Activité : le solde naturel

Calculer une évolution

Calculer une évolution consiste à appliquer un taux d'évolution (en $\%$) à une valeur de départ. Une évolution peut être soit une augmentation, soit une diminution :

$$V_A = V_D \times \left(1+\frac{t}{100} \right)\qquad(\ \nearrow \ )$$

$$V_A = V_D\times \left(1-\frac{t}{100} \right)\qquad(\ \searrow \ ) $$

Calculer :

Un chiffre d'affaires évolue d'un certain taux $t_n$ entre l'année $n - 1$ et l'année $n$. En démarrant de l'année $0$, calculer l'évolution aux années suivantes.

$$ taux $$	$$t_1 = +1.5 \%$$	$$t_2 = +2.75 \%$$	$$t_3 = -0.45 \%$$
$$ C_0 = 3 \ 245 \ 142 \ € $$	$$C_1= $$	$$C_2= $$	$$C_3= $$

Le solde naturel

Le solde naturel est la gain net de population enregistré au cours d'une certaine période; on le calcule par la différence entre le nombre de naissances et le nombre de décès enregistrés sur une période donnée.

$$S_{naturel} = N_{naissances} - N_{d\textit{é}c\textit{è}s} $$

Calcul du solde naturel

La figure suivante recense le nombre de naissances ainsi que le nombre de décès depuis l'année 1957.

Nombre de naissances, de décès et solde naturel en France sur la séquence 1957-2023 (source: INSEE, statistiques et estimations d'état civil)

Que peut-on dire concernant l'évolution du solde naturel ?

Calculer pour chaque année le solde naturel, et tracer son évolution sur un nouveau graphique.

Quelles sont les raisons possibles qui pourraient expliquer une telle tendance ?

Simulation d'un taux d'évolution annuel du solde naturel

Si on considérait l'année 1957 comme l'année de départ (l'année $0$), quelle indice aurait la dernière année de l'étude du graphique précédent ?

Supposons que le solde naturel depuis 1957 en France ait évolué avec un taux de diminution annuel constant. C'est-à-dire qu'on aurait pour chaque année :

$S_0$ = solde naturel à l'année $0$

$$ \textcolor{#6187B2}{S_1} = S_0 \times (1-t) $$

$$ \textcolor{#8bb18f98}{S_2} = \textcolor{#6187B2}{S_1} \times (1-t) $$

$$ S_3 = \textcolor{#8bb18f98}{S_2} \times (1-t) $$

...etc. jusque l'année $n$

$$ S_n = S_{n-1} \times (1-t) $$

Pour chaque ligne, remplacer la valeur du solde naturel par sa valeur réelle calculée précédemment.

Émettre une conjecture pour la formule solde $S_n$ de l'année $n$, la dernière année.

Connaissant les valeurs de $S_0$ et $S_n$, tenter de trouver la valeur de ce taux moyen annuel $t$ sur ces $n$ années.

Méthode : Pour se débarrasser d'un exposant $n$, on lui applique la racine $n$-ième pour l'annihiler.

$$X^n = A $$

$$ \textcolor{#54915C}{\sqrt[n]{\textcolor{#979999}{X^n}}} = \textcolor{#54915C}{\sqrt[n]{\textcolor{#979999}{A}}} $$

$$X = \sqrt[n]{\textcolor{#979999}{A}}$$