Les probabilités du jeu de dés

Une probabilité

Une probabilité est la chance de réussite d'un certain évènement $E$.

Elle est toujours comprise entre $0$ et $1$.

$$ 0 \leqslant P(E) \leqslant 1 $$

Si on exprime cette probabilité en $\%$, dans ce cas :

$$ 0 \ \% \leqslant P(E) \leqslant 100 \ \% $$

De manière générale, la probabilité d'occurrence d'un évènement $E$ est définie comme :

$$ P(E) = \frac{nombre \ de \ cas \ d'occurrence \ de \ l'\textit{é}v\textit{è}nement}{nombre \ de \ cas \ possibles} $$

Un dé est composé de six faces, dont six valeurs sont possibles pour le résultat :

$$ \Bigl \{ 1, 2 , 3 , 4 , 5 ,6 \Bigr \} $$

Calcul de probabilités avec un seul dé

Calculer les probabilités des évènements suivants :

$6 $ : "Obtenir exactement un $6$"

On considère un cas sur possible sur les $6$, alors la probabilité d'obtenir exactement un $6$ est :

$$ P(6) = \frac{1}{6} $$

$ Nombre $ : "Obtenir n'importe quel nombre"

Cette probabilité a $100 \%$ de chances de se produire :

$$ P(Nombre) = 1 $$

$ 1 \cup 6 $ : "Obtenir un $1$ ou un $6$"

Reconnaître une situation de probabilité : $P(E_1 \ ou \ E_2)$

Avec deux évènements donnés $E_1$ et $E_2$, la probabilité d'obtenir l'un ou l'autre se traduit par une addition :

$$ P(E_1 \ ou \ E_2) = P(E_1) + P(E_2) $$

On appelle :

$ 1 $ : "Obtenir exactement un $1$"
$ 6 $ : "Obtenir exactement un $6$"

Pour obtenir l'un ou l'autre des deux évènements, on fait l'addition des deux, alors la probabilité d'obtenir un $1$ ou un $6$ est :

$$ P(1 \cup 6) = P(1) + P(6) $$

$$ P(1 \cup 6) = \frac{1}{6} + \frac{1}{6} $$

$$ P(1 \cup 6) = \frac{2}{6} $$

$$ P(1 \cup 6) = \frac{\cancel{2} \times 1}{\cancel{2} \times 3} $$

$$ P(1 \cup 6) = \frac{1}{3} $$

$\overline{6}$ : "Ne pas obtenir de $6$ du tout"

Reconnaître une situation de probabilité complémentaire : $P(\bar{A})$

Avec un évènements $A$, la probabilité d'obtenir l'évènement contraire $\bar{A}$ revient à faire :

$$ P(\bar{A}) = 1 - P(A) $$

Ne pas obtenir de $6$ du tout, revient à l'éliminer de tous les cas possibles.

On appelle l'évènement $ n $ l'évènement par lequel on obtient exactement un certain nombre $n$ :

$ 1 $ : "Obtenir exactement un $1$"
$ 2 $ : "Obtenir exactement un $2$"
...etc.

Alors, la probabilite de ne pas obtenir de $6$ du tout est :

$$ P(\overline{6}) = 1 - P(6) $$

On a calculé précédemment la probabilité d'obtenir n'importe quel nombre, qui était de $\frac{1}{6}$.

$$ P(\overline{6}) = 1 - \frac{1}{6} $$

$$ P(\overline{6}) = 1 \textcolor{#6187B2}{\times \frac{6}{6}} - \frac{1}{6} $$

$$ P(\overline{6}) = \frac{6}{6} - \frac{1}{6} $$

$$ P(\overline{6}) = \frac{6 - 1}{6} $$

$$ P(\overline{6}) = \frac{5}{6} $$

Calcul de probabilités avec deux dés

On s'intéresse maintenant aux probabilités avec deux dés.

