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Activité : les probabilités du jeu de dés

Un dé est composé de six faces, dont six valeurs sont possibles pour le résultat :

$$ \Bigl \{ 1, 2 , 3 , 4 , 5 ,6 \Bigr \}$$

Une probabilité

Une probabilité est la chance de réussite d'un certain évènement $E$.

Elle est toujours comprise entre $0$ et $1$.

$$ 0 \leqslant P(E) \leqslant 1 $$

Si on exprime cette probabilité en $\%$, dans ce cas :

$$ 0 \ \% \leqslant P(E) \leqslant 100 \ \% $$

Calcul de probabilités avec un seul dé

Calculer les probabilités des évènements suivants :

$E_1 =$ "Obtenir exactement un $6$"

Reconnaître une situation de probabilité

Avec deux évènements donnés $E_1$ et $E_2$, la probabilité d'obtenir l'un ou l'autre se traduit par une addition :

$$ P(E_1 \ ou \ E_2) = P(E_1) + P(E_2)$$

$E_2 =$ "Obtenir n'importe quel nombre"

$E_3 =$ "Obtenir un $1$ ou un $6$"

Calcul de probabilités avec deux dés

On s'intéresse maintenant aux probabilités avec deux dés.

Calculer les probabilités des évènements suivants :

Reconnaître une situation de probabilité

Avec deux évènements donnés $E_1$ et $E_2$, la probabilité d'obtenir l'un et l'autre se traduit par une multiplication :

$$ P(E_1 \ et \ E_2) = P(E_1) \times P(E_2)$$

$E_4 =$ "Obtenir exactement $6$ et $6$"

Reconnaître une situation de probabilité complémentaire

Avec plusieurs évènements donnés $(E_1, E_2, E_3, E_4)$, la probabilité d'obtenir un certain évènement $E_1$ peut revenir à éliminer tous les autres cas.

La probabilité d'obtenir un évènement $E_1$ par complémentarité :

Dans ce cas, on prendra le complément de n'obtenir aucune des autres en les retirant :

$$ P(E_1) = 1 - P(E_2) -P(E_3) -P(E_4)$$

Soit :

$$ P(E_1) = 1 - P(E_2 \ ou \ E_3 \ ou \ E_4) $$

$E_5 =$ "Ne pas obtenir de $6$ du tout"

$E_6 =$ "Obtenir au moins un $6$"