618... $$
|
On l'appelle aussi nombre d'or, ou rapport divin. Il est issu de la suite de Fibonacci : $$F = \Bigl \{ 1, \ 1, \ 2,\ 3, \ 5, \ 8, \ 13, \ 21... etc\Bigr \}$$
On l'obtient en divisant un nombre par le nombre précédent. Plus on les prend loin dans la suite, et plus on s'approche de \(\phi\). |
|
$$ e $$
|
$$ \approx 2.718... $$
|
Son nom a été donné en référence au mathématicien Euler. Beaucoup utilisé dans le calcul différentiel, c'est un nombre permettant d'obtenir une fonction exponentielle \((e^x)\), dont la dérivée est égale à la fonction de départ. Ce qui rend ce nombre unique en son genre. |
Chaque ensemble contient tous les ensembles précédents :
Exemples :
Un nombre entier est nécessairement un nombre rationnel.
Par exemple, le nombre \( 22 \in \mathbb{N}\) et aussi \(22 \in \mathbb{Q}\) car il peut s'écrire \(\frac{22}{1}\)
Mais un nombre rationnel n'est nécessairement un nombre entier.
Un ensemble ordinaire : \(\mathbb{E}\)
On note un ensemble \(\mathbb{E}\) composée des nombres \( n_1, \ n_2, \ n_3 \ ... etc\) :
Exclusions
Exclusions d'ensembles
Pour écrire un ensemble \(\mathbb{F}\) où on exlcut l'ensemble \(\mathbb{E_2}\) d'un un ensemble \(\mathbb{E_1}\), on note :
Exemple : les irrationnels se notent \( \Bigl[ \mathbb{R} \ \backslash \hspace{0.01em} \bigl \{ \mathbb{Q} \bigr \} \Bigr]\).
Exclusions de valeurs
On peut aussi uniquement exclure des valeurs :
Exemple : l'ensemble des réels privé de \(0\).
Considérons deux ensembles disjoints \(A\) et \(B\) :
Maintenant, si l'on met une de leur partie en commun, ils deviennent non disjoints, et on peut étudier :
leur intersection
leur union
Intersection de deux ensembles : \(A \cap B\)
L'intersection de ces deux ensembles donne \(A \cap B\) :
C'est la partie commune aux deux ensembles.
Exemple :
Union de deux ensembles : \(A \cup B\)
Maintenant, un élément compris dans l'union des deux ensembles est soit dans l'un, soit dans l'autre, soit dans l'intersection des deux.
Pour ne pas compter deux fois l'intersection \((A \cap B)\), on fait en sorte de n'en avoir plus qu'une seule.
