Le théorème de Bézout et son corollaire

Théorème de Bézout

Le théorème de Bézout nous dit que :

$$ a \wedge b = 1 \Longleftrightarrow \exists (u, v) \in \hspace{0.05em}\mathbb{Z}^2, \enspace au + bv = 1 \qquad (Bézout) $$

Corollaire du théorème de Bézout

Le corollaire du théorème de Gauss nous dit que :

$$ a \wedge bc = 1 \hspace{0.2em} \Longleftrightarrow \hspace{0.2em} \Biggl \{ \begin{align*} a \wedge b = 1 \\ a \wedge c = 1 \end{align*} \qquad \bigl(Bézout \enspace (corollaire)\bigr) $$

On a de même, pour un produit simple :

$$ ab \wedge cd = 1 \hspace{0.2em} \Longleftrightarrow \hspace{0.2em} \left \{ \begin{align*} a \wedge c = 1 \\ a \wedge d = 1 \\ b \wedge c = 1 \\ b \wedge d = 1 \\ \end{align*} \right \} $$

Et on peut ainsi généraliser ce corollaire à tout produit d'entiers relatifs :

$$ \left[ \ \prod_{i = 0}^n a_i \ \right] \wedge \Biggl[ \ \prod_{j = 0}^m b_j \ \Biggr] = 1 \Longleftrightarrow \forall (i, j) \in [\![1, n ]\!] \times [\![1, m ]\!], \enspace \Bigl \{a_i \wedge b_j = 1 \Bigr \} $$

Démonstration

Théorème de Bézout

Soient \((a, b) \in \hspace{0.05em} \mathbb{Z}^2 \) deux entiers relatifs.

1. Implication de gauche à droite

Prenons pour hypothèse que \(a \) et \(b \) sont premiers entre eux.

Autrement dit que,

$$a \wedge b = 1 \Longleftrightarrow PGCD(a , b) = 1 $$

On sait par l'identité de Bézout que :

$$ \forall (a, b) \in \hspace{0.05em}\mathbb{N}^2, \enspace a > b, $$

$$ \delta = a \wedge b \hspace{0.2em} \Longrightarrow \hspace{0.2em} \exists (u, v) \in \hspace{0.05em}\mathbb{Z}^2, \enspace au + bv = \delta $$

Étant donné que nous avons comme hypothèse que \( a \wedge b = 1\), alors :

$$ \forall (a, b) \in\hspace{0.1em}\mathbb{Z}^2, $$
$$ a \wedge b = 1 \Longrightarrow \exists (u, v) \in \hspace{0.05em}\mathbb{Z}^2, \enspace au + bv = 1 $$



2. Réciproque

Réciproquement, prenons maintenant l'hypothèse que :

$$\exists (u, v) \in\hspace{0.1em}\mathbb{Z}^2, \enspace au + bv = 1 $$

Considérons un diviseur \( d \) commun à \( a \) et à \( b\).

On sait par les propriétés de la divisibilité que :

$$ \forall a \in (\mathbb{Z}^*), \enspace \forall (b , c) \in \hspace{0.05em} \mathbb{Z}^2, \enspace \exists (u , v) \in\hspace{0.1em}\mathbb{Z}^2, $$

$$ a/b \enspace et \enspace a/c \hspace{0.2em} \Longrightarrow \hspace{0.2em} a/(ub + vc) $$

\( d \) étant un diviseur commun à \( a \) et à \( b\), il divise \( a \), \( b \) ainsi que toute combinaison linéaire de \( a \) et de \( b \).

$$ d/a \enspace et \enspace d/b \hspace{0.2em} \Longrightarrow \hspace{0.2em} d/(au + bv) $$

Or, \(au + bv = 1\), donc \( d / 1\).

Le seul nombre qui divise \( 1\) est lui-même, alors \( d = 1\).

C'est le seul diviseur commun à \( a \) et à \( b\), alors \( a \wedge b = 1 \).

$$ a \wedge b = 1 $$

Soit,

$$ \forall (a, b) \in\hspace{0.1em}\mathbb{Z}^2, $$
$$ \exists (u, v) \in\hspace{0.1em}\mathbb{Z}^2, \enspace au + bv = 1 \Longrightarrow a \wedge b = 1 $$



3. Équivalence

À partir des deux implications précédentes, il en résulte une équivalence,

$$ \forall (a, b) \in \hspace{0.05em}\mathbb{Z}^2, $$

$$ a \wedge b = 1 \Longleftrightarrow \exists (u, v) \in \hspace{0.05em}\mathbb{Z}^2, \enspace au + bv = 1 \qquad (Bézout) $$

Corollaire du théorème de Bézout

Soient \((a, b, c) \in \hspace{0.05em} \mathbb{Z}^3 \) trois entiers relatifs.

