Problèmes d'arithmétique sur les nombres pairs et impairs

Un nombre pair : $P$

On caractérise un nombre pair $P$ de la façon suivante :

$$\forall a \in \mathbb{Z}, \ P = 2a $$

Un nombre pair : $I$

De la même manière, on caractérise un nombre impair $I$ par :

$$\forall a' \in \mathbb{Z}, \ P = 2a' + 1 $$

L'addition des nombres pairs et impairs

Montrer que l'addition de deux nombres pairs donne un nombre pair.

Soient deux nombres pairs $(P_1, P_2)$, avec :

$$ avec \enspace \Biggl \{ \begin{gather*} P_1 = 2a \qquad(a \in \mathbb{Z}) \\ P_2 = 2a' \qquad(a' \in \mathbb{Z}) \end{gather*} $$

Alors,

$$ P_1 + P_2 = 2a + 2a'$$

En factorisant par $2$, on a :

$$ P_1 + P_2 = 2 \underbrace{(a + a')} _\text{$A \ \in \ \mathbb{Z} $}$$

$$ P_1 + P_2 = 2 A \qquad(A \in \mathbb{Z}) $$

Montrer que l'addition de deux nombres impairs donne un nombre pair.

Soient deux nombres impairs $(I_1, I_2)$, avec :

$$ avec \enspace \Biggl \{ \begin{gather*} I_1 = 2a + 1 \qquad(a \in \mathbb{Z}) \\ I_2 = 2a' + 1 \qquad(a' \in \mathbb{Z}) \end{gather*} $$

Alors,

$$ I_1 + I_2 = 2a + 1 + 2a' + 1 $$

$$ I_1 + I_2 = 2a + 2a' + 2 $$

En factorisant par $2$, on a :

$$ I_1 + I_2 = 2 \underbrace{(a + a' + 1)} _\text{$A \ \in \ \mathbb{Z} $}$$

$$ I_1 + I_2 = 2 A \qquad(A \in \mathbb{Z}) $$

Enfin, montrer que l'addition d'un nombre impair et d'un nombre pair donne un nombre impair.

Soient un nombre pair $P$ et un nombre impair $I$, avec :

$$ avec \enspace \Biggl \{ \begin{gather*} P = 2a \qquad(a \in \mathbb{Z}) \\ I = 2a' + 1 \qquad(a' \in \mathbb{Z}) \end{gather*} $$

Alors,

$$ P + I = 2a + 2a' + 1 $$

En factorisant par $2$, on a :

$$ P + I = 2 \underbrace{(a + a')} _\text{$A \ \in \ \mathbb{Z} $} + 1 $$

$$ P + I = 2 A + 1 \qquad(A \in \mathbb{Z}) $$

Le produit des nombres pairs et impairs

Montrer que le produit de deux nombres pairs donne un nombre pair.

Soient deux nombres pairs $(P_1, P_2)$, avec :

$$ avec \enspace \Biggl \{ \begin{gather*} P_1 = 2a \qquad(a \in \mathbb{Z}) \\ P_2 = 2a' \qquad(a' \in \mathbb{Z}) \end{gather*} $$

Alors,

$$ P_1 P_2 = 2a \times 2a'$$

$$ P_1 P_2 = 2 \times \underbrace{2aa'} _\text{$A \ \in \ \mathbb{Z} $}$$

$$ P_1 P_2 = 2 A \qquad(A \in \mathbb{Z}) $$

Montrer que le produit de deux nombres impairs donne un nombre impair.

Soient deux nombres impairs $(I_1, I_2)$, avec :

$$ avec \enspace \Biggl \{ \begin{gather*} I_1 = 2a + 1 \qquad(a \in \mathbb{Z}) \\ I_2 = 2a' + 1 \qquad(a' \in \mathbb{Z}) \end{gather*} $$

Alors,

$$ I_1 I_2 = (2a + 1) \times (2a' + 1) $$

$$ I_1 I_2 = 4aa' + 2a + 2a' + 1 $$

En factorisant par $2$, on a :

$$ I_1 I_2 = 2 \times \underbrace{(2aa' + a + a')} _\text{$A \ \in \ \mathbb{Z} $} + 1 $$

$$ I_1 I_2 = 2 A + 1 \qquad(A \in \mathbb{Z}) $$

Enfin, montrer que le produit d'un nombre impair avec un nombre pair donne un nombre pair.

Soient un nombre pair $P$ et un nombre impair $I$, avec :

$$ avec \enspace \Biggl \{ \begin{gather*} P = 2a \qquad(a \in \mathbb{Z}) \\ I = 2a' + 1 \qquad(a' \in \mathbb{Z}) \end{gather*} $$

Alors,

$$ PI = (2a) \times (2a' + 1) $$

$$ PI = 4aa' + 2a $$

En factorisant par $2$, on a :

$$ PI = 2 \times \underbrace{(2aa' + a)} _\text{$A \ \in \ \mathbb{Z} $} $$

$$ PI = 2 A \qquad(A \in \mathbb{Z}) $$

Les carrés des nombres pairs et impairs

Les nombres pairs

Montrer que si un nombre $P$ est pair, alors le carré de ce nombre l'est aussi.

