La similarité de deux triangles

Deux triangles sont dit semblables lorsqu'ils ont leurs longueurs respectives proportionnelles et leurs angles respectivement égaux.

Cela implique alors un rapport $k$ entre les longueurs respectives, correspondant à un agrandissement, une réduction ou une conservation (si $k = 1$).

$$ \exists! k \in \mathbb{R}, \ \begin{Bmatrix} \overline{A'B'} = k \times \overline{AB}\\ \overline{B'C'} = k \times \overline{BC} \\ \overline{A'C'} = k \times \overline{AC} \end{Bmatrix} $$

$$ \begin{Bmatrix} \widehat{BAC} = \widehat{B'A'C'} = \alpha \\ \widehat{ABC} = \widehat{A'B'C'} = \beta \\ \widehat{BCA}= \widehat{B'C'A'} = \gamma \end{Bmatrix} $$

Il existe pricipalement trois cas de similitudes de triangles.

Cas 1 : Trois côtés respectifs proportionnels

Deux triangles sont semblables s'ils ont leurs trois côtés respectifs proportionnels.

Cas 2 : Deux angles égaux deux-à-deux

Deux triangles sont semblables s'ils ont au moins deux angles deux-à-deux égaux respectivement.

Cas 3 : Un angle en commun et deux longueurs proportionnelles

Deux triangles sont semblables s'ils ont un angle commun et qu'ils ont les deux longueurs respectives proportionnelles.

Démonstration

Cas 1 : Trois côtés respectifs proportionnels

Soit un triangle $ABC$ et son image $A'B'C'$ avec les trois côtés proportionnels respectifs.

Similarité de deux triangles ayant leurs trois côtés respectifs proportionnels

$$ \exists! k \in \mathbb{R}, \ \begin{Bmatrix} \overline{AB} = k \times \overline{AB'}\\ \overline{BC} = k \times \overline{BC'} \\ \overline{AC} = k \times \overline{AC'} \end{Bmatrix} $$

Le triangle $A'B'C'$ est donc un agrandissement (ou un rétrécissement selon $k$) du triangle de départ $ABC$.

Les angles sont de même bien conservés, on peut le vérifier sur l'angle $ \beta $ car :

$$ \begin{Bmatrix} cos(\beta) = \frac{AH}{AB}\\ cos(\beta') = \frac{A'H'}{A'B'} = \frac{k \times AH }{k \times AB} = \frac{AH}{AB} \end{Bmatrix} \Longrightarrow cos(\beta) = cos(\beta') \qquad (1) $$

$$ \begin{Bmatrix} sin(\beta) = \frac{BH}{AB}\\ sin(\beta') = \frac{B'H'}{A'B'} = \frac{k \times BH }{k \times AB} = \frac{BH}{AB} \end{Bmatrix} \Longrightarrow sin(\beta) = sin(\beta') \qquad (2) $$

Grâce aux expressions $ (1)$ et $ (2)$, on peut voir que :

$$\beta = \beta' $$

Cas de simitude de deux triangles ayant leurs trois côtés respectifs proportionnels : conservation des mesures des angles

En répétant ce même processus pour les angles $ \alpha $ et $ \gamma $ correspondant respectivement aux sommets $ A $ et $ C $, on peut affirmer que :

$$ \begin{Bmatrix} \alpha = \alpha' \\ \beta = \beta' \\ \gamma = \gamma' \end{Bmatrix} $$

Ces deux triangles ont bien les mêmes mesures d'angles respectives.

Soit finalement,

Deux triangles sont semblables s'ils ont leurs trois côtés respectifs proportionnels.

Cas 2 : Deux angles égaux deux-à-deux

Soient deux triangles imbriqués $ABC $ et $ADE $, ayant deux angles en commun :

- $\alpha$ correspondant au sommet commun $A$
- $\beta$ correspondant aux sommets $B$ et $D$

Similarité de deux triangles ayant deux angles égaux deux-à-deux

Ayant deux angles deux-à-deux égaux, il évident que le troisième est aussi en commun car la somme des angles d'un triangles équivaut toujours à $ \pi$. Le troisième angle $ \gamma $ est donc égal à :

$$ \gamma = \pi - (\alpha + \beta) $$

Soit les égalités d'angles suivants :

$$ \begin{Bmatrix} \widehat{BAC} = \widehat{DAE} = \alpha \\ \widehat{ABC} = \widehat{ADE} = \beta \\ \widehat{BCA}= \widehat{DEA} = \pi - (\alpha + \beta) \end{Bmatrix} $$

Par ailleurs, les longueurs $BC $ et $DE $ intersectant la même droite $(AB) $ avec un angle égal, on a $ (BC) \parallel (DE) $.

