Calculer les aires des différentes parcelles de terrain.
La pente d'un toit
On dispose du toit en charpente suivante :
un toit en charpente, dont on souhaite calculer la pente
Calculer la valeur de la pente de ce toit en pourcentage.
Cette pente vaut :
$$a = \frac{6}{5-3} \times 100 \ \%$$
$$a = 300 \ \% $$
La surface d'un terrain triangulaire
On souhaite calculer la surface \(S\) d'un terrain triangulaire.
un téléphérique parcourant une distance \(b\)
Pour cela, on dispose des valeurs suivantes :
$$ \left \{ \begin{gather*}
a = 124 \ m \\
b = 45 \ m \\
c = 105 \ m \\
d = 36 \ m
\end{gather*} \right \} $$
Quelle est la valeur de cette surface \(S\) ?
Posons une nouvelle longueur \(L\), l'hypoténuse du triangle rectangle entre \(a\) et \(b\). Alors,
$$L = \sqrt{a^2 + b^2}$$
$$L = \sqrt{124^2 + 45^2}$$
Utilisons maintenant cette longueur pour calculer la surface avec la formule de Héron :
$$ S = \sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)} \qquad (H\textit{é}ron) $$
$$ avec \enspace \Biggl \{ \begin{gather*}
p : demi\hspace{-0.3em}-\hspace{-0.3em}p\textit{é}rim\textit{è}tre \ du \ triangle \\
p = \frac{a+b+c}{2}
\end{gather*} $$
Soit :
$$ S = \sqrt{\frac{L+c+d}{2}\left(\frac{L+c+d}{2} - L \right) \left(\frac{L+c+d}{2} - c \right) \left(\frac{L+c+d}{2} - d \right)}$$
$$ S = \frac{1}{4} \sqrt{ \left(L+c+d \right) \left(c+d - L \right) \left(L+d-c \right) \left(L+c-d \right)}$$
$$ S = \frac{1}{4} \sqrt{ \left(L+c+d \right) \left(c+d - L \right) \left(L+d-c \right) \left(L+c-d \right)}$$
$$S \approx 1 \ 400 \ m^2 $$
Calcul de dénivelé
Un téléphérique parcourt une distance \(b\), dont une partie horizontale est inaccessible à cause des rochers.
un téléphérique parcourant une distance \(b\)
On dispose des données suivantes :
$$ \left \{ \begin{gather*}
a = 240 \ m \\
b = 80 \ m \\
L = 860 \ m
\end{gather*} \right \} $$
Quelle est la hauteur du dénivelé \(h\) parcourue par le téléphérique ?
Posons \(\alpha\) l'angle du petit triangle rectangle.
On a alors :
$$ tan(\alpha) = \frac{b}{a} $$
$$ \alpha = arctan \left( \frac{b}{a} \right) $$
De même, on a aussi :
$$ sin(\alpha) = \frac{h}{L} $$
$$ h = L \times sin(\alpha) $$
$$ h = L \times sin \left(arctan \left( \frac{b}{a} \right) \right) $$
$$ h \approx 272 \ m $$
La distance traversant le lac
Pour des mesures sur un terrain, on cherche à connaître une distance, mais cette distance est inaccessible car un lac est situé en plein milieu de cette axe.
Cependant, on dispose de deux mesures de longueur, et d'une mesure d'angle :
Soit un triangle \(abc\), ainsi qu'un angle \(\alpha\) en face du côté \(a\).
$$ \left \{ \begin{gather*}
a = 110 \ m \\
b = 75 \ m \\
\gamma = 32°
\end{gather*} \right \} $$
la distance inaccessible à cause d'un lac
Quelle est la longueur de cette distance \(c\) ?
En appliquant le théorème d'Al-Kashi, on a :
$$c^2 = a^2 + b^2 -2ab \ cos(\gamma) $$
$$c = \sqrt{a^2 + b^2 -2ab \ cos(\gamma)} $$
Soit,
$$ c \approx 61 \ m$$
À l'aide des trois longueurs connues, calculer une approximation de la surface du triangle \(\bigl \{ a, b, c\bigr\}\)
En appliquant la formule de Héron, on a :
$$ S \approx \sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)} \qquad (H\textit{é}ron) $$
$$ avec \enspace \Biggl \{ \begin{gather*}
p : demi\hspace{-0.3em}-\hspace{-0.3em}p\textit{é}rim\textit{è}tre \ du \ triangle \\
p = \frac{a+b+c}{2}
\end{gather*} $$
Calculons d'abord le demi-périmètre \(p\) :
$$ p \approx 110+75+61 $$
$$ p \approx \frac{246}{2}$$
$$ p \approx 123 $$
Puis la surface \(S\) :
$$ S \approx \sqrt{123(123-110)(123-75)(123-61)} $$
Soit,
$$ S \approx 2 \ 181 \ m^2$$
Enfin, calculer une valeur approchée des angles \(\beta\) et \(\gamma\)
En appliquant à nouveau Al-Kashi, mais aux deux autre côtés, on a :
On dispose d'un cube \(ABCDEFGH\). Dans ce cube, on y a dessiné un tétraèdre \(EAFD\).
