Activité : les probabilités du jeu de dés

Les probabilités du jeu de dés

Une probabilité

Une probabilité est la chance de réussite d'un certain évènement $E$.

Elle est toujours comprise entre $0$ et $1$.

$$ 0 \leqslant P(E) \leqslant 1 $$

Si on exprime cette probabilité en $\%$, dans ce cas :

$$ 0 \ \% \leqslant P(E) \leqslant 100 \ \% $$

Dé manière générale, la probabilité d'occurrence d'un évènement $E$ est :

$$ P(E) = \frac{nombre \ de \ cas \ d'occurrence \ de \ l'\textit{é}v\textit{è}nement}{nombre \ de \ cas \ possibles} $$

Un dé est composé de six faces, dont six valeurs sont possibles pour le résultat :

$$ \Bigl \{ 1, 2 , 3 , 4 , 5 ,6 \Bigr \}$$

Calcul de probabilités avec un seul dé

Calculer les probabilités des évènements suivants :

$E_1 $ : "Obtenir exactement un $6$"

On considère un cas sur possible sur les $6$, alors la probabilité d'obtenir exactement un $6$ est :

$$ P(E_1) = \frac{1}{6} $$

$E_2 $ : "Obtenir n'importe quel nombre"

Cette probabilité a $100 \%$ de chances de se produire :

$$ P(E_2) = 1 $$

$E_3 $ : "Obtenir un $1$ ou un $6$"

Reconnaître une situation de probabilité : $P(E_1 \ ou \ E_2)$

Avec deux évènements donnés $E_1$ et $E_2$, la probabilité d'obtenir l'un ou l'autre se traduit par une addition :

$$ P(E_1 \ ou \ E_2) = P(E_1) + P(E_2)$$

On appelle :

$ A $ : "Obtenir exactement un $1$"
$ B $ : "Obtenir exactement un $6$"

Pour obtenir l'un ou l'autre des deux évènements, on fait l'addition des deux, alors la probabilité d'obtenir un $1$ ou un $6$ est :

$$ P(E_3) = P(A \ ou \ B) $$

$$ P(E_3) = P(A) + P(B) $$

$$ P(E_3) = \frac{1}{6} + \frac{1}{6} $$

$$ P(E_3) = \frac{2}{6} $$

$$ P(E_3) = \frac{\cancel{2} \times 1}{\cancel{2} \times 3} $$

$$ P(E_3) = \frac{1}{3} $$

$E_4$ : "Ne pas obtenir de $6$ du tout"

Reconnaître une situation de probabilité complémentaire : $P(\bar{A})$

Avec un évènements $A$, la probabilité d'obtenir l'évènement contraire $\bar{A}$ revient à faire :

$$ P(\bar{A}) = 1 - P(A) $$

Ne pas obtenir de $6$ du tout, revient à l'éliminer de tous les cas possibles.

On appelle l'évènement $ A_n $ l'évènement par lequel on obtient exactement un $n$ :

$ A_1 $ : "Obtenir exactement un $1$"
$ A_2 $ : "Obtenir exactement un $2$"
...etc.

Alors, la probabilite de ne pas obtenir de $6$ du tout est :

$$ P(E_4) = 1 - P(B) $$

On a calculé précédemment la probabilité d'obtenir n'importe quel nombre, qui était de $\frac{1}{6}$.

$$ P(E_4) = 1 - P(A_1) - P(A_2) - P(A_3) - P(A_4) - P(A_5) $$

$$ P(E_4) = 1 - P(A_1) - \frac{1}{6} - \frac{1}{6} - \frac{1}{6} - \frac{1}{6} $$

$$ P(E_4) = 1 - P(A_1) - \frac{5}{6} $$

$$ P(E_4) = 1 \textcolor{#6187B2}{\times \frac{6}{6}} - \frac{1}{6} $$

$$ P(E_4) = \frac{6}{6} - \frac{1}{6} $$

$$ P(E_4) = \frac{6 - 1}{6} $$

$$ P(E_4) = \frac{5}{6} $$

Calcul de probabilités avec deux dés

On s'intéresse maintenant aux probabilités avec deux dés.