Si $P$ est pair, alors pour tout nombre $a \in \mathbb{Z}$, $P$ peut s'écrire : $P = 2a$.

Alors, si l'on prend son carré, on obtient :

$$P^2 = (2a)^2$$

En faisant le carré d'un produit, les carrés se distribuent :

$$P^2 = \ 2^2a^2$$

$$P^2 = \ 2 \times 2a^2$$

Par ailleurs, un carré est toujours positif, alors $a^2$ est positif.

Ce qui implique que $2a^2$ appartient à l'ensemble des entiers naturels : $2a^2 \in \mathbb{N}$.

$$P^2 = \ 2 \times \underbrace{2a^2} _\text{$A \ \in \ \mathbb{N}$}$$

Le carré de $P$ s'écrit donc finalement sous la forme :

$$P^2 = \ 2 A \qquad (avec \ A \in \mathbb{N})$$

C'est donc un nombre pair positif.

Que peut-on en déduire en utilisant la contraposée de ce résultat ?

Indice : Lorsqu'on a réussi à montrer que pour deux propositions données $P$ et $Q$ :

$$ P \Longrightarrow Q$$

$$(Si \ P, \ alors \ Q)$$

Il en resulte par sa contraposée que :

$$ non(Q) \Longrightarrow non(P) $$

$$(Si \ non(Q), \ alors \ non(P))$$

Comme on a réussi à montrer précédemment que pour tout nombre entier :

$$ un \ nombre \ est \ pair \Longrightarrow son \ carr\textit{é} \ est \ pair$$

Alors par contraposée :

$$ le \ carr\textit{é} \ d'un \ nombre \ est \ impair \Longrightarrow ce \ nombre \ est \ impair$$

Les nombres impairs

Montrer que si un nombre $I$ est impair, alors le carré de ce nombre l'est aussi.

Si $I$ est impair, alors pour tout nombre $a \in \mathbb{Z}$, $I$ peut s'écrire : $I = 2a + 1$.

Alors, si l'on prend son carré, on obtient :

$$I^2 = (2a + 1)^2$$

On développe l'identité remarquable :

$$I^2 = (2a)^2 + 2 \times 2a + 1^2$$

$$I^2 = 4a^2 + 4a + 1$$

On peut factoriser une partie par $2$ :

$$I^2 = 2\times(2a^2 + 2a) + 1$$

Et même une sconde fois :

$$I^2 = 2\times 2 \times \ \underbrace{(a^2 + 1)} _\text{$(+)$} \ + \ 1$$

Le nombre $(a^2 + 1)$ est toujours positif, et donc $2(a^2 + 1)$ l'est aussi.

Ce qui implique que $2(a^2 + 1)$ appartient à l'ensemble des entiers naturels : $2(a^2 + 1) \in \mathbb{N}$.

$$I^2 = \ 2 \times \ \underbrace{2(a^2 + 1)} _\text{$A \ \in \ \mathbb{N}$} \ + \ 1$$

Le carré de $I$ s'écrit donc finalement sous la forme :

$$ I^2 = \ 2 A + 1 \qquad (avec \ A \in \mathbb{N})$$

C'est donc un nombre impair positif.

Exactement de la même manière que plus haut, que peut-on en déduire en utilisant la contraposée de ce résultat ?

Comme on a réussi à montrer précédemment que pour tout nombre entier :

$$ un \ nombre \ est \ impair \Longrightarrow son \ carr\textit{é} \ est \ impair$$

Alors par contraposée :

$$ le \ carr\textit{é} \ d'un \ nombre \ est \ pair \Longrightarrow ce \ nombre \ est \ pair$$

Équivalences

En combinant les quatre résultats obtenus, écrire les deux équivalences qui en découlent.

Indice : Lorsqu'on a réussi à montrer une première implication pour $P$ et $Q$ :

$$ P \Longrightarrow Q$$

Et aussi sa réciproque :

$$ Q \Longrightarrow P $$

Alors, il y a équivalence :

$$ P \Longleftrightarrow Q $$

Cela veut dire qu'elles sont toutes les deux vraies (ou toutes les deux fausses) en même temps.

On a réussi à montrer les quatre implications suivantes :

$$ un \ nombre \ est \ pair \Longrightarrow son \ carr\textit{é} \ est \ pair \qquad (1)$$

$$ le \ carr\textit{é} \ d'un \ nombre \ est \ pair \Longrightarrow ce \ nombre \ est \ pair \qquad (2) $$

$$ un \ nombre \ est \ impair \Longrightarrow son \ carr\textit{é} \ est \ impair \qquad (3) $$

$$ le \ carr\textit{é} \ d'un \ nombre \ est \ impair \Longrightarrow ce \ nombre \ est \ impair \qquad (4) $$

Les propositions $(1)$ et $(2)$ donnent :

$$ pour \ tout \ nombre \ pair \ P, $$

$$P \ est \ pair \Longleftrightarrow P^2 \ est \ pair$$

Et l propositions $(3)$ et $(4)$ donnent :

$$ pour \ tout \ nombre \ impair \ I, $$

$$I \ est \ impair \Longleftrightarrow I^2 \ est \ impair$$