Calculer les probabilités des évènements suivants :

$6 \cap 6 $ : "Obtenir exactement un double $6$"

Reconnaître une situation de probabilité : $P(E_1 \ et \ E_2)$

Avec deux évènements indépendants $E_1$ et $E_2$, la probabilité d'obtenir l'un et l'autre se traduit par une multiplication :

$$ P(E_1 \ et \ E_2) = P(E_1) \times P(E_2) $$

On appelle comme précédemment :

$ 6 $ : "Obtenir exactement un $6$"

Pour obtenir l'un et l'autre des deux évènements de manière indépendante, on fait la multiplication des deux, alors la probabilité d'obtenir un double $6$ est :

$$ P(6 \cap 6) = P(6) \times P(6) $$

$$ P(6 \cap 6) = \frac{1}{6} \times \frac{1}{6} $$

$$ P(6 \cap 6) = \frac{1}{36} $$

$Double $ : "Obtenir n'importe quel double"

On appelle l'évènement $ D_n $ l'évènement par lequel on obtient exactement un double $n$ :

$ D_1 $ : "Obtenir exactement un double $1$"
$ D_2 $ : "Obtenir exactement un double $2$"
...etc.

Pour obtenir n'importe quel double, il faut faire l'addition de tous les doubles possibles :

$$ P(Double) = P(D_1 \ ou \ D_2 \ ou \ D_3 \ ou \ D_4 \ ou \ D_5 \ ou \ D_6) $$

$$ P(Double) = P(D_1) + P(D_2) + P(D_3) + P(D_4) + P(D_5) + P(D_6) $$

On a calculé précédemment la probabilité de faire exactement un double, qui était de $\frac{1}{36}$.

$$ P(Double) = \frac{1}{36} + \frac{1}{36} + \frac{1}{36} + \frac{1}{36} + \frac{1}{36} + \frac{1}{36} $$

$$ P(Double) = \frac{6}{36} $$

$$ P(Double) = \frac{\cancel{6} \times 1 }{\cancel{6} \times 6} $$

$$ P(Double) = \frac{1}{6} $$

$\overline{6} \cap \overline{6}$ : "Ne pas obtenir de double $6$ du tout"

Ne pas obtenir de double $6$ du tout, revient à n'obtenir aucun $6$ aux deux lancers.

On appelle l'évènement $ \overline{6} $ :

$ \overline{6} $ : "N'obtenir aucun $6$ sur un lancer"

Alors, la probabilite de ne pas obtenir de double $6$ du tout est :

$$ P(\overline{6} \cap \overline{6}) = P(\overline{6} \ et \ \overline{6}) $$

$$ P(\overline{6} \cap \overline{6}) = P(\overline{6}) \times P(\overline{6}) $$

On a calculé précédemment cette probabilité $ P(\overline{6}) $, qui était de $\frac{5}{6}$.

$$ P(\overline{6} \cap \overline{6}) = \frac{5}{6} \times \frac{5}{6} $$

$$ P(\overline{6} \cap \overline{6}) = \frac{5 \times 5}{6 \times 6} $$

$$ P(\overline{6} \cap \overline{6}) = \frac{25}{36} $$

$ min(6) $ : "Obtenir au moins un $6$"

La probabilité d'obtenir au moins un $6$ est le contraire de n'en obtenir aucun, c'ést-à-dire son évènement complémentaire.

On appelle l'évènement :

$ \overline{6} \ et \ \overline{6} $ : "N'obtenir aucun $6$ sur deux lancers"

Alors, la probabilité de n'obtenir aucun $6$ sur deux lancers est :

$$ P\bigl(min(6)\bigr) = 1 - P(\overline{6} \ et \ \overline{6}) $$

On a calculé précédemment cette probabilité $ P(\overline{6} \ et \ \overline{6})$, qui était de $\frac{25}{36}$.

$$ P\bigl(min(6)\bigr) = 1 - \frac{25}{36} $$

$$ P\bigl(min(6)\bigr) = 1 \textcolor{#6187B2}{\times \frac{36}{36}} - \frac{25}{36} $$

$$ P\bigl(min(6)\bigr) = \frac{36}{36} - \frac{25}{36} $$

$$ P\bigl(min(6)\bigr) = \frac{36 - 25}{36} $$

$$ P\bigl(min(6)\bigr) = \frac{11}{36} $$

Calcul de probabilités du jeu de Yams

Le Yams est un jeu qui se joue avec cinq dés.

Le but est d'obtenir des figures en trois lancers maximum par tour. Plus la figure est difficile à obtenir, plus elle donne un score élevé.

