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Le théorème de la moyenne

Soit une fonction \(f\) continue sur un intervalle \(I\).


Théorème de la moyenne

$$ \forall (a,b) \in [a, b],$$

$$ \exists c \in \hspace{0.05em} ]a,b[, \enspace f(c) = \frac{1}{(b-a)} \int_{a}^b f(t) \hspace{0.2em}dt$$


Inégalité de la moyenne

$$ \forall (a,b) \in [a, b], $$

$$ m \hspace{0.2em} \leqslant \hspace{0.2em} \frac{1}{(b-a)} \int_{a}^b f(t) \hspace{0.2em}dt \hspace{0.2em} \leqslant \hspace{0.2em} M $$


Démonstrations


Théorème de la moyenne

Soit une fonction \(f\) continue sur \(I = [a,b]\), un réel \(c \in I\).

Sa primitive \(F\) est elle-même continue, puisque toute fonction dérivable sur un intervalle est continue sur cet intervalle.

Or, avec le théorème des accroissements finis, on sait que :

Sur une fonction \(f\) continue sur \(I = [a,b]\) et dérivable sur \(]a,b[\),

$$ \exists c \in \hspace{0.05em} ]a,b[, \enspace f'(c) = \frac{f(b) - f(a)}{b-a}$$

Dans notre cas,

$$ \exists c \in \hspace{0.05em} ]a,b[, \enspace F'(c) = \frac{F(b) - F(a)}{b-a}$$

Or,

$$ F(b) - F(a) = \int_{a}^b f(t) \hspace{0.2em}dt $$

Soit,

$$ \forall (a,b) \in [a, b], $$

$$ \exists c \in \hspace{0.05em} ]a,b[, \enspace f(c) = \frac{1}{(b-a)} \int_{a}^b f(t) \hspace{0.2em}dt$$

  1. Interprétation géométrique

  2. On sait que l'interprétation géométrique de l'intégrale d'une fonction entre deux bornes \(a\) et \(b\) est le fait qu'elle soit égale à l'aire entre la courbe de la fonction et l'axe des abscisses, tel que la figure suivante :

    Intégrale comme aire entre la courbe et l'axe des abscisses

    Le résultat précédent nous permet de voir qu'il existera au moins un réel \( c \in \hspace{0.05em} ]a,b[\) tel que : .

    $$ f(c)(b-a) = \int_{a}^b f(t) \hspace{0.2em}dt$$

    C'est-à-dire que l'intégrale de \( a\) vers \( b \) sera égale à un rectangle formé par \( f(c) \) et \( (b-a) \).

    Graphique représentant deux intégrales sous (et sur) la courbe, une négative et une positive

Inégalité de la moyenne

Soit une fonction \(f\) continue sur \(I = [a,b]\).

On introduit les nombres \(m, M\) les valeurs minimale et maximale de \(f\) sur \(I\), et tels que la figure suivante :

Graphique représentant une fonction ainsi que ses valeurs minimum et maximum

$$ \forall t \in [a,b], \in m \leqslant f(t) \leqslant M $$

Avec la croissance de l'intégrale, on a :

$$ \int_{a}^b m \hspace{0.2em}dt \leqslant \int_{a}^b f(t) \hspace{0.2em}dt \leqslant \int_{a}^b M \hspace{0.2em}dt $$

$$ \Bigl[mt\Bigr]_a^b \leqslant \int_{a}^b f(t) \hspace{0.2em}dt \leqslant \Bigl[Mt \Bigr]_a^b $$

$$ m(b-a) \hspace{0.2em} \leqslant \hspace{0.2em} \int_{a}^b f(t) \hspace{0.2em}dt \hspace{0.2em} \leqslant \hspace{0.2em} M(b-a) $$

$$ m \hspace{0.2em} \leqslant \hspace{0.2em} \frac{1}{(b-a)} \int_{a}^b f(t) \hspace{0.2em}dt \hspace{0.2em} \leqslant \hspace{0.2em} M $$

Soit finalement,

$$ \forall (a,b) \in [a, b], $$

$$ m \hspace{0.2em} \leqslant \hspace{0.2em} \frac{1}{(b-a)} \int_{a}^b f(t) \hspace{0.2em}dt \hspace{0.2em} \leqslant \hspace{0.2em} M $$

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