1. Implication de gauche à droite

Si \(a \wedge bc = 1 \), alors avec le théorème de Bézout, on a :

$$ a \wedge bc = 1 \Longleftrightarrow \exists (u, v) \in \hspace{0.05em}\mathbb{Z}^2, \enspace au + bcv = 1 $$

Et dans ce cas :

$$ au + b (cv) = 1 \Longleftrightarrow a \wedge b = 1 $$
$$ au + c (bv) = 1 \Longleftrightarrow a \wedge c = 1 $$

Et finalement,

$$ \forall (a, b, c) \in \hspace{0.1em}\mathbb{Z}^3, $$

$$ a \wedge bc = 1 \hspace{0.2em} \Longrightarrow \hspace{0.2em} \Biggl \{ \begin{align*} a \wedge b = 1 \\ a \wedge c = 1 \end{align*} $$




2. Réciproque

Si on a : \( \Biggl \{ \begin{align*} a \wedge b = 1 \\ a \wedge c = 1 \end{align*}\)

Alors, toujours avec le théorème de Bézout,

$$ \exists (u, v, u', v') \in \hspace{0.05em}\mathbb{Z}^4, \enspace \Biggl \{ \begin{align*} au + bv = 1 \hspace{2.8em} (1) \\ au' + cv' = 1 \qquad (2) \end{align*} $$

En effectuant le produit \((1) \times (2) \), on a :

$$ (au + bv)(au' + cv') = 1 $$
$$ auau' + aucv' + bvau' + bv cv' = 1 $$
$$ a \hspace{0.1em} \underbrace { (uau' + ucv' + bvu')} _\text{ \(= \hspace{0.1em} U \)} \hspace{0.1em} + \hspace{0.1em} bc \hspace{0.1em} \underbrace { (vv') } _\text{ \(= \hspace{0.1em} V \)} \hspace{0.1em} = 1 $$

$$ a U + bcV = 1 \Longleftrightarrow a \wedge bc = 1 , \enspace avec \enspace \Biggl \{ \begin{align*} U = uau' + ucv' + bvu'\\ V = vv' \end{align*} $$

Soit,

$$ \forall (a, b, c) \in \hspace{0.1em}\mathbb{Z}^3, $$

$$ \Biggl \{ \begin{align*} a \wedge b = 1 \\ a \wedge c = 1 \end{align*} \hspace{0.2em} \Longrightarrow \hspace{0.2em} a \wedge bc = 1 $$




3. Équivalence

À partir des deux implications précédentes, il en résulte l'équivalence suivante :

$$ \forall (a, b, c) \in \hspace{0.05em}\mathbb{Z}^3, $$

$$ a \wedge bc = 1 \hspace{0.2em} \Longleftrightarrow \hspace{0.2em} \Biggl \{ \begin{align*} a \wedge b = 1 \\ a \wedge c = 1 \end{align*} \qquad \bigl(Bézout \enspace (corollaire)\bigr) $$




4. Produit de deux nombres

1. Implication de gauche à droite

Si à présent nous prenons comme hypothèse que \(ab \wedge cd = 1 \), alors avec le théorème de Bézout, on a :

$$ ab \wedge cd = 1 \Longleftrightarrow \exists (u, v) \in \hspace{0.05em}\mathbb{Z}^2, \enspace abu + cdv = 1 $$

Et dans ce cas, peut réappliquer quatre fois le théorème à partir de cette équivalence :

$$ \left \{ \begin{align*} a(bu) + c(dv) = 1 \Longleftrightarrow a \wedge c = 1 \\ a(bu) + d(cv) = 1 \Longleftrightarrow a \wedge d = 1 \\ b(au) + c(dv) = 1 \Longleftrightarrow b \wedge c = 1 \\ b(au) + d(cv) = 1 \Longleftrightarrow b \wedge d = 1 \end{align*} \right \}$$

Et finalement,

$$ \forall (a, b, c, d) \in \hspace{0.05em}\mathbb{Z}^4, $$

$$ ab \wedge cd = 1 \hspace{0.2em} \Longrightarrow \hspace{0.2em} \left \{ \begin{align*} a \wedge c = 1 \\ a \wedge d = 1 \\ b \wedge c = 1 \\ b \wedge d = 1 \\ \end{align*} \right \} $$




2. Réciproque

Si l'on repart à présent de l'implication précédente et que l'on tente de vérifer sa réciproque, on a comme hypothèse que :

$$ \left \{ \begin{align*} a \wedge c = 1 \\ a \wedge d = 1 \\ b \wedge c = 1 \\ b \wedge d = 1 \\ \end{align*} \right \} $$

En appliquant le théorème de Bézout, on a :

$$ \left \{ \begin{align*} a \wedge c = 1 \\ a \wedge d = 1 \\ b \wedge c = 1 \\ b \wedge d = 1 \\ \end{align*} \right \} \Longleftrightarrow $$

$$ \exists (u_1, v_1, u_2, v_2, u_3, v_3, u_4, v_4) \in \hspace{0.05em}\mathbb{Z}^8, \enspace \left \{ \begin{align*} au_1 + cv_1 = 1 \\ au_2 + dv_2 = 1 \\ bu_3 + cv_3 = 1 \\ bu_4 + dv_4 = 1 \\ \end{align*} \right \}$$