Par simplicité, on s'intéressera uniquement aux probabilités sur un seul lancer.

Calculer les probabilités des évènements suivants :

$ Y $ : "Obtenir un Yams (exactement $5$ dés identiques)"

La probabilité d'obtenir un Yams avec que des $1$ vaut :

$$ P(Y_1) = \frac{1}{6} \times \frac{1}{6} \times \frac{1}{6} \times \frac{1}{6} \times \frac{1}{6} $$

$$ P(Y_1) = \frac{1}{6^5} $$

On doit alors multiplier cette probabilité par le nombre de cas possibles, c'est-à-dire $6$ :

$$ P(Y) = 6 \times \frac{1}{6^5} $$

$$ P(Y) = \frac{\cancel{6} \times 1}{\cancel{6} \times 6 \times 6 \times 6 \times 6 } $$

$$ P(Y) = \frac{1}{6^4} $$

$$ P(Y) = \frac{1}{1296} $$

$ C $ : "Obtenir un carré (exactement $4$ dés identiques)"

On doit prendre en compte ces différents cas :

de choisir le dé restant : il y a $5$ choix possibles
de choisir la valeur de laface du carré : il y a $6$ choix possibles
de choisir la valeur du dé restant : il y a $5$ choix possibles

Le nombre de possibilités de faire un carré est donc :

$$ N_{carr\textit{é}} = 5 \times 6 \times 5 $$

Pour obtenir la probabilité d'obtenir un carré, on prend tous les cas possibles, que l'on divise par tous les cas possibles :

$$ P(C) = \frac{N_{carré}}{N_{total}} $$

$$ P(C) = \frac{5 \times 6 \times 5}{6^5} $$

$$ P(C) = \frac{5 \times \cancel{6} \times 5}{\cancel{6} \times 6^4} $$

$$ P(C) = \frac{25}{\times 6^4} $$

$$ P(C) = \frac{25}{1296} $$

$ F_h $ : "Obtenir un full-house (exactement $3$ dés identiques et $2$ autres identiques)"

Le nombre de prendre $k$ éléments dans un ensemble à $n$ éléments

On définit l'opérateur $\binom{n}{k}$ ou "$k$ parmis $n$" :

$$ \binom{n}{k} = \frac{n!}{(n-p)! \ k !} $$

$$ avec \ k! = k \times (k-1) \times (k-2) \ \times \ ... \ \times \ 3 \times 2 \times 1 $$

On doit prendre en compte ces différents cas :

de choisir le nombre des trois dés identiques : $3$ éléments parmis $5$ possibles, soit $\binom{5}{3}$
de choisir la valeur des trois dés identiques : il y a $6$ choix possibles
de choisir le nombre des deux dés identiques : $2$ éléments parmis $2$ possibles, soit $\binom{2}{2}$
de choisir la valeur des deux dés identiques : il y a $5$ choix possibles

Le nombre de possibilités de faire un full-house est donc :

$$ N_{full-house} = \binom{5}{3} \times 6 \times \binom{2}{2} \times 5 $$

$$ N_{full-house} = \frac{5!}{(5-3)! \ 3 !} \times 6 \times \frac{2!}{\underbrace{(2-2)!} _\text{$= 1$} \ 2 !} \times 5 $$

$$ N_{full-house} = \frac{5 \times 4 \times \cancel{3 \times 2 \times 1}}{2 \times 1 \times \cancel{3 \times 2 \times 1}} \times 6 \times \frac{\cancel{2!}}{\cancel{2!}} \times 5 $$

$$ N_{full-house} = \frac{5 \times 4}{2} \times 6 \times 5 $$

$$ N_{full-house} = 300 $$

Pour obtenir la probabilité d'obtenir un full-house, on prend tous les cas possibles, que l'on divise par tous les cas possibles :

$$ P(F_h) = \frac{N_{full-house}}{N_{total}} $$

$$ P(F_h) = \frac{300}{6^5} $$

$$ P(F_h) = \frac{6 \times 50}{6^5} $$

$$ P(F_h) = \frac{\cancel{6} \times 50}{\cancel{6} \times 6^4} $$

$$ PF_h) = \frac{50}{1296} $$