Imprimer

Afficher la correction

Actuelle

Autre

Index

Problèmes d'arithmétique sur les nombres pairs et impairs

L'addition des nombres pairs et impairs

1. Montrer que l'addition de deux nombres pairs donne un nombre pair.

Soient deux nombres pairs \((P_1, P_2)\), avec :

$$ avec \enspace \Biggl \{ \begin{gather*} P_1 = 2a \qquad(a \in \mathbb{Z}) \\ P_2 = 2a' \qquad(a' \in \mathbb{Z}) \end{gather*} $$

Alors,

$$ P_1 + P_2 = 2a + 2a' $$

En factorisant par \(2\), on a :

$$ P_1 + P_2 = 2 \underbrace{(a + a')} _\text{\(A \ \in \ \mathbb{Z} \)} $$

$$ P_1 + P_2 = 2 A \qquad(A \in \mathbb{Z}) $$

2. Montrer que l'addition de deux nombres impairs donne un nombre pair.

Soient deux nombres impairs \((I_1, I_2)\), avec :

$$ avec \enspace \Biggl \{ \begin{gather*} I_1 = 2a + 1 \qquad(a \in \mathbb{Z}) \\ I_2 = 2a' + 1 \qquad(a' \in \mathbb{Z}) \end{gather*} $$

Alors,

$$ I_1 + I_2 = 2a + 1 + 2a' + 1 $$

$$ I_1 + I_2 = 2a + 2a' + 2 $$

En factorisant par \(2\), on a :

$$ I_1 + I_2 = 2 \underbrace{(a + a' + 1)} _\text{\(A \ \in \ \mathbb{Z} \)} $$

$$ I_1 + I_2 = 2 A \qquad(A \in \mathbb{Z}) $$

3. Enfin, montrer que l'addition d'un nombre impair et d'un nombre pair donne un nombre impair.

Soient un nombre pair \(P\) et un nombre impair \(I\), avec :

$$ avec \enspace \Biggl \{ \begin{gather*} P = 2a \qquad(a \in \mathbb{Z}) \\ I = 2a' + 1 \qquad(a' \in \mathbb{Z}) \end{gather*} $$

Alors,

$$ P + I = 2a + 2a' + 1 $$

En factorisant par \(2\), on a :

$$ P + I = 2 \underbrace{(a + a')} _\text{\(A \ \in \ \mathbb{Z} \)} + 1 $$

$$ P + I = 2 A + 1 \qquad(A \in \mathbb{Z}) $$

Le produit des nombres pairs et impairs

1. Montrer que le produit de deux nombres pairs donne un nombre pair.

Soient deux nombres pairs \((P_1, P_2)\), avec :

$$ avec \enspace \Biggl \{ \begin{gather*} P_1 = 2a \qquad(a \in \mathbb{Z}) \\ P_2 = 2a' \qquad(a' \in \mathbb{Z}) \end{gather*} $$

Alors,

$$ P_1 P_2 = 2a \times 2a' $$

$$ P_1 P_2 = 2 \times \underbrace{2aa'} _\text{\(A \ \in \ \mathbb{Z} \)} $$

$$ P_1 P_2 = 2 A \qquad(A \in \mathbb{Z}) $$

2. Montrer que le produit de deux nombres impairs donne un nombre impair.

Soient deux nombres impairs \((I_1, I_2)\), avec :

$$ avec \enspace \Biggl \{ \begin{gather*} I_1 = 2a + 1 \qquad(a \in \mathbb{Z}) \\ I_2 = 2a' + 1 \qquad(a' \in \mathbb{Z}) \end{gather*} $$

Alors,

$$ I_1 I_2 = (2a + 1) \times (2a' + 1) $$

$$ I_1 I_2 = 4aa' + 2a + 2a' + 1 $$

En factorisant par \(2\), on a :

$$ I_1 I_2 = 2 \times \underbrace{(2aa' + a + a')} _\text{\(A \ \in \ \mathbb{Z} \)} + 1 $$

$$ I_1 I_2 = 2 A + 1 \qquad(A \in \mathbb{Z}) $$

3. Enfin, montrer que le produit d'un nombre impair avec un nombre pair donne un nombre pair.

Soient un nombre pair \(P\) et un nombre impair \(I\), avec :

$$ avec \enspace \Biggl \{ \begin{gather*} P = 2a \qquad(a \in \mathbb{Z}) \\ I = 2a' + 1 \qquad(a' \in \mathbb{Z}) \end{gather*} $$

Alors,

$$ PI = (2a) \times (2a' + 1) $$

$$ PI = 4aa' + 2a $$

En factorisant par \(2\), on a :

$$ PI = 2 \times \underbrace{(2aa' + a)} _\text{\(A \ \in \ \mathbb{Z} \)} $$

$$ PI = 2 A \qquad(A \in \mathbb{Z}) $$

Les carrés des nombres pairs et impairs

Soit \(N \in \mathbb{Z}\) un nombre entier.

