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Exercices de calculs administratifs et financiers

Le bulletin de salaire

Sur un salaire brut que verse l'employeur, celui-ci va payer diverses taxes, telles que marquées sur le tableau suivant :

Famille

Sous-famille

Taux

Santé

Sécurité sociale

\(7 \%\)

Complémentaire santé

\(1 \%\)

Complémentaire incapacité/invalidité/décès

\(0.5 \%\)

Accident - maladie

\(1.36 \%\)

Retraite

Sécurité sociale

\(2.42 \%\)

Sécurité sociale plafonnée

\(7.45 \%\)

Complémentaire (Tr 1)

\(10.02 \%\)

Famille

\(3.45 \%\)

Assurance chômage

\(4.04 \%\)

CSG

\(9.7 \%\)

Total

Tableau des taux d'imposition présents sur un bulletin de salaire

  1. Calculer le taux d'imposition total, sachant que ce taux est la somme de tous les taux.

    2. En additionnant toutes les taxes, on obtient un taux global \(t_g\) :

    $$t_g = 7 + 1 + 0.5 + 1.36+2.42 + 7.45 + 10.02 +3.45+4.04+9.7$$

    $$t_g = 46.94 \ \%$$


  2. Par ailleurs, pour les salaire inférieurs à \(1.6\) fois le \(SMIC\) brut, un salarié bénéficie d'une réduction d'impôts, équivalant à \(30 \%\).

    Calculer le taux d'imposition total réduit grâce à cette éxonération.

    3. Un réduction de \(30 \%\) équivaut à multiplier par \(0.7\), en appellant \(t_{gr}\) le taux global réduit :

    $$t_{gr} = 46.94 \times 0.7 $$

    $$t_{gr} = 32.86 \ \% $$

  3. Application numérique

    Le \(SMIC\) s'élève à \(1 \ 766.92 €\) en 2024.

    Avec un salaire à \(1.45\) fois le \(SMIC\) brut, à combien s'élève le salaire net ?

    4. Le salaire net équivaut au salaire brut, auquel on retire le salaire taxé.

    Comme ce salaire est inférieur à \(1.6\) fois le \(SMIC\), on applique le taux réduit.

    $$S_{net} = S_{brut} \times \left(1- \frac{t_{gr} }{100}\right)$$
    $$S_{net} = 1.6 \times 1 \ 766.92 \times \left(1- \frac{32.86 }{100}\right)$$
    $$S_{net} = 1.6 \times 1 \ 766.92 \times 67.14$$

    $$S_{net} \approx 1 \ 898.10 \ € $$

Les impôts de l'auto-entrepreneur

Lorsque l'on effectue des prestations de services sous le régime de la micro-entreprise, on a deux taxes à payer sur le chiffre d'affaires :

$$ \Biggl \{ \begin{gather*} cotisations \ sociales : 21,1 \% \\ impôts : 1,7 \% \end{gather*} $$

Ce mois-ci, j'ai généré un chiffre d'affaires de 1 459€.

L'imposition est calculée de la manière suivante :

$$ B\textit{é}n\textit{é}fice = CA - CA \times t \qquad avec \enspace \Biggl \{ \begin{gather*} CA : chiffres \ d'affaires \ (€) \\ t : taux \ d'imposition \end{gather*} $$


Combien va-t-il me rester après paiement des impôts ?

Le bénéfice représente ce qu'il reste après paiement des taxes diverses. Nous avons deux taux \(t_1\) et \(t_2\) à retirer sur la base du chiffre d'affaires.

$$B\textit{é}n\textit{é}fice = CA - CA \times t_1 - CA \times t_2$$

Soit,

$$B\textit{é}n\textit{é}fice = 1 459 - 1 459 \times \frac{21.1}{100} - 1 459 \times \frac{1.7}{100} = 1126.348 $$

On arrondi généralement au centime du dessus. Alors on aura comme bénéfice :

$$B\textit{é}n\textit{é}fice = 1126.35 \ €$$

On peut éventuellement factoriser par \(CA\), on obtient :

$$B\textit{é}n\textit{é}fice = CA \times ( 1 - t_1 -t_2) \Longleftrightarrow B\textit{é}n\textit{é}fice = CA \times \Bigl[ 1 - (t_1 + t_2)\Bigr] $$

Le taux de taxe total est la somme des taux. Alors, on calcule à partir de ce taux général :

$$ B\textit{é}n\textit{é}fice = 1459 \times \Bigl[ 1 - (21.1+1.7)\Bigr] $$
$$ B\textit{é}n\textit{é}fice = 1459 \times \left[ 1 - \left(\frac{21.1}{100}+\frac{1.7}{100}\right)\right] $$
$$ B\textit{é}n\textit{é}fice = 1459 \times (1 - 0.228) = 1126.348 $$
$$B\textit{é}n\textit{é}fice = 1126.35 \ €$$

La remise de prix trompeuse

Un charpentier effectue un devis pour un client en lui appliquant une TVA à 5,5%.

Un prix avec la TVA (\(P_{TTC}\)) se calcule comme ceci :

$$P_{TTC} = P_{HT} \times (1+t) \qquad avec \enspace \Biggl \{ \begin{gather*} P_{TTC} : prix \ apr\textit{è}s \ taxe \ (€) \\ P_{HT} : prix \ avant \ taxe \ (€) \\ t : taux \ d'imposition \end{gather*} $$

Le devis étant estimé à 436€, le prix devient :

$$P_{TTC} = 436 \ € \times 1,055 = 459,98 \ € $$

Mais l'artisan décide finalement, par commun accord de lui épargner cette TVA. Avec le prix obtenu, il recalcule le prix \(P_{HT}\) :

$$P_{HT} = 459,98 \ € \times 0,945 \approx 434,68 \ € $$

Où sont passés les \(1,32 \ € \) ?