En effet, en effectuant la multiplication de ces quatre expressions ensemble :

$$(au_1 + cv_1)(au_2 + dv_2)(bu_3 + cv_3)( bu_4 + dv_4) = 1 $$

En distribuant toute cette expression, on obtiendra un arbre de ce type, où chaque terme contiendra soit \(ab\), soit \(cd\) :

$$ \begin{align*} au_1 \hspace{4em} cv_1 \\ \hspace{1em} \downarrow \hspace{0.05em} \searrow \hspace{0.05em} \swarrow \hspace{0.05em} \downarrow \\ \hspace{1em} \downarrow \hspace{0.05em} \swarrow \hspace{0.05em} \searrow \hspace{0.05em} \downarrow \\ au_2 \hspace{4em} dv_1 \\ \hspace{1em} \downarrow \hspace{0.05em} \searrow \hspace{0.05em} \swarrow \hspace{0.05em} \downarrow \\ \hspace{1em} \downarrow \hspace{0.05em} \swarrow \hspace{0.05em} \searrow \hspace{0.05em} \downarrow \\ bu_3 \hspace{4em} cv_3 \\ \hspace{1em} \downarrow \hspace{0.05em} \searrow \hspace{0.05em} \swarrow \hspace{0.05em} \downarrow \\ \hspace{1em} \downarrow \hspace{0.05em} \swarrow \hspace{0.05em} \searrow \hspace{0.05em} \downarrow \\ bu_4 \hspace{4em} dv_4 \\ \end{align*} $$

$$ \begin{align*} \ \ \ \ \textcolor{#8E5B5B}{a} u_1 au_2 \textcolor{#8E5B5B}{b} u_3 b u_4 \qquad (1^{\textit{è}re} \ colonne) \\ + \ \textcolor{#8E5B5B}{a} u_1 au_2 \textcolor{#8E5B5B}{b} u_3 d v_4 \qquad (3 \ premiers \ \textit{é}l\textit{é}ments \ de \ la \ 1^{\textit{è}re} \ colonne - \ 4^{\textit{è}me} \ \textit{é}l\textit{é}ment \ de \ la \ 2^{nde}) \\ + \ \textcolor{#8E5B5B}{a} u_1 au_2 c v_3 \textcolor{#8E5B5B}{b} u_4 \qquad (2 \ premiers \ \textit{é}l\textit{é}ments \ de \ la \ 1^{\textit{è}re} \ colonne - \ 3^{\textit{è}me} \ \textit{é}l\textit{é}ment \ de \ la \ 2^{nde} - \ 4^{\textit{è}me} \ \textit{é}l\textit{é}ment \ de \ la \ 1^{\textit{è}re} ) \\ + \ ... \\ + \ \textcolor{#446e4f}{c} v_1 \textcolor{#446e4f}{d} v_1 b u_3 dv_4 \qquad (2 \ premiers \ \textit{é}l\textit{é}ments \ de \ la \ 2^{nde} \ colonne - \ 3^{\textit{è}me} \ \textit{é}l\textit{é}ment \ de \ la \ 1^{\textit{è}re} - \ 4^{\textit{è}me} \ \textit{é}l\textit{é}ment \ de \ la \ 2^{nde} ) \\ + \ \textcolor{#446e4f}{c} v_1 \textcolor{#446e4f}{d} v_1 cv_3 b u_4 \qquad (3 \ premiers \ \textit{é}l\textit{é}ments \ de \ la \ 2^{nde} \ colonne - \ 4^{\textit{è}me} \ \textit{é}l\textit{é}ment \ de \ la \ 1^{\textit{è}re}) \\ + \ \textcolor{#446e4f}{c} v_1 \textcolor{#446e4f}{d} v_1 cv_3 dv_4 \qquad (2^{nde} \ colonne) \\ \end{align*} $$

tel que, après avoir regroupé tous les termes selon \(ab\) ou \(cd\) : \(\exists (U, V) \in \hspace{0.05em} \mathbb{Z}^2, \ abU + cdV = 1\)

3. Équivalence

À partir des deux implications précédentes, il en résulte l'équivalence suivante :

$$ \forall (a, b, c, d) \in \hspace{0.05em}\mathbb{Z}^4, $$

$$ ab \wedge cd = 1 \hspace{0.2em} \Longleftrightarrow \hspace{0.2em} \left \{ \begin{align*} a \wedge c = 1 \\ a \wedge d = 1 \\ b \wedge c = 1 \\ b \wedge d = 1 \\ \end{align*} \right \} $$




5. Généralisation pour un produit

En appliquant le raisonnement précédent mais à tout produit, on peut alors alors généraliser ce corollaire en disant que :

$$ \forall (n,m) \in \hspace{0.05em}\mathbb{N}^2, \ \forall (a_1, a_2,... \ a_n) \in \hspace{0.05em}\mathbb{Z}^n, \ \forall (b_1, b_2,... \ b_m) \in \hspace{0.05em}\mathbb{Z}^m, $$

$$ \left[ \ \prod_{i = 0}^n a_i \ \right] \wedge \Biggl[ \ \prod_{j = 0}^m b_j \ \Biggr] = 1 \Longleftrightarrow \forall (i, j) \in [\![1, n ]\!] \times [\![1, m ]\!], \enspace \Bigl \{a_i \wedge b_j = 1 \Bigr \} $$