Problèmes d'arithmétique

Les nombres pairs

On caractérise un nombre pair $P$ de la façon suivante :

$$\forall a \in \mathbb{Z}, \ P = 2a $$

Montrer que si un nombre $P$ est pair, alors le carré de ce nombre l'est aussi.

Si $P$ est pair, alors pour tout nombre $a \in \mathbb{Z}$, $P$ peut s'écrire : $P = 2a$.

Alors, si l'on prend son carré, on obtient :

$$P^2 = (2a)^2$$

En faisant le carré d'un produit, les carrés se distribuent :

$$P^2 = \ 2^2a^2$$

$$P^2 = \ 2 \times 2a^2$$

Par ailleurs, un carré est toujours positif, alors $a^2$ est positif.

Ce qui implique que $2a^2$ appartient à l'ensemble des entiers naturels : $2a^2 \in \mathbb{N}$.

$$P^2 = \ 2 \times \underbrace{2a^2} _\text{$A \ \in \ \mathbb{N}$}$$

Le carré de $P$ s'écrit donc finalement sous la forme :

$$P^2 = \ 2 A \qquad (avec \ A \in \mathbb{N})$$

C'est donc un nombre pair positif.

Que peut-on en déduire en utilisant la contraposée de ce résultat ?

Indice : Lorsqu'on a réussi à montrer que pour deux propositions données $P$ et $Q$ :

$$ P \Longrightarrow Q$$

$$(Si \ P, \ alors \ Q)$$

Il en resulte par sa contraposée que :

$$ non(Q) \Longrightarrow non(P) $$

$$(Si \ non(Q), \ alors \ non(P))$$

Comme on a réussi à montrer précédemment que pour tout nombre entier :

$$ un \ nombre \ est \ pair \Longrightarrow son \ carr\textit{é} \ est \ pair$$

Alors par contraposée :

$$ le \ carr\textit{é} \ d'un \ nombre \ est \ impair \Longrightarrow ce \ nombre \ est \ impair$$

Les nombres impairs

De la même manière, on caractérise un nombre impair $I$ par :

$$\forall a \in \mathbb{Z}, \ P = 2a + 1 $$

Montrer que si un nombre $I$ est impair, alors le carré de ce nombre l'est aussi.

Si $I$ est impair, alors pour tout nombre $a \in \mathbb{Z}$, $I$ peut s'écrire : $I = 2a + 1$.

Alors, si l'on prend son carré, on obtient :

$$I^2 = (2a + 1)^2$$

On développe l'identité remarquable :

$$I^2 = (2a)^2 + 2 \times 2a + 1^2$$

$$I^2 = 4a^2 + 4a + 1$$

On peut factoriser une partie par $2$ :

$$I^2 = 2\times(2a^2 + 2a) + 1$$

Et même une sconde fois :

$$I^2 = 2\times 2 \times \ \underbrace{(a^2 + 1)} _\text{$(+)$} \ + \ 1$$

Le nombre $(a^2 + 1)$ est toujours positif, et donc $2(a^2 + 1)$ l'est aussi.

Ce qui implique que $2(a^2 + 1)$ appartient à l'ensemble des entiers naturels : $2(a^2 + 1) \in \mathbb{N}$.

$$I^2 = \ 2 \times \ \underbrace{2(a^2 + 1)} _\text{$A \ \in \ \mathbb{N}$} \ + \ 1$$

Le carré de $I$ s'écrit donc finalement sous la forme :

$$ I^2 = \ 2 A + 1 \qquad (avec \ A \in \mathbb{N})$$

C'est donc un nombre impair positif.

Exactement de la même manière que plus haut, que peut-on en déduire en utilisant la contraposée de ce résultat ?

Comme on a réussi à montrer précédemment que pour tout nombre entier :

$$ un \ nombre \ est \ impair \Longrightarrow son \ carr\textit{é} \ est \ impair$$

Alors par contraposée :

$$ le \ carr\textit{é} \ d'un \ nombre \ est \ pair \Longrightarrow ce \ nombre \ est \ pair$$

Équivalences

En combinant les quatre résultats obtenus, écrire les deux équivalences qui en découlent.

Indice : Lorsqu'on a réussi à montrer une première implication pour $P$ et $Q$ :

$$ P \Longrightarrow Q$$

Et aussi sa réciproque :

$$ Q \Longrightarrow P $$

Alors, il y a équivalence :

$$ P \Longleftrightarrow Q $$

Cela veut dire qu'elles sont toutes les deux vraies (ou toutes les deux fausses) en même temps.

On a réussi à montrer les quatre implications suivantes :

$$ un \ nombre \ est \ pair \Longrightarrow son \ carr\textit{é} \ est \ pair \qquad (1)$$

$$ le \ carr\textit{é} \ d'un \ nombre \ est \ pair \Longrightarrow ce \ nombre \ est \ pair \qquad (2) $$

$$ un \ nombre \ est \ impair \Longrightarrow son \ carr\textit{é} \ est \ impair \qquad (3) $$

$$ le \ carr\textit{é} \ d'un \ nombre \ est \ impair \Longrightarrow ce \ nombre \ est \ impair \qquad (4) $$

Les propositions $(1)$ et $(2)$ donnent :

$$ pour \ tout \ nombre \ pair \ P, $$

$$P \ est \ pair \Longleftrightarrow P^2 \ est \ pair$$

Et l propositions $(3)$ et $(4)$ donnent :

$$ pour \ tout \ nombre \ impair \ I, $$

$$I \ est \ impair \Longleftrightarrow I^2 \ est \ impair$$

Problèmes d'arithmétique

Les nombres pairs et impairs