Après avoir effectué une multiplication d'un un nombre \(a\) par \(b\), pour revenir au nombre de départ \(a\), on divise par \(b\).

$$a \underset{\times b}{\longrightarrow} ab \underset{\div b}{\longrightarrow} \frac{ab}{b} = a$$

Or, au lieu de diviser le prix taxé par \((1+t)\), l'artisan a multiplié par \((1-t)\).


Donc, c'est de là que provient son erreur.

En réalité, il a multiplié son prix hors taxe par \((1+t)(1-t)\), ce qui est différent de \(1\).

En réalité ce nombre s'approche beaucoup à \(1\) car :

$$(1+t)(1-t) = 1 - t^2 \qquad \qquad \qquad (3^{e} \ id. \ rem.)$$

Dans ce cas précis,

$$1 - 0.055^2 \approx 0.996975$$

Ce résultat est bien différent de \( 1\)...

L'achat de matériel agricole

Pour effectuer un chantier, je me rends dans un magasin de vente de matériel agricole pour y acheter un lot de pelles. Dans ce magasin, il est affiché : « Les prix affichés ne sont pas le prix soldés ».

Je vois un premier lot, affiché à \(250 \ € \), et soldé à \(-30 \% \).

Je vois par la suite un second lot, affiché à \(300 \ € \), et soldé une première fois à \(-20 \% \), puis une deuxième démarque (sur le prix déjà soldé) à \(-25 \% \).


Sachant que les deux lots contiennent le même nombre de pelles, et ont l'air d'être de qualité similaire, lequel des deux est une meilleure affaire ?

Faire une réduction de \(30 \%\) revient à multiplier par \(70 \%\).

Alors, pour le premier lot de pelles on a un prix après réduction de :

$$250 \times 0.7 = 175 \ € \qquad(1^{er}) $$

Pour le second lot, on applique une première réduction de \(25 \%\) :

$$300 \times 0.8 = 240 \ €$$

On applique ensuite le deuxième réduction de \(25 \%\) sur le prix trouvé :

$$240 \times 0.75 = 180 \ € \ \qquad(2^{ème})$$

La meilleure affaire est le premier lot de pelles.

Les primes à répartir

Dans une petite entreprise du bâtiment, on a enregistré à l'année \(n\) un très bon bénéfice, dû à un surcroît d'activité.

Le chef d'entreprise décide alors de répartir la somme de la façon suivante :

  1. Quelle sera la part de la somme restante après ces trois redistributions ? (exprimée en fonction de la somme de départ \(S\))

    2. Dans un premier temps, on retire les trois parts (celle du chef et celles des salariés).

    En appellant cette somme \(S\) et \(R\) le reste après redistrbtion, on a :

    $$R = S - S \times \frac{1}{10} - S \times \frac{1}{4} - S \times \frac{1}{5}$$

    On factorise tout par \(S\) :

    $$R = S \times \left ( 1 - \frac{1}{10} - \frac{1}{4} - \frac{1}{5}\right)$$

    Pour additionner/soustraire des fractions, on doit tout mettre au même dénominateur :

    $$R = S \times \left ( 1 - \frac{1}{10} \textcolor{#8B6969} {\times \frac{4}{4}} - \frac{1}{4} \textcolor{#8B6969} {\times \frac{10}{10}} - \frac{1}{5} \textcolor{#8B6969} {\times \frac{8}{8}} \right)$$
    $$R = S \times \left ( 1 \textcolor{#8B6969} {\times \frac{40}{40}} - \frac{4}{40} - \frac{10}{40} - \frac{8}{40} \right)$$
    $$R = S \times \left ( \frac{40 - 4 -10 - 8}{40} \right)$$
    $$R = S \times \frac{18}{40} = S \times \frac{\cancel{2} \times 9}{\cancel{2} \times 20} $$

    $$R = S \times \frac{9}{20} $$

  2. Le chef d'entreprise décide de garder la somme restante pour réinvestir dans du matériel pour la société pour l'année \((n+1)\).

    La somme de départ \(S\) se montant à \(200 \ 000 \ €\), en déduire la somme que pourra réinvestir le chef de cette petite entreprise.

    3. En reprenant la formule trouvée au précédent, et on appelle par exemple \(S_r\) cette somme à réinvestir :

    $$S_r = 200 \ 000 \ [€] \times \frac{9}{20} $$
    $$S_r = \frac{200 \ 000 \times 9 }{20} \ [€] $$
    $$S_r = \frac{20 \times 10 \ 000 \times 9 }{20} \ [€] $$
    $$S_r = \frac{\cancel{20} \times 10 \ 000 \times 9 }{\cancel{20}} \ [€] $$

    $$S_r = 90 \ 000 \ [€] $$

L'évolution du chiffre d'affaires

Une entreprise affiche un chiffre d'affaires de \(14 \ 534 \ € \) pour une année \((n+1)\).

Cela réprésente un taux d'évolution de \(+400 \%\) par rapport à l'année précédente.


Quel était le chiffres d'affaires à l'année \(n\) ?

On appelle \(CA_n\) le chiffre d'affaires de l'année \(n\).

On a :

$$CA_{n+1 } = CA_n + CA_n \times 400\% $$

En factorisant,

$$CA_{n+1 } = CA_n \times (1 + 400\%) $$
$$CA_{n+1 } = CA_n \times ( 100\% + 400\%) $$
$$CA_{n+1 } = CA_n \times 500\% $$
$$CA_{n+1 } = 5CA_n $$

Soit,

$$CA_{n } = \frac{CA_{n+1 }}{5} $$

Application numérique

$$CA_{n } = \frac{14 \ 534 }{5} $$

$$CA_{n } = 2 \ 906.8 \ € $$

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