un tétraèdre inscrit dans un cube
Par simplicité, on se placera dans un repère correspondant à la figure, le repère \((A, \ \overrightarrow{AD}, \ \overrightarrow{AE}, \ \overrightarrow{AB}) \).
On a projeté orthogonalement le point \(C\) sur le plan triangulaire \(AFH\), avec le point \(K\) comme point d'intersection.
un tétraèdre inscrit dans un cube
Le but de l'exercice est de calculer la distance \(EK\) de deux manières différentes.
Première méthode : par le calcul des volumes
Calculer les distances \((AF, \ AH, \ FH )\)
Comme on se situe dans un cube, les trois distances \((AF, \ AH, \ FH )\) sont égales, donc le calcul d'une seule suffit.
Avec les deux points \(A\bigl[ 0 ; \ 0 \ ; 0 \bigr]\) et \(H\bigr[ 1 ; \ 1 \ ; 0 \bigl]\), on a :
$$ AH = \sqrt{(1-0)^2 + (1-0)^2 + (0-0)^2} $$
$$ AH = \sqrt{2} $$
Et par conséquent :
$$ AH = AF = FH = \sqrt{2} $$
Avec la formule de Héron, calculer l'aire de la base du triangle \(AFH\)
La formule de Héron nous dit que :
$$ S = \sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)} \qquad (H\textit{é}ron) $$
$$ avec \enspace \Biggl \{ \begin{gather*}
p : demi\hspace{-0.3em}-\hspace{-0.3em}p\textit{é}rim\textit{è}tre \ du \ triangle \\
p = \frac{a+b+c}{2}
\end{gather*} $$
Alors, l'équation du plan \(AFH\) est finalement :
$$ x -y + z = 0 \qquad (\mathcal{P}_{AFH})$$
Exprimer maintenant l'expression de la droite \(EK\)
Si le vecteur \( \overrightarrow{n} \begin{pmatrix} 1 \\ - 1 \\ 1 \end{pmatrix}\) dirige cette droite, et que cette droite passe par le point \(E\), alors cette droite a pour équation paramétrique :
$$ M\bigl[x, y, z \bigr] \in \mathcal{D}(E, \vec{u}) \hspace{0.1em} \Longleftrightarrow \hspace{0.1em} \exists^{\infty} t \in \mathbb{R}, \enspace \begin{Bmatrix} x = t + x_E \\ y = -t + y_E \\z = t + z_E \end{Bmatrix} $$
Avec le point \(E\bigl[ 0 ; \ 1 \ ; 0 \bigr]\) :
$$ \exists^{\infty} t \in \mathbb{R}, \enspace \begin{Bmatrix} x = t \\ y = -t + 1 \\z = t \end{Bmatrix} \qquad (\mathcal{D}_{EK}) $$
Déterminer les coordonnées du point \(K\), en faisant l'intersection de la droite \((EK)\) avec le plan \(AFH\)
Pour calculer l'intersection du plan \(AFH\) et de la droite \((EK)\), reprenons les deux équations :
$$ x -y + z = 0 \qquad (\mathcal{P}_{AFH})$$
$$ \exists^{\infty} t \in \mathbb{R}, \enspace \begin{Bmatrix} x = t \\ y = -t + 1 \\z = t \end{Bmatrix} \qquad (\mathcal{D}_{EK}) $$
Injectons les valeurs de chaque dimension de \((\mathcal{D}_{EK})\) dans \((\mathcal{P}_{AFH})\) :
$$ t -(-t + 1) + t = 0 $$
$$ 3t - 1 = 0 $$
$$ 3t = 1 $$
$$ t = \frac{1}{3} $$
Soit, en réinjectant mes valeurs dans l'équation paramétrique \((\mathcal{D}_{EK})\) :
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