Calculer les probabilités des évènements suivants :

$E_5 $ : "Obtenir exactement un double $6$"

Reconnaître une situation de probabilité : $P(E_1 \ et \ E_2)$

Avec deux évènements indépendants $E_1$ et $E_2$, la probabilité d'obtenir l'un et l'autre se traduit par une multiplication :

$$ P(E_1 \ et \ E_2) = P(E_1) \times P(E_2)$$

On appelle comme précédemment :

$ B $ : "Obtenir exactement un $6$"

Pour obtenir l'un et l'autre des deux évènements de manière indépendante, on fait la multiplication des deux, alors la probabilité d'obtenir un double $6$ est :

$$ P(E_5) = P(B \ et \ B) $$

$$ P(E_5) = P(B) \times P(B) $$

$$ P(E_5) = \frac{1}{6} \times \frac{1}{6} $$

$$ P(E_5) = \frac{1}{36} $$

$E_6 $ : "Obtenir n'importe quel double"

On appelle l'évènement $ D_n $ l'évènement par lequel on obtient exactement un double $n$ :

$ D_1 $ : "Obtenir exactement un double $1$"
$ D_2 $ : "Obtenir exactement un double $2$"
...etc.

Pour obtenir n'importe quel double, il faut faire l'addition de tous les doubles possibles :

$$ P(E_6) = P(D_1 \ ou \ D_2 \ ou \ D_3 \ ou \ D_4 \ ou \ D_5 \ ou \ D_6) $$

$$ P(E_6) = P(D_1) + P(D_2) + P(D_3) + P(D_4) + P(D_5) + P(D_6) $$

On a calculé précédemment la probabilité de faire exactement un double, qui était de $\frac{1}{36}$.

$$ P(E_6) = \frac{1}{36} + \frac{1}{36} + \frac{1}{36} + \frac{1}{36} + \frac{1}{36} + \frac{1}{36} $$

$$ P(E_6) = \frac{6}{36} $$

$$ P(E_6) = \frac{\cancel{6} \times 1 }{\cancel{6} \times 6} $$

$$ P(E_6) = \frac{1}{6} $$

$E_7$ : "Ne pas obtenir de double $6$ du tout"

Ne pas obtenir de double $6$ du tout, revient à n'obtenir aucun $6$ aux deux lancers.

On appelle l'évènement $ \bar{6} $ :

$ \bar{6} $ : "N'obtenir aucun $6$ sur un lancer"

Alors, la probabilite de ne pas obtenir de double $6$ du tout est :

$$ P(E_7) = P(\bar{6} \ et \ \bar{6}) $$

$$ P(E_7) = P(\bar{6}) \times P(\bar{6}) $$

On a calculé précédemment cette probabilité $ P(\bar{6}) $, qui était de $\frac{5}{6}$.

$$ P(E_7) = \frac{5}{6} \times \frac{5}{6} $$

$$ P(E_7) = \frac{5 \times 5}{6 \times 6} $$

$$ P(E_7) = \frac{25}{36} $$

$E_8 $ : "Obtenir au moins un $6$"

La probabilité d'obtenir au moins un $6$ est le contraire de n'en obtenir aucun, c'ést-à-dire son évènement complémentaire.

On appelle l'évènement :

$ \bar{6} \ et \ \bar{6} $ : "N'obtenir aucun $6$ sur deux lancers"

Alors, la probabilité de n'obtenir aucun $6$ sur deux lancers est :

$$ P(E_8) = 1 - P(\bar{6} \ et \ \bar{6}) $$

On a calculé précédemment cette probabilité $ P(\bar{6} \ et \ \bar{6})$, qui était de $\frac{25}{36}$.

$$ P(E_8) = 1 - \frac{25}{36} $$

$$ P(E_8) = 1 \textcolor{#6187B2}{\times \frac{36}{36}} - \frac{25}{36} $$

$$ P(E_8) = \frac{36}{36} - \frac{25}{36} $$

$$ P(E_8) = \frac{36 - 25}{36} $$

$$ P(E_8) = \frac{11}{36} $$