1. Les nombres pairs

1. Montrer que si un nombre est pair, alors le carré de ce nombre l'est aussi.

Si \(N\) est pair, alors :

$$ \exists a \in \mathbb{Z}, \ N = 2a $$

Si l'on prend maintenant son carré, on obtient :

$$ N^2 = (2a)^2 $$

En faisant le carré d'un produit, les carrés se distribuent :

$$ N^2 = \ 2^2a^2 $$

$$ N^2 = \ 2 \times 2a^2 $$

$$ N^2 = \ 2 \times \underbrace{2a^2} _\text{\(A \ \in \ \mathbb{Z}\)} $$

Le carré de \(P\) s'écrit donc finalement sous la forme :

$$N^2 = \ 2 A \qquad (avec \ A \in \mathbb{Z}) $$

C'est donc un nombre pair, et on a montré que :

$$ N \ est \ pair \Longrightarrow N^2 \ est \ pair $$

2. Que peut-on en déduire en utilisant la contraposée de ce résultat ?

Indice : Lorsqu'on a réussi à montrer que pour deux propositions données \(P\) et \(Q\) :

$$ P \Longrightarrow Q $$

$$ (Si \ P, \ alors \ Q) $$

Il en resulte par sa contraposée que :

$$ non(Q) \Longrightarrow non(P) $$

$$ (Si \ non(Q), \ alors \ non(P)) $$

Comme on a réussi à montrer précédemment que pour tout nombre entier :

$$ \forall N \in \mathbb{Z}, $$

$$ N \ est \ pair \Longrightarrow N^2 \ est \ pair $$

Alors par contraposée :

$$ N^2 \ est \ impair \Longrightarrow N \ est \ impair $$

2. Les nombres impairs

1. Montrer que si un nombre est impair, alors le carré de ce nombre l'est aussi.

Si \(N\) est impair, alors :

$$ \exists a \in \mathbb{Z}, \ N = 2a + 1 $$

Alors, si l'on prend son carré, on obtient :

$$ N^2 = (2a + 1)^2 $$

On développe l'identité remarquable :

$$ N^2 = (2a)^2 + 2 \times 2a + 1^2 $$

$$ N^2 = 4a^2 + 4a + 1 $$

On peut factoriser une partie par \(2\) :

$$ N^2 = 2 \times \underbrace{(2a^2 + 2a)} _\text{\(A \ \in \ \mathbb{Z}\)} + 1 $$

Le carré de \(N\) s'écrit donc finalement sous la forme :

$$ N^2 = \ 2 A + 1 \qquad (avec \ A \in \mathbb{N}) $$

C'est donc un nombre impair, et on a montré que :

$$ N \ est \ impair \Longrightarrow N^2 \ est \ impair $$

2. Exactement de la même manière que plus haut, que peut-on en déduire en utilisant la contraposée de ce résultat ?

Comme on a réussi à montrer précédemment que pour tout nombre entier :

$$ N \ est \ impair \Longrightarrow N^2 \ est \ impair $$

Alors par contraposée :

$$ N^2 \ est \ pair \Longrightarrow N \ est \ pair $$

3. Équivalences

1. En combinant les quatre résultats obtenus, écrire les deux équivalences qui en découlent.

Indice : Lorsqu'on a réussi à montrer une première implication pour \(P\) et \(Q\) :

$$ P \Longrightarrow Q $$

Et aussi sa réciproque :

$$ Q \Longrightarrow P $$

Alors, il y a équivalence :

$$ P \Longleftrightarrow Q $$

Cela veut dire qu'elles sont toutes les deux vraies (ou toutes les deux fausses) en même temps.

On a réussi à montrer les quatre implications suivantes :

$$ \forall N \in \mathbb{Z}, $$

$$ N \ est \ pair \Longrightarrow N^2 \ est \ pair \qquad (1) $$

$$ N^2 \ est \ pair \Longrightarrow N \ est \ pair \qquad (2) $$

$$ N \ est \ impair \Longrightarrow N^2 \ est \ impair \qquad (3) $$

$$ N^2 \ est \ impair \Longrightarrow N \ est \ impair \qquad (4) $$

Les propositions \((1)\) et \((2)\) donnent :

$$ \forall N \in \mathbb{Z}, $$

$$ N \ est \ pair \Longleftrightarrow N^2 \ est \ pair $$

Et l propositions \((3)\) et \((4)\) donnent :

$$ \forall N \in \mathbb{Z}, $$

$$ N \ est \ impair \Longleftrightarrow N^2 \ est \ impair $$