On peut donc appliquer le théorème de Thalès. On a les relations :

$$ \exists! k \in \mathbb{R}, \ \frac{AD}{AB} = \frac{AE}{AC} = \frac{DE}{BC} = k $$

$$ \begin{Bmatrix} \overline{AD} = k \times \overline{AB}\\ \overline{AE} = k \times \overline{AC} \\ \overline{DE} = k \times \overline{BC} \end{Bmatrix} $$

On a bien les trois longueurs proportionnelles ainsi que les angles respectifs égaux.

Soit finalement,

Deux triangles sont semblables s'ils ont au moins deux angles deux-à-deux égaux respectivement.

Cas 3 : Un angle en commun et deux longueurs proportionnelles

Soient deux triangles imbriqués $ABC $ et $ADE $, ayant un sommet commun $A$ avec un angle commun correspondant $\alpha$, ainsi que deux côtés respectifs de même proportion, et tels que :

$$ \exists! k \in \mathbb{R}, \ \begin{Bmatrix} \overline{AD} = k \times \overline{AB}\\ \overline{AE} = k \times \overline{AC} \\ \widehat{BAC} = \widehat{DAE} = \alpha \end{Bmatrix} $$

Alors,

$$ \exists! k \in \mathbb{R}, \ \frac{AD}{AB} = \frac{AE}{AC} = k \qquad (3) $$

Similarité de deux triangles ayant un angle commun et deux longueurs respectives proportionnelles

Grâce au le théorème d'Al-Kashi, on sait que:

Dans le contexte d'un triangle quelconque $\{a, b, c\}$, avec chaque angle $\alpha, \beta, \gamma $ opposé à sa longueur correspondante, tel que :

$$ \left \{ \begin{gather*} \alpha \enspace oppos \textit{é} \enspace \textit{à} \enspace a \\ \beta \enspace oppos\textit{é} \enspace \textit{à} \enspace b \\ \gamma \enspace oppos\textit{é} \enspace \textit{à} \enspace c \end{gather*} \right \} $$

et tel que la figure suivante :

On a les relations suivantes :

$$ a^2 = b^2 + c^2 - 2bc.cos(\alpha) \qquad (Al-Kashi) $$

$$ b^2 = a^2 + c^2 - 2ac.cos(\beta) \qquad (Al-Kashi^*) $$

$$ c^2 = a^2 + b^2 - 2ab.cos(\gamma) \qquad (Al-Kashi^{**}) $$

Alors dans notre cas, on a:

$$DE^2 = AD^2 + AE^2 - 2 AD.AE.cos(\vec{AD}, \vec{AE}) \qquad (4) $$

Et aussi :

$$BC^2 = AB^2 + AC^2 - 2 AB.AC.cos(\vec{AB}, \vec{AC}) $$

Maintenant, en remplaçant les valeurs de $AB$ et $AC$ par leur valeur proportionnelle selon $(3)$ :

$$BC^2 = \left(\frac{AD}{k} \right)^2 + \left(\frac{AE}{k} \right)^2 - 2 \left(\frac{AD}{k} \right).\left(\frac{AE}{k} \right).cos(\vec{AD}, \vec{AE}) $$

$$BC^2 = \left(\frac{AD^2}{k^2} \right) + \left(\frac{AE^2}{k^2} \right) - \frac{2}{k^2}. AD.AE.cos(\vec{AD}, \vec{AE}) $$

$$k^2 BC^2 = AD^2 + AE^2 - 2 AD.AE.cos(\vec{AD}, \vec{AE}) \qquad (5) $$

Et injectant $(5) $ dans $(4) $, on a finalement :

$$k^2 BC^2 = DE^2 \Longrightarrow k = \frac{DE}{BC} \qquad (5) $$

Grâce à $(6)$, on obtient une troisième égalité s'ajoutant à $(3)$ :

$$ \exists! k \in \mathbb{R}, \ \frac{AD}{AB} = \frac{AE}{AC} = \frac{DE}{BC} = k $$

Par ailleurs, on a vu avec le premier cas de similarités ci-avant que cela impliquait aussi la conservation des angles respectifs.

Alors,

Deux triangles sont semblables s'ils ont un angle commun et qu'ils ont les deux longueurs respectives proportionnelles.

Il est possible d'appliquer ce raisonnement si l'angle commun n'est pas celui du sommet commun, et cela amène au même résultat dans tous les cas.